2012优化方案数学精品课件（苏教版选修2-1）：3.1.1 空间向量及其线性运算.ppt

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1、第第3章章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 课标领航课标领航 本章概述本章概述 1.本章基本内容共包括六个小节：本章基本内容共包括六个小节：(1)空间向空间向量的线性运算；量的线性运算；(2)共面向量定理；共面向量定理；(3)空间向空间向量基本定理；量基本定理；(4)空间向量的坐标表示；空间向量的坐标表示；(5)空空间向量的数量积；间向量的数量积；(6)空间向量的应用这六空间向量的应用这六个小节的知识相互联系，前面内容是后面内个小节的知识相互联系，前面内容是后面内容的理论依据，后面内容不仅巩固、充实了容的理论依据，后面内容不仅巩固、充实了前面内容，同时又发展、延拓、提升了对前前面内容，同

2、时又发展、延拓、提升了对前面内容的认识和理解，从而形成了空间向量面内容的认识和理解，从而形成了空间向量及其运算的知识体系及其运算的知识体系 2.本章主要讲述空间向量及其运算和向量的本章主要讲述空间向量及其运算和向量的应用应用，其中空间向量及其运算是学习立体几其中空间向量及其运算是学习立体几何的基础知识何的基础知识，也是重点内容也是重点内容本部分内容本部分内容对于同学们在已有的平面向量知识的基础上对于同学们在已有的平面向量知识的基础上，建立空间向量的有关概念建立空间向量的有关概念，实现从平面向量实现从平面向量到空间向量观念的提升和飞跃是至关重要的到空间向量观念的提升和飞跃是至关重要的.学法指导学

3、法指导 1.在学习空间向量的知识时，要根据平面向在学习空间向量的知识时，要根据平面向量的相关知识，充分利用类比思想将平面向量的相关知识，充分利用类比思想将平面向量推广到空间三维图形上来，建立空间向量量推广到空间三维图形上来，建立空间向量的知识体系的知识体系 2.要学会多角度、全方位地认识事物看待要学会多角度、全方位地认识事物看待同一问题时，注意抓住关键，总结规律向同一问题时，注意抓住关键，总结规律向量法求解立体几何问题的关键就是基向量的量法求解立体几何问题的关键就是基向量的选取和空间直角坐标系的建立，对于不同的选取和空间直角坐标系的建立，对于不同的问题，不同的空间图形，选取的基向量和建问题，不

4、同的空间图形，选取的基向量和建立的空间直角坐标系也是不同的立的空间直角坐标系也是不同的 3.注意将传统法与向量法进行对比，总结各注意将传统法与向量法进行对比，总结各自的优缺点，针对不同特点的问题，恰当地自的优缺点，针对不同特点的问题，恰当地选取解题方法选取解题方法 31 空间向量及其运算空间向量及其运算 31.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 学习目标学习目标 1.理解空间向量的概念，明确空间向量是平理解空间向量的概念，明确空间向量是平面向量的推广面向量的推广 2掌握空间向量的加法、减法、数乘运算掌握空间向量的加法、减法、数乘运算 3掌握共线掌握共线(平行平行)向量的概念及共线向量

5、定向量的概念及共线向量定理理 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 31.1 课前自主学案课前自主学案 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1我们知道我们知道，平面内平面内_的的量叫做平面向量量叫做平面向量，平面向量可用平面向量可用_表表示示，平面向量可进行加平面向量可进行加、减和数乘运算减和数乘运算 既有大小又有方向既有大小又有方向 有向线段有向线段 2如果表示平面向量的有向线段所在的直如果表示平面向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量叫做线平行或重合，那么这些向量叫做_或或_，并规定零向量与，并规定零向量与_平行平行对平面内任意两个向量对平面内任意两个向量a

6、、b(a0)，b与与a共线的充要条件是存在实数共线的充要条件是存在实数，使，使_.共线向量共线向量 平行向量平行向量 任意向量任意向量 ba 1空间向量的概念空间向量的概念 在空间，我们把既有大小又有方向的量，叫在空间，我们把既有大小又有方向的量，叫做做_ 2空间向量的线性运算空间向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算线性运算(1)三角形法则；三角形法则；(2)平行四边形法则平行四边形法则 知新益能知新益能 空间向量空间向量 3运算律运算律(1)加法交换律：加法交换律：_；(2)加法结合律：加法结合律：_；(3)数乘分配律：数乘分配

7、律：_ 4共线向量定理共线向量定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，a与与b共线的充要条件是存在实数共线的充要条件是存在实数，使使ab.abba(ab)ca(bc)(ab)ab(R)(2)对于空间任意两个向量对于空间任意两个向量a，b(b0)，共线，共线向量定理可分解为以下两个命题：向量定理可分解为以下两个命题：ab存在惟一实数存在惟一实数使使ab；存在惟一实数；存在惟一实数，使，使abab.是共线向量的性质定理，是空间向量共是共线向量的性质定理，是空间向量共线的判定定理，若要用此结论判定线的判定定理，若要用此结论判定a、b的基的基线平行，还

8、需线平行，还需a(或或b)上有一点不在上有一点不在b(或或a)上上 提示：提示：成立成立 已知空间四边形已知空间四边形 ABCD，则，则ABBCCDDA0 还成立吗？还成立吗？问题探究问题探究 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 空间向量的概念辨析题空间向量的概念辨析题 熟记有关的概念熟记有关的概念，对易混淆的概念要准确对易混淆的概念要准确把握把握，判断命题的真假才不会出错判断命题的真假才不会出错 给出以下几种说法：给出以下几种说法：若若|a|b|，则，则 a、b 的长度相同，方向相同的长度相同，方向相同或相反或相反 若向量若向量 a 是向量是向量 b 的相反向量，则的相反向量，则|a

9、|b|空间向量的减法满足结合律空间向量的减法满足结合律 在四边形在四边形 ABCD 中，一定有中，一定有ABADAC 其中正确说法的序号是其中正确说法的序号是_ 例例1【答案答案】【解析【解析】|a|b|，说明，说明 a 与与 b 模长相等，模长相等，但方向不确定，对于但方向不确定，对于 a 的相反向量的相反向量 ba，故故|a|b|，从而，从而正确只定义加法具有结正确只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有具有ABADAC，只有平行四边形才能成，只有平行四边形才能成立故立故均不正确均不正确【名师点评名师点评】(1)两个向量的模相等，则它

10、两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量非零向量)的模相等是两个向量相等的必要的模相等是两个向量相等的必要不充分条件不充分条件(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运算法则及运算律是解决好这类减法满足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键问题的关键 加减运算主要借助于三角形，加法满足首尾加减运算主要借助于三角形，加法满足首尾相连；减法满足共起点，由减向量的终点指相连；减法满足共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点向被减向量的终点 空间向量的加减运算空间向量的加减运算 如图，

11、已知正方体如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，点中，点 E 是上底面是上底面 A1C1的中心，化简下列的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1)ABBCC1C；(2)12AB12DAA1A.例例2【思路点拨思路点拨】化简向量时，一般先利用平化简向量时，一般先利用平行四边形得到相等向量或相反向量，再将它行四边形得到相等向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简角形法则或平行四边形法则化简【解】【解】(1)ABBCC1CABBCCC1ACCC1AC1

12、.(2)12AB12DAA1A12(ABAD)AA112ACAA1A1EAA1AE.向量向量AC1，AE如图所示如图所示【名师点评名师点评】掌握向量加减的运算法则及掌握向量加减的运算法则及向量加法的交换律、结合律等基础知识，在向量加法的交换律、结合律等基础知识，在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，降低出错率必要时也可化减为加，降低出错率 自我挑战自我挑战1如图，已知平行六面体如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，中，M为为A1C1与与B1D1的交点，化简的交点，化简下列向量表达式：下列向量表达式：(1)AA1A1B1；(2

13、)12A1B112A1D1；(3)AA112A1B112A1D1；(4)ABBCCC1C1A1A1A.解：解：(1)AA1A1B1AB1.(2)12A1B112A1D112(A1B1A1D1)12A1C1A1M.(3)AA112A1B112A1D1AA1A1MAM.(4)ABBCCC1C1A1A1A0.类似于平面向量共线的充要条件，对于空间类似于平面向量共线的充要条件，对于空间任意两个向量任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件的充要条件是存在实数是存在实数使使ab.共线向量共线向量 (本题满分本题满分 14 分分)如图所示，如图所示，ABCD、ABEF 都是平都是平行四边形，且不共面，行四

14、边形，且不共面，M、N 分别是分别是 AC、BF 的中点 判断的中点 判断CE与与MN是否共线是否共线 例例3【思路点拨】【思路点拨】要判断要判断CE与与MN是否共线，由是否共线，由共线向量定理就是判断是否存在实数共线向量定理就是判断是否存在实数 x 使使CEx MN.若存在，则若存在，则CE与与MN共线，否则共线，否则CE与与MN不共线不共线【规范解答】【规范解答】M、N 分别是分别是 AC、BF 的中点，而的中点，而四边形四边形 ABCD、ABEF 都是平行四边形，都是平行四边形，MNMAAFFN12CAAF12FB.6 分分 又又MNMCCEEBBN12CACEAF12FB，12CAAF

15、12FB 12CACEAF12FB.11 分分 CECA2 AFFB2(MAAFFN)CE2 MN.CEMN，即，即CE与与MN共线共线.14 分分【名师点评名师点评】(1)判定两向量共线就是找判定两向量共线就是找x使使axb，充分运用空间向量运算法则并结，充分运用空间向量运算法则并结合空间图形，化简得出合空间图形，化简得出axb，从而得出，从而得出ab；(2)证明空间图形中的两线平行可以先证明两证明空间图形中的两线平行可以先证明两线所在的向量平行，然后观察图形找出在一线所在的向量平行，然后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直线上，则两直线平直线上有一点不在另一直线上，则两直线平行行 自我挑

16、战自我挑战2如图所示，正方体如图所示，正方体AC1中，中，M，N分别为棱分别为棱D1C1，B1C1的中点，求证的中点，求证M，N，B，D四点共面四点共面 证明：证明：MN12D1B112DB，MN，DB共线共线 从而可知从而可知 MNBD.M，N，B，D 四点共面四点共面 1在运用空间向量的运算法则化简向量表在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止简为止 在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：我们简化运算：方法感悟方法感悟 (1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和首尾相接的向量求和(2)首尾相接的若干向量若