2020届高考数学（理科）总复习课件：第八章 第五节第2课时直线与椭圆的综合问题（提升课） .ppt

第八章第八章 平面解析几何平面解析几何 第第2课时课时 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的综合问题(提升课提升课)考点考点1 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系(讲练互动讲练互动)典例体验典例体验 已知直线已知直线l：y2xm，椭圆，椭圆C：x24y221.试问当试问当m取何值时，直线取何值时，直线l与椭圆与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；有且只有一个公共点；(3)没有公共点没有公共点 解：解：将直线将直线l的方程与椭圆的方程与椭圆C的方程联立，的方程联立，得方程组得方程组 y2xm，x24y221，将将代入代入，整理得，整理得9x28mx2m240.方程方程根的判别式根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当当0，即，即3 2m3 2时，方程时，方程有两个不同有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线线l与椭圆与椭圆C有两个不重合的公共点有两个不重合的公共点(2)当当0，即，即m 3 2时，方程时，方程有两个相同的实有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与与椭圆椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆与椭圆C有且有且只有一个公共点只有一个公共点(3)当当0，即，即m32时，方程时，方程没有实没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆与椭圆C没没有公共点有公共点 研究直线与椭圆位置关系的方法研究直线与椭圆位置关系的方法 1研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数 2对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 变式训练变式训练 一题多解一题多解若直线若直线ykx1与椭圆与椭圆x25y2m1总有公总有公共点，则共点，则m的取值范围是的取值范围是()Am1 Bm0 C0m5且且m1 Dm1且且m5 解析：解析：法一法一 由于直线由于直线ykx1恒过点恒过点(0，1)，所以点所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，必在椭圆内或椭圆上，则则00且且m5，所以，所以m1且且m5.答案：答案：D 考点考点2 弦长及弦中点问题弦长及弦中点问题(多维探究多维探究)角度角度 弦长问题弦长问题【例【例1】椭圆两顶点椭圆两顶点A(1，0)，B(1，0)，过焦点，过焦点F(0，1)的直线的直线l与椭圆交于与椭圆交于C，D两点当两点当|CD|3 22时，时，求求l的方程的方程 解：解：由题意由题意b1，c1.所以所以a2b2c2112.所以椭圆方程为所以椭圆方程为y22x21.若直线若直线l斜率不存在时，斜率不存在时，|CD|2 2，不合，不合题意题意 若直线若直线l斜率存在时，设斜率存在时，设l方程为方程为ykx1，联立联立 ykx1，y22x22，得得(k22)x22kx10.8(k21)0恒成立恒成立 设设C(x1，y1)，D(x2，y2)所以所以x1x22kk22，x1x21k22.所以所以|CD|1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2 2 2（k21）k22.即即2 2（k21）k223 22，解得解得k22.所以所以k 2.所以直线所以直线l方程为方程为 2xy10或或 2xy10.角度角度 弦中点问题弦中点问题【例【例2】已知椭圆已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点的右焦点为为F(3，0)，过点，过点F的直线交椭圆的直线交椭圆E于于A，B两点若两点若AB的的中点坐标为中点坐标为(1，1)，则，则E的方程为的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271 C.x227y2181 D.x218y291 解析：解析：设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以所以 x21a2y21b21，x22a2y22b21，运用点差法，运用点差法，所以直线所以直线AB的斜率为的斜率为kb2a2.设直线方程为设直线方程为yb2a2(x3)，联立直线与椭圆的方程得联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以所以x1x26b2a2b22，又因为又因为a2b29，解得，解得b29，a218.所以所以E的方程为的方程为x218y291.答案：答案：D 1解决弦及弦中点问题，其常规思路是先把直线方程与解决弦及弦中点问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及弦椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及弦中点的问题时用中点的问题时用“点差法点差法”解决，往往会更简单解决，往往会更简单 2设直线与椭圆的交点坐标为设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则|AB|（1k2）（x1x2）24x1x2 11k2（y1y2）24y1y2(k为直线斜率为直线斜率)易错警示：易错警示：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式 变式训练变式训练 设设F1，F2分别是椭圆分别是椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左、右的左、右焦点，过点焦点，过点F1且斜率为且斜率为1的直线的直线l与与E相交于相交于A，B两点两点，且且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列成等差数列(1)求求E的离心率的离心率(2)设点设点P(0，1)满足满足|PA|PB|，求，求E的方程的方程 解：解：(1)由椭圆定义知由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又又2|AB|AF2|BF2|，得，得|AB|43a，l的方程为的方程为yxc，其中，其中c a2b2.设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则A，B两点的坐标满足方两点的坐标满足方程组程组 yxc，x2a2y2b21，消去消去y，化简得，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则，则x1x22a2ca2b2，x1x2a2（c2b2）a2b2.因为直线因为直线AB的斜率为的斜率为1，所以所以|AB|2|x2x1|2（x1x2）24x1x2，即即43a4ab2a2b2，故，故a22b2，所以所以E的离心率的离心率ecaa2b2a 1 ba222.(2)设设AB的中点为的中点为N(x0，y0)，由，由(1)知知 x0 x1x22a2ca2b223c，y0 x0cc3.由由|PA|PB|，得，得kPN1，即，即y01x01，得得c3，从而，从而a3 2，b3.故椭圆故椭圆E的方程为的方程为x218y291.考点考点3 最值与范围问题最值与范围问题(讲练互动讲练互动)典例体验典例体验(2019 河南六市模考河南六市模考)已知椭圆已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率的离心率e63，原点到过点，原点到过点A(0，b)和和B(a，0)的直线的距离为的直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；求椭圆的方程；(2)设设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭作直线交椭圆于圆于P，Q两点，求两点，求PQF1内切圆半径内切圆半径r的最大值的最大值 解：解：(1)直线直线AB的方程为的方程为xayb1，即即bxayab0.原点到直线原点到直线AB的距离为的距离为|ab|（a）2b232，即即3a23b24a2b2，由由eca63，得，得c223a2，又又a2b2c2，所以联立所以联立可得可得a23，b21，c22.故椭圆的方程为故椭圆的方程为x23y21.(2)由由(1)得得F1(2，0)，F2(2，0)，设设P(x1，y1)，Q(x2，y2)易知直线易知直线PQ的斜率不为的斜率不为0，故设其方程为，故设其方程为xky 2，联立联立 xky 2，x23y21，消去消去x得得(k23)y22 2ky10.故故 y1y22 2kk23，y1y21k23.而而SPQF1SF1F2PSF1F2Q12|F1F2|y1y2|2（y1y2）24y1y2，将将代入代入，得，得SPQF1 2 2 2kk2324k23 2 6 k21k23.又又SPQF112(|PF1|F1Q|PQ|)r2a r23 r，所，所以以2 6 k21k232 3r，故故r2 k21k232k212k2112，当且仅当当且仅当 k212k21，即，即k 1时取等号时取等号 故故PQF1内切圆半径内切圆半径r的最大值为的最大值为12.最值与范围问题的解题思路最值与范围问题的解题思路 1构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解获得问题的解 2构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解在解决过程中，一定要深刻挖掘题目中的得问题的解在解决过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等隐含条件，如判别式大于零等 变式训练变式训练(2019 云南统测云南统测)已知焦点在已知焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆E的中心是的中心是原点原点O，离心率等于，离心率等于32，以椭圆，以椭圆E的长轴和短轴为对角的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为线的四边形的周长为45.直线直线l：ykxm与与y轴交于点轴交于点P，与椭圆，与椭圆E相交于相交于A，B两个点两个点(1)求椭圆求椭圆E的方程；的方程；(2)若若AP3PB，求，求m2的取值范围的取值范围 解：解：(1)根据已知设椭圆根据已知设椭圆E的方程为的方程为y2a2x2b21(ab0)，焦距为，焦距为2c，由已知得，由已知得ca32，所以，所以c32a，b2a2c2a24.因为以椭圆因为以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为长为4 5，所以所以4 a2b22 5a4 5，所以，所以a2，b1.所以椭圆所以椭圆E的方程为的方程为x2y241.(2)根据已知得根据已知得P(0，m)，设，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，联立，联立 ykxm，4x2y240 消去消去y得得(k24)x22mkxm240.由已知得由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即即k2m240，且且x1x22kmk24，x1x2m24k24.由由AP3PB得得x13x2.所以所以3(x1x2)24x1x212x2212x220.即即12k2m2（k24）24（m24）k240，即，即m2k2m2k240.当当m21时，时，m2k2m2k240不成立，不成立，所以所以k24m2m21.因为因为k2m240，所以，所以4m2m21m240，即即（4m2）m2m210.所以所以1m24.所以所以m2的取值范围是的取值范围是(1，4)