2023届高考北师版数学一轮复习试题（适用于老高考新教材） 高考解答题专项二 三角函数中的综合问题 WORD版含解析.docx
高考解答题专项二三角函数中的综合问题1.已知函数f(x)=2sin xcosx-6-12(0<<2),函数f(x)在a,b上单调递增,且b-a的最大值为2,求f(x)在-2,2上的单调递减区间.2.(2021湖南怀化高三二模)在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足2tanBtanA+tanB=bc.(1)求角A;(2)若a=13,b=3,求ABC的面积.3.(2021天津静海一中高三月考)已知锐角三角形ABC的三个角A,B,C所对的边为a,b,c,且bcos C+3bsin C=a+c.(1)求B;(2)若b=2,ABC的面积为3,求a,c.4.平面凸四边形ABCD中,BAD=BCD=90°,AD=3,AB=4.(1)若ABC=45°,求CD;(2)若BC=25,求AC.5.(2021江苏徐州高三二模)若f(x)=sin(x+)>0,0<<2的部分图象如图所示,f(0)=12,f512=0.(1)求f(x)的解析式;(2)在锐角三角形ABC中,若A>B,fA-B2-12=35,求cosA-B2,并证明sin A>255.6.(2021河南郑州高三三模)在ABC中,AB=2AC,点D在BC边上,AD平分BAC.(1)若sinABC=55,求cosBAC;(2)若AD=AC,且ABC的面积为7,求BC.高考解答题专项二三角函数中的综合问题1.解f(x)=2sinxcosx-6-12=2sinxcosxcos6+sinxsin6-12=3cosxsinx+sin2x-12=32sin2x-12cos2x=sin2x-6.若f(x)在a,b上单调递增,且b-a的最大值为2,则T=22,故=1,所以f(x)=sin2x-6.由2+2k2x-632+2k(kZ),得3+kx56+k(kZ),令k=0,得3x56;令k=-1,得-23k-6.又-2x2,所以f(x)在-2,2上单调递减区间为-2,-6,3,2.2.解(1)由2tanBtanA+tanB=bc及正弦定理可知,2sinBcosBsinAcosA+sinBcosB=sinBsinC,所以2sinBcosB·cosA·cosBsin(A+B)=sinBsinC,因此2cosA=1.又A(0,),所以A=3.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得13=9+c2-3c,所以c2-3c-4=0,即(c-4)(c+1)=0,解得c=4.从而SABC=12bcsinA=12×3×4×32=33.3.解(1)由正弦定理得sinBcosC+3sinBsinC=sinA+sinC=sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC.因为C为三角形内角,sinC0,所以3sinB-cosB=1,sinB-6=12.因为-6<B-6<3,则B-6=6,即B=3.(2)由已知S=12acsinB=34ac=3,得ac=4.又a2+c2-b2=2accosB,即a2+c2-4=ac,解得a=c=2.4.解(1)连接BD,在RtBAD中,由AB=4,AD=3,BAD=90°,得BD=5,sinABD=35,cosABD=45.ABC=45°,DBC=45°-ABD,sinDBC=sin45°·cosABD-cos45°·sinABD=22×45-22×35=210.在RtBCD中,由BCD=90°,知CD=BD·sinDBC=5×210=22.(2)连接AC,由(1)知BD=5,在RtABD中易知sinABD=35,cosABD=45.在RtBCD中,由BC=25,BD=5,得CD=5.易知sinCBD=55,cosCBD=255.cosABC=cos(ABD+CBD)=cosABD·cosCBD-sinABD·sinCBD=45×255-35×55=55.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosABC=42+(25)2-2×4×25×55=20,AC=25.5.解(1)由f(0)=12,得sin=12.又0<<2,故=6.由f512=0,得sin·512+6=0,所以·512+6=2k+(kZ),即=2+24k5(kZ).由>0,结合函数图象可知12·2>512,所以0<<125.又kZ,所以k=0,从而=2,因此f(x)=sin2x+6.(2)由fA-B2-12=sin(A-B)=35,因为0<B<A<2,所以0<A-B<2,故cos(A-B)=45.因为cos(A-B)=2cos2A-B2-1,于是cosA-B2=1+cos(A-B)2=31010.所以sinA-B2=1-cos2A-B2=1010.又A+B>2,故A=A+B2+A-B2>4+A-B2.又y=sinx在0,2上单调递增,且A0,2,4+A-B20,2,所以sinA>sin4+A-B2=sin4cosA-B2+cos4sinA-B2=22×31010+1010=255.6.解(1)令ABC的边AC,AB,BC为b,c,a,由题意可得c=2b,AB>AC,ABC<ACB,ABC为锐角,即cosABC=1-15=255.ACsinABC=ABsinACB,sinACB=255.ACB(0,),cosACB=±55.cosBAC=-cos(ABC+ACB)=sinABCsinACB-cosABCcosACB.当cosACB=55时,cosBAC=55×255-255×55=0.当cosACB=-55时,cosBAC=55×255+255×55=45.所以cosBAC=0或45.(2)设CAD=DAB=,由于SABC=SACD+SADB,所以12AC·ADsin+12AB·ADsin=12AB·ACsin2,由AD=AC,AB=2AC可得3sin=4sincos.因为sin0,则cos=34,sin=1-cos2=74,SABC=12AC·ABsin2=b2sin2=2b2sincos=7,解得b2=83.又cos2=2cos2-1=18,a=b2+4b2-2b·2bcos2=23,即BC=23.
