2015届高考数学（理）基础知识总复习精讲课件：第2章 第13节 导数在研究函数中的应用(一).ppt

高考总复习数学（理科）第十三节第十三节 导数在研究函数中的导数在研究函数中的 应用应用（一一）第二章第二章 高考总复习数学（理科）【例1】已知函数f(x)x(ex1)x2，求函数f(x)的单调区间 求不含参数的函数的单调区间 自主解答：自主解答：高考总复习数学（理科）解析：解析：因为f(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0，得x0或x1，当x1时，f(x)0，所以(，1)是函数f(x)的单调递增区间；高考总复习数学（理科）当x0时，f(x)0，所以(0，)是函数f(x)的单调递增区间；当1x0时，f(x)0，所以(1,0)是函数f(x)的单调递减区间 综上可知，函数f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)，递减区间为(1,0)高考总复习数学（理科）点评：点评：求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性 高考总复习数学（理科）1.函数f(x)(x2x1)ex(xR)的单调递减区间为_ 变式探究变式探究 解析：解析：因f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x2)ex，令f(x)0，则x23x20，解得2x1，单调递减区间为(2，1)答案：答案：(2，1)(写成闭区间也对)高考总复习数学（理科）【例2】设函数f(x)x2aln(1x)有两个极值点x1，x2，且x11)令g(x)2x22xa，其对称轴为x12.由题意知，x1，x2是方程g(x)0的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为 48a0，g1a0，解得0a0，f(x)在(1，x1)内为增函数；当x(x1，x2)时，f(x)0，f(x)在(x2，)内为增函数 综合可知，f(x)的单调递增区间为(1，x1)，(x2，)，单调递减区间为(x1，x2)高考总复习数学（理科）(2)由(1)知g(0)a0，12x212，则h(x)2x2(2x1)ln(1x)2x2(2x1)ln(1x)当x12，0 时，h(x)0，h(x)在12，0 上单调递增 当x(0，)时，h(x)h1212ln 24.故f(x2)h(x2)12ln 24.f(x2)的取值范围是12ln 24，.高考总复习数学（理科）点评：讨论含参数的函数的单调性，一般步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，可得f(x)单调递增时参数的范围令f(x)0，可得f(x)单调递减时参数的范围 高考总复习数学（理科）变式探究变式探究 2(2013 郑州一中模考)若函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_ 解析：解析：f(x)2mx 2，函数f(x)在其定义域(0，)内为增函数的充要条件是2mx 20在(0，)内恒成立，即2m 在(0，)内恒成立，由于函数(x)211，故只要2m1即可，即m .答案：答案：高考总复习数学（理科）求函数的极值【例3】已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m，n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值 解析：解析：(1)由函数f(x)的图象过点(1，6)，得mn3.*由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.高考总复习数学（理科）而g(x)的图象关于y轴对称，所以 0.所以m3，代入*得n0.所以f(x)x33x22，于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)和(2，)；由f(x)0得0 x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)高考总复习数学（理科）(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)0 0 f(x)极大值 极小值 高考总复习数学（理科）由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值 综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值 高考总复习数学（理科）点评：点评：(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧和右侧f(x)的符号不同特别注意，导数为零的点不一定是极值点(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值(3)运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤：先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值 高考总复习数学（理科）变式探究变式探究 3.已知函数f(x)x2(2b)xbln x(实数b为常数)(1)若b1，求函数f(x)的极值；(2)若b0，讨论函数f(x)的单调性 解析解析：易知函数的定义域为(0，)，(1)当b1时，函数f(x)x2xln x，则f(x)2x1 高考总复习数学（理科）令f(x)0，得x1，x (舍去)当0 x1时，f(x)0，函数单调递增 f(x)在x1处取得极小值，f(x)极小值f(1)0.(2)由于f(x)2x(2b)+，令f(x)0，得x1 ，x21.高考总复习数学（理科）当0 1，即0b1，即b2时，列表如下：x(0,1)(1，)(，)f(x)f(x)所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和 ，单调递减区间为 .综上所述，当0b2时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和 ，单调递减区间为 .高考总复习数学（理科）求函数的最值求函数的最值【例4】已知二次函数f(x)ax2bx的导函数yf(x)的图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)(c为常数)，求yg(x)在1,2上的最小值 fxcx 高考总复习数学（理科）解析：(1)f(x)2axb，由图可知，f(x)2x1，2a2，b1，解得 a1，b1，故所求函数解析式为f(x)x2x.(2)g(x)fxcxx2xcxxcx1，则g(x)1cx2x2cx2.当c0时，对于x1,2，恒有g(x)x2cx20，故yg(x)在1,2上单调递增 g(x)ming(1)2c.高考总复习数学（理科）当c0时，g(x)1cx2x2cx2x cx cx2，(i)若 c1，即0c0，g(x)在1,2上是增函数，故g(x)ming(1)2c.(ii)若1 c2，即1c4，当1x c时，g(x)0.g(x)在1，c)上是减函数，在 c，2上是增函数 g(x)ming(c)ccc112 c.高考总复习数学（理科）(iii)若 c2，即c4时，g(x)0，g(x)在1,2上是减函数，故g(x)ming(2)3c2.综上所述，当c4时，g(x)min3c2.高考总复习数学（理科）点评：(1)如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值 高考总复习数学（理科）点评：点评：(1)如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值 高考总复习数学（理科）变式探究变式探究 4已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围 高考总复习数学（理科）解析：解析：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)，即a11b，且2a3b，解得a3，b3.高考总复习数学（理科）(2)设h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)与h(x)在(，2上的变化情况如下：x(，3)3(3,1)1(1,2)2 h(x)0 0 h(x)28 4 3 高考总复习数学（理科）由此可知：当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；当3k2时，函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(，3