2020-2021学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1.ppt

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1、24.2 抛物线的简单几何性质 知识导图 学法指导 1.类比研究椭圆、双曲线的几何性质的方法学习抛物线的几何性质 2进一步掌握抛物线的定义，利用定义及焦半径解决与抛物线的焦点弦有关的问题 3解决直线与抛物线的位置关系时，联想直线与椭圆、双曲线的位置关系，常用解题方法点差法、设而不求等 高考导航 高考单独考查抛物线性质的题目不多，常考题型为：(1)直线与抛物线的位置关系，可以以任意题型出现，有一定难度，另外焦点弦更是高考的命题热点，分值 512 分(2)抛物线与向量、圆和椭圆等综合命题，一般作为压轴题，分值12 分左右.知识点 抛物线的简单几何性质 标准 方程 y22px(p0)y22px(p0

2、)x22py(p0)x22py(p0)图象 范围 _ _ _ _ 性质 对称 轴 _轴 _轴 x0，yR x0，yR xR，y0 xR，y0 x y 顶点 _ 焦点 _ _ _ _ 准线 _ _ _ _ 性质 离心 率 e_ O(0,0)Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 xp2 xp2 yp2 yp2 1 状元随笔 1.研究性质注意定义的应用 研究抛物线的性质时要记住：看见焦点想准线；看见准线想焦点 2抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系 a0 时，焦点在 x 轴正半轴上，开口向右 y2ax 一次项为 x 项，x 轴为对称轴 a0 时，焦点在 x 轴负半轴上，开口向左 a0

3、时，焦点在 y 轴正半轴上，开口向上 x2ay 一次项为 y 项，y 轴为对称轴 a0 时，焦点在 y 轴负半轴上，开口向下 小试身手小试身手 1四种标准方程对应的抛物线有相同的()A顶点 B焦点 C准线 D对称轴 解析：四种标准方程对应的抛物线有相同的顶点，都是坐标原点；但是，焦点、准线都不相同；抛物线 y22px(p0)与 y22px(p0)的对称轴为 x 轴，抛物线 x22py(p0)与 x22py(p0)的对称轴为 y 轴 答案：A 2设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是()Ay28x By24x Cy28x Dy24x 解析：由准线方程为 x2，可知抛物线的焦点在

4、 x 轴正半轴上，且 p4，所以抛物线的方程为 y22px8x.答案：C 3已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0()A1 B2 C4 D8 解析：抛物线 C：y2x 的焦点为 F14，0，因为 A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，所以54x0 x014，解得 x01.答案：A 4设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|_.解析：抛物线 C：y23x 的焦点为 F34，0，所以 AB 所在的直线方程为 y33x34.将 y33x34代入 y23x，整理得

5、x2212x9160.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得 x1x2212，由抛物线的定义可得|AB|x1x2p2123212.答案：12 类型一 由抛物线的几何性质求其标准方程 例 1 求与抛物线 y216x 共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 x2y40 上的抛物线的标准方程 状元随笔 求解本题的关键是求焦点坐标，因为焦点在直线 x 2y 4 0 上，因此要求直线与坐标轴的交点，注意交点应该有两个，因此标准方程也有两个 【解析】抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，直线 x2y40 与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令 x0，得 y2；令 y0，得 x4，抛物线的焦点坐标

6、为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时，p24，p8，此时抛物线的标准方程为 y216x，准线方程为 x4；当焦点为(0，2)时，p22，p4，此时抛物线的标准方程为 x28y，准线方程为 y2.故所求抛物线的标准方程为 y216x 或 x28y.方法归纳 用待定系数法求抛物线方程的步骤 提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程 跟踪训练 1 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M(m，3)到焦点的距离为 5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程 状元随笔 因为顶点在原点，焦点在 y 轴上，点 M(m，3)位于第三或第四象限，所以能确定所求

7、抛物线方程为 x22py(p0)解析：方法一 由抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为 x22py(p0)，则焦点为 F0，p2.因为 M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，所以 m26p，m23p225，解得 p4m 2 6.所以抛物线方程为 x28y，m 2 6，准线方程为 y2.方法二 设抛物线方程为 x22py(p0)，则焦点为 F0，p2，准线l：yp2，如图所示，作 MNl，垂足为 N，则|MN|MF|5，而|MN|3p2，所以 3p25，即 p4.又因为点 M 在抛物线上，所以 m224，所以 m 2 6.所以抛物线方程为 x28y，m 2 6，准线方程为 y2.类型二 直线与抛物

8、线的位置关系 例 2 已知直线 l：ykx1，抛物线 C：y24x，当 k 为何值时，l 与 C：(1)有一个公共点？(2)有两个公共点？(3)没有公共点？状元随笔 用代数法求解，要注意二次项系数为 0 的情况 【解析】将 l 和 C 的方程联立，得 ykx1，y24x，消去 y，得 k2x2(2k4)x10.(*)当 k0 时，方程(*)只有一个解，为 x14，此时 y1.直线 l 与 C 只有一个公共点14，1，此时直线 l 平行于 x 轴 当 k0 时，方程(*)是一个关于 x 的一元二次方程 当 0，即 k1 且 k0 时，l 与 C 有两个公共点，此时直线 l 与C 相交；当 0，即

9、 k1 时，l 与 C 有一个公共点，此时直线 l 与 C 相切；当 0，即 k1 时，l 与 C 没有公共点，此时直线 l 与 C 相离 综上所述，(1)当 k1 或 k0 时，直线 l 与 C 有一个公共点(2)当 k1 且 k0 时，直线 l 与 C 有两个公共点(3)当 k1 时，直线 l 与 C 没有公共点 方法归纳 直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为 0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数 (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：直线与抛物

10、线的对称轴重合或平行；直线与抛物线相切 跟踪训练 2 斜率为12的直线经过抛物线 x28y 的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长为_ 状元随笔 求焦点弦的方法主要有：|AB|x1x2p|AB|1k2|x1x2|11k2(y1y2)|AB|2p(1k2)解析：方法一 由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则对于抛物线 x28y，焦点弦长|AB|py1y24y1y2.因为抛物线 x28y 的焦点为(0,2)，且直线 AB 的斜率为12，所以直线AB 的方程为 y12x2，代入抛物线方程 x28y，消去 x 整理得 y26y40，从而 y1y26，所以|AB|10.故线

11、段 AB 的长为 10.方法二 由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意得抛物线的焦点为(0,2)，故直线 AB 的方程为 y12x2，即 x2y40，由 x2y40，x28y消去 y 得 x24x160，则x1 x2 4，x1x2 16，代 入 弦 长 公 式|AB|1k2x1x224x1x2得|AB|10.方法三 由题意知线段 AB 为抛物线的焦点弦，已知直线 AB 的斜率为12，p4，代入焦点弦的斜率式|AB|2p(1k2)(由于抛物线的焦点在 y轴上，因此将抛物线 y22px 对应的焦点弦的斜率式|AB|2p11k2中的1k变为 k)可得|AB|10.类型三 抛物线的综合应用

12、 例 3 设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 【解析】(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由 ykx1，y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|x11x214k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1.因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方

13、程为 y2(x3)，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0 x05，x012y0 x012216，解得 x03，y02或 x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.状元随笔(1)先写出直线 l 的方程，并设出两个交点的坐标，再将直线方程与抛物线方程联立，并利用焦半径的公式建立关于斜率 k的方程，解方程即可求解；(2)先由(1)求得 AB 的中点坐标，并求出 AB的垂直平分线，然后设出圆心坐标，并根据圆心在线段 AB 的垂直平分线上与勾股定理建立方程组，解方程组可得圆心坐标，进而可得圆的方程 方法归纳 利用抛物线的性质可以解决

14、的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题(4)焦点：解决焦点弦问题 跟踪训练 3 已知抛物线 C：y2x2和直线 l：ykx1，O 为坐标原点(1)求证：l 与 C 必有两交点；(2)设 l 与 C 交于 A，B 两点，且直线 OA 和 OB 斜率之和为 1，求k 的值 状元随笔(1)把直线方程和抛物线方程联立，代入消元后得出一元二次方程，只需证明判别式大于零(2)利用设而不求思想先设出点 A，B 的坐标，利用根与系数的关系结合 OA 和 OB 斜率之和为 1，求出斜率 k 的值 解析：(1)联立抛物线 C：y2x2和直线 l：ykx1，可得 2x2kx10，所以 k280，所以 l 与 C 必有两交点(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1x1y2x21，因为 y1kx11，y2kx21，代入，得 2k1x11x21，由(1)可得 x1x212k，x1x212，代入得 k1.