（新教材）2021高中人教B版数学必修第二册课件：6-1-5　向量的线性运算 .ppt

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1、6.1.5 向量的线性运算 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.向量的加法与数乘向量可以进行混合运算吗向量的加法与数乘向量可以进行混合运算吗?其根本原因是其根本原因是什么什么?2.2.什么叫向量的线性运算什么叫向量的线性运算?3.3.如何用已知向量表示未知向量如何用已知向量表示未知向量?如何证明三点共线如何证明三点共线?1.1.向量的加法与数乘向量的混合运算向量的加法与数乘向量的混合运算 规定规定:一般地一般地,一个含有向量加法、数乘向量运算的式子一个含有向量加法、数乘向量运算的式子,要先算数乘向量要先算数乘向量,再算再算 向量加法向量加法.运算律运算律:对于实数对于实数,以及

2、向量以及向量a,b,有有 (1)(1)a+a=_.(2)=_.(2)(a+b)=_.)=_.(+)a)a a+a+b b 【思考思考】(1)(1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么?提示提示:向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量.(2)(2)这里的条件“这里的条件“,为实数”能省略吗为实数”能省略吗?为什么为什么?提示提示:不能不能,数乘向量中的数乘向量中的,都是实数都是实数,只有只有,都是实数时都是实数时,运算律才成立运算律才成立.2.2.向量的线性运算向量的线性运算 向量的加法、减法、

3、数乘向量以及它们的混合运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算统称为向量的线性运算.【基础小测基础小测】(1)(1)实数实数 与向量与向量a,则则+a与与-a的和是向量的和是向量.()(2)(2)对于非零向量对于非零向量a,向量向量-3 3a与向量与向量a方向相反方向相反.()(3)(3)(a-b)=)=a-b.()(4)(4)a+a与与(+)a的方向都与的方向都与a的方向相同的方向相同.(.()2.(2.(教材二次开发教材二次开发:例题改编例题改编)下列计算正确的个数是下列计算正确的个数是 ()(-3)2a=3)2a=-6 6a;2(2(a+b)-(2(2b-a

4、)=3)=3a;(a+2+2b)-(2(2b+a)=0.)=0.A.0A.0 B.1B.1 C.2C.2 D.3D.3 【解析解析】选选C.C.因为因为(-3)23)2a=-6 6a,故正确故正确;中中,左左=2=2a+2+2b-2 2b+a=3=3a成立成立,故故正确正确;中中,左左=a+2+2b-2 2b-a=00,0,故错误故错误.3.3.设设M M是是ABCABC边边BCBC的中点的中点,若若 则则+的值为的值为_._.AMABAC，关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一类型一 向量的线性运算向量的线性运算(数学运算数学运算)【题组训练题组训练】1.1.化简化简 的结果是的结果是 (

5、)A.2A.2a-b B.2B.2b-a C.C.b-a D.D.a-b 1 128423 2（）（）abab2.2.关于向量关于向量,下列结论错误的是下列结论错误的是 ()A.0A.0a=0=0 B.m(nB.m(na)=(mn)=(mn)a(m,nR)(m,nR)C.C.D.(m+n)D.(m+n)a=m=ma+n+na(m,nR).(m,nR).ABBA3.3.已知向量已知向量a,b,x,且且(x-a)-(b-x)=)=x-(a+b),),则则x=x=_.【解题策略解题策略】向量线性运算的方法向量线性运算的方法 (1)(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算向量的线性运算类似于代数多项

6、式的运算,主要是“合并同类项”“提取主要是“合并同类项”“提取公因式”公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看成是向量的系数实数看成是向量的系数.(2)(2)向量也可以通过列方程来解向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方利用解代数方程的方法求解法求解,同时在运算过程中要多注意观察同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律恰当运用运算律,简化运算简化运算.【补偿训练补偿训练】已知向量已知向量a,b,且且5 5x+2y=+2y=a,3x,3x-y=y=b,求求x,y.x,y.类型二类型二 用已知向量表示

7、相关向量用已知向量表示相关向量(直观想象、数学运算直观想象、数学运算)【典例典例】如图如图,已知已知 =3=3e1 1,=3,=3e2 2,若若C,D,EC,D,E是是ABAB的四等分点的四等分点,求求 OAOBOC,OD,OE.【思路导引思路导引】在数形结合的基础上在数形结合的基础上,结合向量的加减法及数乘向量的几何意义结合向量的加减法及数乘向量的几何意义和运算律和运算律,灵活运用平面几何中的重要定理和性质灵活运用平面几何中的重要定理和性质,进行合理转化即可进行合理转化即可.【解题策略解题策略】已知向量表示未知向量的技巧已知向量表示未知向量的技巧 用图形中的已知向量表示所求向量用图形中的已知

8、向量表示所求向量,应结合已知和所求应结合已知和所求,联想相关的法则和几联想相关的法则和几何图形的有关定理何图形的有关定理,将所求向量反复分解将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示直到全部可以用已知向量表示,其实其实质是向量线性运算的反复应用质是向量线性运算的反复应用.【跟踪训练跟踪训练】(2020(2020滨州高一检测滨州高一检测)如图所示如图所示,在正方形在正方形ABCDABCD中中,E,E为为ABAB的中点的中点,F,F为为CECE的中点的中点,则则 =()AF31A.ABAD4413B.ABAD441C.ABAD231D.ABAD42【拓展延伸拓展延伸】对向量线性运算的理解对向量

9、线性运算的理解 向量的线性运算也叫向量的初等运算向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数它们的运算法则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则加减法与乘法满足的运算法则,但它们在具体含义上是不同的但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们不过由于它们在形式上相类似在形式上相类似,因此因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用在向量的线性运算中都可以使用.【拓展训练拓展训练】1.1.设设D,ED,E分别是分别是ABCABC的边的边AB,BCAB,BC上的点上的点,AD=,AD=AB,BE=

10、AB,BE=BC.BC.若若 (1 1,2 2为实数为实数),),则则1 1+2 2的值为的值为_._.122312DEABAC2.2.如图所示如图所示,已知已知 ABCDABCD的边的边BC,CDBC,CD上的中点分别为上的中点分别为K,L,K,L,且且 =e1 1,=,=e2 2,试用试用 e1 1,e2 2表示表示 AKALBCCD.，类型三类型三 三点共线问题三点共线问题(直观想象、逻辑推理直观想象、逻辑推理)【典例典例】设设a,ba,b是不共线的两个非零向量是不共线的两个非零向量,若若 =2=2a-b,=3,=3a+b,=,=a-3 3b,求证求证:A,B,C:A,B,C三点共线三点

11、共线.OAOBOC【解题策略解题策略】证明三点共线的方法证明三点共线的方法 证明三点共线证明三点共线,往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线,必须说明构造的两个向量有公共点必须说明构造的两个向量有公共点,否则两向量所在的基线可能平行否则两向量所在的基线可能平行,解题时解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分常常会因忽视对公共点的说明而丢分.【跟踪训练跟踪训练】1.1.已知向量已知向量 =a+3+3b,=5,=5a+3+3b,=,=-3 3a+3+3b,则则 ()A.A,B,CA.A,B,C三点共线三点共线 B.A,B,DB.A,B

12、,D三点共线三点共线 C.A,C,DC.A,C,D三点共线三点共线 D.B,C,DD.B,C,D三点共线三点共线 ABBCCD2.2.已知非零向量已知非零向量e1 1,e2 2不共线不共线.如果如果 =e1 1+e2 2,=2,=2e1 1+8+8e2 2,=3(,=3(e1 1-e2 2),),求证求证:A,B,D:A,B,D三点共线三点共线.ABBCCD【证明证明】因为因为 =e1 1+e2 2,=2,=2e1 1+8+8e2 2+3+3e1 1-3 3e2 2=5(=5(e1 1+e2 2)=5 .)=5 .所以所以 共线共线,且有公共点且有公共点B,B,所以所以A,B,DA,B,D三点

13、共线三点共线.ABBD BCCDABABBD，【补偿训练补偿训练】(2020(2020沧州高一检测沧州高一检测)已知已知ABCABC和点和点P P满足满足 则则PBCPBC与与ABCABC 的面积之比为的面积之比为_._.PA2PBPC，0备选类型备选类型 平面向量线性运算的应用平面向量线性运算的应用(直观想象、数学运算直观想象、数学运算)【典例典例】已知已知ABCABC中中,向量向量 (R),R),则点则点P P的轨迹通过的轨迹通过ABCABC 的的 ()A.A.垂心垂心 B.B.内心内心 C.C.外心外心 D.D.重心重心 AP(ABAC)【解题策略解题策略】向量线性运算的应用向量线性运算

14、的应用 平面向量的线性运算多在平面图形中应用平面向量的线性运算多在平面图形中应用,熟悉并了解相应图形中的性质是解熟悉并了解相应图形中的性质是解决问题的关键决问题的关键,如三角形中关于其重心的性质如三角形中关于其重心的性质,熟练掌握有利于快速准确地分熟练掌握有利于快速准确地分析解决此类问题析解决此类问题.【跟踪训练跟踪训练】已知已知O O是是ABCABC的重心的重心,且且 则实数则实数=()A.3A.3 B.2B.2 C.1C.1 D.D.OA2OBBC，0课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.已知已知a=e1 1+2+2e2 2,b=3=3e1 1-2 2e2 2,则则3 3a-b=()A

15、.4A.4e2 2 B.4B.4e1 1 C.3C.3e1 1+6+6e2 2 D.8D.8e2 2 【解析解析】选选D.3D.3a-b=3(=3(e1 1+2+2e2 2)-(3(3e1 1-2 2e2 2)=3=3e1 1+6+6e2 2-3 3e1 1+2+2e2 2=8=8e2 2.2.2.等于等于 ()A.A.a-b+2+2c B.5B.5a-b+2+2c C.C.a+b+2+2c D.5D.5a+b 13(3)(2)24abcabc141454543.(3.(教材二次开发教材二次开发:练习改编练习改编)设向量设向量a与与b不共线不共线,若若 =3=3a+b,=,=a+m+mb,=2=2a-b,且且A,C,DA,C,D三点共线三点共线,则则m=_.m=_.ABBCCD4.4.在正方形在正方形ABCDABCD中中,E,E为线段为线段ADAD的中点的中点,若若 则则+=_.=_.ECADAB，5.5.已知已知x,yx,y是实数是实数,向量向量a,b不共线不共线,若若(x+y(x+y-1)1)a+(x+(x-y)y)b=0,则则x=_,y=_.x=_,y=_.