（新教材）2021高中人教B版数学必修第二册课件：6-1-4 数 乘 向 量 .ppt
6.1.4 数 乘 向 量 必备知识必备知识自主学习自主学习 导导思思 1.1.数乘向量是如何定义的数乘向量是如何定义的?有怎样的有怎样的运算律运算律?2.2.向量共线的条件是什么向量共线的条件是什么?1.1.向量的数乘运算向量的数乘运算 定义定义 实数实数 与向量与向量a相乘的运算简称为数乘向量相乘的运算简称为数乘向量 记法记法 a 模模|a|=_|=_ 方向方向 00 a方向与方向与a的方向的方向_ 00 a方向与方向与a的方向的方向_|a|相同相同 相反相反 【思考思考】数乘向量的定义中应该注意什么问题数乘向量的定义中应该注意什么问题?提示提示:(1)(1)数乘向量的结果仍是一个向量数乘向量的结果仍是一个向量.a中的实数中的实数叫作向量叫作向量a的系数的系数;(2)(2)不要忽略特殊情况不要忽略特殊情况:当当=0=0时时,a=0.当当00时时,若若a=0,也有也有a=0;(3)(3)实数与向量可以求积实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算但是不能进行加减运算.2.2.数乘向量的运算律数乘向量的运算律 设设,为实数为实数,则则(a)=_;)=_;特别地特别地,我们有我们有(-)a=-(a)=_.)=_.()a (-a)【思考思考】这里的条件“这里的条件“,为实数”能省略吗为实数”能省略吗?为什么为什么?提示提示:不能不能,数乘向量中的数乘向量中的,都是实数都是实数,只有只有,都是实数时都是实数时,运算律才成立运算律才成立.【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打“对的打“”,错的打“错的打“”)”)(1)3(1)3a的方向与的方向与a的方向相同的方向相同,且且-2 2a的方向与的方向与a的方向相反的方向相反.()(2)4(2)4a与与-4 4a的模相等的模相等.()(3)(3)a与与-a的方向相反的方向相反.()(4)(4)若若a,b共线共线,则存在唯一的实数则存在唯一的实数,使使a=b.()2.2.点点C C在直线在直线ABAB上上,且且 ,则则 等于等于 ()【解析解析】选选D.D.如图如图,所以所以 .AC 3ABBC11A.2AB B.AB C.AB D.2AB33AC 3ABBC 2AB3.(3.(教材二次开发教材二次开发:例题改编例题改编)已知已知|a|=1,|=1,|b|=3,|=3,若两向量方向相反若两向量方向相反,则向量则向量a与与向量向量b的关系为的关系为b=_=_a.【解析解析】由于由于|a|=1,|=1,|b|=3,|=3,则则|b|=3|=3|a|,|,又两向量反向又两向量反向,故故b=-3 3a.答案答案:-3 3 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一类型一 数乘向量的定义数乘向量的定义(数学抽象数学抽象)【题组训练题组训练】1.1.已知向量已知向量a与与b反向反向,且且|a|=r,|=r,|b|=R,|=R,b=a,则则 的值等于的值等于 ()2.2.设设a是非零向量是非零向量,是非零实数是非零实数,则以下结论正确的有则以下结论正确的有_._.|-a|a|;|;a与与2 2a方向相同方向相同;|-2 2 a|=2|=2|a|.|.3.3.若两个非零向量若两个非零向量a与与(2x(2x-1)1)a方向相同方向相同,则则x x的取值范围为的取值范围为_._.rrRRA.B.C.D.RRrr【解题策略解题策略】数乘向量与原来向量是共线的数乘向量与原来向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小或者反方向放大或缩小.解决数乘向量问题的关键应注意两点解决数乘向量问题的关键应注意两点:方向是相同还是相反方向是相同还是相反,模长放大还是缩模长放大还是缩小小.【补偿训练补偿训练】存在两个非零向量存在两个非零向量a,b,满足满足b=-3 3a,则有则有 ()A.A.a与与b方向相同方向相同 B.B.a与与b方向相反方向相反 C.|C.|a|=|3|=|3b|D.|D.|a|=|=|b|【解析解析】选选B.B.因为因为-30,300 时时,沿着沿着a的方向扩大的方向扩大(1)1)或缩小或缩小 倍倍;当当 01)|1)或缩小或缩小|倍倍.(01)(|1)【拓展训练拓展训练】(2020(2020乌鲁木齐高一检测乌鲁木齐高一检测)点点C C在线段在线段ABAB上上,且且 ,若若 ,则则 =()【解题指南解题指南】根据点根据点C C在线段在线段ABAB上上,且且 ,可得可得C C与与ABAB的位置关系的位置关系,进而进而 根据根据 即可得即可得 的值的值.2|AC|CB|3ABBC2255A.B.C.D.3333ABBC2|AC|CB|3【点评点评】本题考查了数乘向量的运算及线段关系的判断本题考查了数乘向量的运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点根据题意画出各个点的位置是关键的位置是关键,属于基础题属于基础题.类型三类型三 数乘向量的应用数乘向量的应用(数学运算、数学抽象数学运算、数学抽象)角度角度1 1 判断向量共线判断向量共线 【典例典例】已知已知a=2=2e,b=-4 4e,判断判断a,b 是否平行是否平行,求求 的值的值;若若ab,说出它说出它 们是同向还是反向们是同向还是反向.【思路导引思路导引】利用数乘向量的定义解决利用数乘向量的定义解决.【解析解析】因为因为b=-4 4e=-2 =2 =-2 2a ,所以所以ab,且且2 ,2 ,即即 =1=12.2.向量向量a,b反向反向.|ab(2)e|ab|ab 【变式探究变式探究】本题若把条件改为“本题若把条件改为“a=2=2e,b=3=3e,”,”其他不变其他不变,试求解试求解.【解析解析】因为因为b=3=3e=,所以所以ab,且且 ,即即 =23.=23.向量向量a,b同向同向.33(2)22ea3|2ab|ab 角度角度2 2 判断三点共线判断三点共线 【典例典例】已知已知 =e,=,=-3 3e,判断判断A,B,CA,B,C三点是否共线三点是否共线,如果共线如果共线,说出点说出点A A是线是线 段段BCBC的几等分点的几等分点.【思路引导思路引导】利用数乘向量的定义解决利用数乘向量的定义解决.ABBC【解题策略解题策略】数乘向量的应用数乘向量的应用 (1)(1)如果存在实数如果存在实数,使得使得b=a,则则ba.(2)(2)如果存在实数如果存在实数,使得使得 ,则则 ,且且ABAB与与ACAC有公共点有公共点A,A,所以所以A,B,CA,B,C 三点共线三点共线.ABACAB AC【题组训练题组训练】1.1.已知线段上已知线段上A,B,CA,B,C三点满足三点满足 ,则这三点在线段上的位置关系是则这三点在线段上的位置关系是 ()【解析解析】选选A.A.根据题意得到根据题意得到 是共线同向的是共线同向的,且且BC=2AB.BC=2AB.BC2ABBCAB和2.2.若若 ,则下列各式中不正确的是则下列各式中不正确的是 ()12PP4P P122122212121A.PP3PPB.PP3P P1C.P PPP33D.PPPP43.3.下列结论成立的是下列结论成立的是 ()A.A.a 与与a的方向相同的方向相同 B.B.a 与与a的方向相反的充要条件是的方向相反的充要条件是 0 0 C.C.与与a方向相同的单位向量可表示为方向相同的单位向量可表示为 D.D.若平行四边形若平行四边形ABCDABCD的对角线的交点为的对角线的交点为O,O,则则 【解析解析】选选C.C.当当 00且且a0时时,a 与与a的方向相反的方向相反,故故A,BA,B不正确不正确;若平行四边形若平行四边形 ABCDABCD的对角线的交点为的对角线的交点为O,O,则则 ,D,D不正确不正确;C;C正确正确.|aa1AO(AB AD)21AO(AB AD)2+【补偿训练补偿训练】设设a,b都是非零向量都是非零向量.下列四个条件中下列四个条件中,使使 成立的条件是成立的条件是 ()A.A.a=-b B.B.ab C.C.a=2=2b D.D.ab且且|a|=|=|b|abab课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.下列各式中不表示向量的是下列各式中不表示向量的是 ()A.A.0aa B.B.a+3+3b C.|3C.|3a|D.D.e(x,yR,(x,yR,且且xy)xy)【解析解析】选选C.C.向量的数乘运算结果仍为向量向量的数乘运算结果仍为向量,显然只有显然只有|3|3a|不是向量不是向量.1xy2.62.6 ()A.A.化简结果为化简结果为2 2a B.B.与向量与向量a同向同向 C.C.与向量与向量a反向反向 D.D.其长度为其长度为2 2 【解析解析】选选C.6C.6 =-2 2a,与向量与向量a反向反向,其长度为其长度为2 .2 .1()3a|a1()3a3.(3.(教材二次开发教材二次开发:练习改编练习改编)向量向量-的长度之比为的长度之比为_._.【解析解析】因为因为 ,所以所以 =23.=23.答案答案:2323 2ABBA3与22ABBA332|AB|BA|34.4.点点C C在线段在线段ABAB上上,且且 【解析解析】因为因为C C在线段在线段ABAB上上,且且 ,所以所以 方向相同方向相同,方向相反方向相反,且且 ,所以所以 答案答案:AC3ACABBC_AB.CB2，则_，AC3CB2ACAB与BCAB与AC3 BC2AB5 AB5，32ACABBCAB.55，32 555.5.在在OABOAB中中,则则=_.=_.【解析解析】因为因为 ,所以所以 又又 ,所以所以=4.=4.答案答案:4 4 4OP3OAOBBAPA，且4OP3OAOB3OP 3OAOB OP3APPB.，所以BPBA PABA4PA，所以
