2023届高考北师版数学一轮复习课件（适用于老高考新教材） 第三章　函数与基本初等函数 指点迷津（二）.pptx

指点迷津指点迷津(二二)第三章第三章 巧用函数性质的二级结论解客观题巧用函数性质的二级结论解客观题 关于函数的奇偶性、周期性、对称性,有很多重要的二级结论,运用这些结论解决客观题非常简洁、高效,举例说明如下.一、应用奇函数的二级结论解题 结论1:如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,那么f(0)=0.结论2:若奇函数f(x)在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0.结论3:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c.结论4:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,g(x)在定义域上有最值,则必有g(x)max+g(x)min=2c.例1.(2021四川成都高三月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=3x-4x+a,则f(-1)=()A.1 B.43 C.53 D.2 答案 D 解析 因为f(x)是奇函数,则f(0)=1+a=0,解得a=-1,即当x0时,f(x)=3x-4x-1,于是f(-1)=-f(1)=-(31-4-1)=2,故选D.对点训练 1(2021山西临汾高三月考)已知函数 f(x)=ln(1+92-3x),则 f(lg 2)+f lg12 +f(0)=()A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 B 解析 因为 f(x)=ln(1+92-3x),所以 1+92-3x0,解得 xR,故 f(x)定义域关于原点对称.因为 f(x)+f(-x)=ln(1+92-3x)+ln(1+92+3x)=ln 1=0,所以 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(lg 2)+f(-lg 2)+f(0)=0,故选 B.例2.(2021福建福州格致中学高三期中)已知函数f(x)=aln(x+)+bsin x+2,若f(-3)=7,则f(3)的值()A.等于-7 B.等于-5 C.等于-3 D.无法确定 1+2 答案 C 解析 设 g(x)=ln(x+1+2),显然定义域为 R.又 g(x)+g(-x)=ln(x+1+2)+ln(-x+1+2)=ln(1+2)2-x2)=ln 1=0,则 g(-x)=-g(x),所以g(x)=ln(x+1+2)是 R 上的奇函数.又 y=sin x也是 R 上的奇函数,所以若令h(x)=aln(x+1+2)+bsin x,则 h(x)为奇函数.又因为 f(x)=h(x)+2,所以 f(-3)+f(3)=4,而 f(-3)=7,所以 f(3)=-3.对点训练2(2021山东青岛高三月考)对于函数f(x)=,若f(5)+f(-5)=4,则a=.(+1)2+sin2+1 答案 2 解析 f(x)=(+1)2+sin2+1=a+2+sin2+1,又 y=2+sin2+1为奇函数,f(5)+f(-5)=2a=4,即 a=2.例3.已知f(x)=ax3+bx9-在区间(0,+)上有最大值5,那么f(x)在(-,0)上的最小值为()A.-5 B.-1 C.-3 D.5 2-12+1 答案 A 解析 因为 f(-x)=a(-x)3+b(-x)9-2-12-+1=-ax3-bx9-1-21+2=-ax3-bx9+2-11+2=-f(x),所以f(x)为奇函数.又 f(x)在区间(0,+)上有最大值 5,故 f(x)在(-,0)上有最小值-5,故选 A.对点训练3(2021湖南高三模拟)已知奇函数y=f(x)为R上的增函数,且在区间-2,3上的最大值为9,最小值为-6,则f(-3)+f(2)的值为()A.3 B.1 C.-1 D.-3 答案 D 解析 因为奇函数y=f(x)为R上的增函数,且在区间-2,3上的最大值为9,最小值为-6,所以f(-2)=-6,f(3)=9,所以f(-3)+f(2)=-f(3)-f(-2)=-3,故选D.例4.(2021广东佛山高三模拟)已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=.2+cos-sin+12+cos+1 答案 2 解析 f(x)=2+cos-sin+12+cos+1=1+-sin2+cos+1,令 g(x)=-sin2+cos+1,容易判断 g(x)为奇函数.因为 f(x)=g(x)+1,所以 f(x)的最大值与最小值之和等于 2,即M+m=2.对点训练4(2021福建福州一中高三期末)若对x,yR,有f(x+y)=f(x)+f(y)-4,函数g(x)=+f(x)在区间-2 021,2 021上存在最大值和最小值,则其最大值与最小值的和为()A.4 B.8 C.12 D.16 2sincos+1 答案 B 解析 由题设,f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x)-4且f(x+0)=f(x)=f(x)+f(0)-4,f(0)=4,则f(x)+f(-x)=8,若令m(x)=f(x)-4,则m(x)为奇函数.令 h(x)=g(x)-4=2sincos+1+m(x),h(-x)=2sin(-)cos(-)+1+m(-x)=-2sincos+1-m(x)=-h(x),即 h(x)是奇函数,h(x)在-2 021,2 021上的最小、最大值的和为 0,即 g(x)max-4+g(x)min-4=0,g(x)max+g(x)min=8,故选 B.二、应用周期性的二级结论解题 对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):结论1:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a;结论2:若f(x+a)=-f(x),则f(x)的一个周期为2a;结论3:若f(x+a)+f(x)=c(cR),则f(x)的一个周期为2a;结论4:若f(x)=f(x+a)+f(x-a),则f(x)的一个周期为6a;结论 5:若 f(x+a)=1(),则 f(x)的一个周期为 2a;结论 6:若 f(x+a)=-1(),则 f(x)的一个周期为 2a;结论7:若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(ba).结论8:若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(ba).结论9:若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为4|b-a|(ba).(注意:结论7结论9的记忆:两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差)例 5.(2021 湖北荆门高三期中)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=1(),当 x(0,1时,f(x)=2x,则 f log2316 +f(2 022)=.答案 76 解析 由函数 f(x)满足 f(x+1)=1(),可得对xR,都有 f(x+2)=1(+1)=f(x),所以函数 f(x)的一个周期 T=2.于是 f log2316 =f(log23-4)=f(log23)=1(log23-1)=12(log23-1)=23.由 f(0)=1(1)=12得 f(2 022)=f(0)=12,故 f log2316 +f(2 022)=23+12=76.对点训练5(2021湖南五校高三联考)偶函数f(x)满足f 12 =f +12 ,且当x 72,4 时,f(x)=log2x-1,则 f(-2-1)=()A.log27-2 B.1 C.log23-2 D.log27-1 答案 A 解析 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(x)的图象关于 y轴对称.又 f 12 =f +12 ,所以 f(x)的图象关于直线 x=12对称.因此函数的一个周期为 T=2 0 12=1,所以 f(-2-1)=f 12=f 12=f 72=log272-1=log27-2,故选 A.例6.(2021江西南昌高三二模)已知奇函数f(x)满足f(5)=1,且函数f(x-2)的图象关于直线x=3对称,则f(2 021)=()A.-1 B.1 C.0 D.3 答案 B 解析 函数f(x-2)的图象关于直线x=3对称,f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)为奇函数,即函数的图象关于(0,0)中心对称,于是函数是周期函数,且一个周期为T=4|1-0|=4.f(2 021)=f(5)=1.对点训练6(2021福建宁德高三期中)已知f(x)是定义域为R的奇函数,若f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则f(2 020)-f(2 019)=()A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案 D 解析 根据题意,f(x)是定义域为R的奇函数,则f(x)的图象关于点(0,0)中心对称,f(-x)=-f(x)且f(0)=0.又f(x+1)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=1对称.故函数f(x)的一个周期为4,故f(2 020)=f(0)=0,f(2 019)=f(-1)=-f(1)=-1,故f(2 020)-f(2 019)=1,故选D.例 7.已知函数 f(x)满足:当 x0,1)时,f(x)=1-x;当 x1,+)时,f(x)=1-(-1)1+(-1).若方程 f(x)=k(kR)在0,+)上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列,则下面的数不可能在这个数列中的是()A.2 020-2 B.2 020 C.2 021 D.2 020+2 答案 D 解析 当 x1,2)时,x-10,1),所以 f(x)=1-(-1)1+(-1)=1-(2-)1+(2-)=-13-;当 x2时,x-11,f(x)=1-(-1)1+(-1)=1-1-(-2)1+(-2)1+1-(-2)1+(-2)=f(x-2),即 f(x)的一个周期为 2.作出 f(x)的大致图象(如图).当k=0时,方程f(0)=0的根恰好是1,3,5,成等差数列,2 021在此数列中;当k=1时,方程f(x)=1的根恰好是0,2,4,成等差数列,2 020在此数列中;当0k1时,要使方程f(x)=k的根成等差数列,则公差只能为1,设方程的根依 次为 a,a+1,a+2,其中 a(0,1),则 f(a)=f(a+1),即 1-a=2-,解得 a=2-2,所以 2 020-2在此数列中.故选 D.对点训练7(2021辽宁实验中学高三二模)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且 ,f(0)0,则f(2 021)=()A.2 021 B.1 C.0 D.-1 f 12=22 答案 C 解析 令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0),故2f(0)(f(0)-1)=0,故f(0)=1(f(0)=0舍).令 x=y=12,则 f(1)+f(0)=2f 12 f 12,故 f(1)=0.令 y=1,则 f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=0,即f(x+1)=-f(x-1)f(x+2)=-f(x)f(x+4)=f(x),故f(x)的一个周期为4,故f(2 021)=f(1)=0,故选C.三、应用对称性的二级结论解题 结论1:若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.结论2:若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.例8.(2021黑龙江佳木斯一中高三月考)已知定义域为R的函数f(x)在1,+)上单调递增,且f(x+1)为偶函数,若f(3)=1,则不等式f(2x+1)1的解集为()A.(-,-1)(1,+)B.(-1,+)C.(-,1)D.(-1,1)答案 D 解析 根据题意,函数f(x+1)为偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.又由函数f(x)在1,+)上单调递增且f(3)=1,则f(2x+1)1f(2x+1)f(3)|(2x+1)-1|3-1|,解得-1x1时,f(x)=x2-6x+8,则函数f(x)的所有零点之和是()A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 解析 因为f(x+1)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称.当x1时,f(x)=x2-6x+8,令f(x)=x2-6x+8=0,解得x1=2或x2=4.因为f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,所