黑龙江省虎林高级中学高中数学课件：1.1回归分析的基本思想及其初步应用 二课时2选修1-2.ppt

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1、1.1回归分析的基本思想及其回归分析的基本思想及其初步应用初步应用 第2课时 10 20 30 40 50 500 450 400 350 300 图中各点，大致分布在某条直线附近。利用刚刚的方法求出其回归方程 x y 施化肥量 水稻产量 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455 散点图 ixxiyy()()iixx yy2()ixx210 2795 i 1 2 3 4 5 6 7 合计合计 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 X平均值平均值

2、=30,Y平均值平均值=399.285 -69.285-54.285-34.285 5.715 45.715 50.715 55.715 1039.275 542.85 171.425 0 228.575 501.15 835.725 3319 225 100 25 0 25 100 225 700 -15 -10 -5 0 5 10 15 解:根据题意最小二乘法估计就是未知参数a和b的最好估计，于是有 741.4121niiniiixxyyxxb055.257xbya所以回归方程是 055.257741.4xy例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。59 43

3、61 64 54 50 57 48 体重/kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高/cm 8 7 6 5 4 3 2 1 编号 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，ab于是有b=12210.849niiiniix ynx yxnx85.712aybx 所以回归方程是 0.84985.712yx所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为 0.849 72 85.71260.316()ykg(,)x y 称为样本点的中心探究P3：身

4、高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重 解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系，因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关

5、系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条 直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。思考P3 产生随机误差项e 的原因是什么？思考思考P3 产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高 y 的观测误差。函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别

6、中国GDP散点图020000400006000080000100000120000199219931994199519961997199819992000200120022003年GDP函数模型：abxy回归模型：eabxy可以提供 选择模型的准则 函数模型与回归模型之间的差别 函数模型：abxy回归模型：eabxy 线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e，因变量，因变量y的值由自变量的值由自变量x和和 随机误差项随机误差项e共同确定，即共同确定，即自变量自变量x只能解析部分只能解析部分y的变化的变化。在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量x称为解

7、析（释）变量，称为解析（释）变量，因变量因变量y称为预报变量。称为预报变量。求出线性相关方程后，如何描述斜率估计值求出线性相关方程后，如何描述斜率估计值 与变化增量值之间相关关系的强弱？通过什么与变化增量值之间相关关系的强弱？通过什么 量来说明？量来说明？1.用相关系数用相关系数 r 来衡量来衡量 2.公式：12211niiinniiiixxyyrxxyy3.性质：性质：00rxyrxy当时，表示 与 为正相关;当时，表示 与 为负相关、当、当 时，时，x x与与y y为完全线性相关，它们之间为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。存在确定的函数关系。、当、当 时，表示时，表示x x与与y

8、 y存在着一定的线性相存在着一定的线性相关，关，r r的绝对值越大，越接近于的绝对值越大，越接近于1 1，表示，表示x x与与y y直线直线相关程度越高，反之越低。相关程度越高，反之越低。1r10 r如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？在在数学数学3中，我们学习了用相关系数中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变量来衡量两个变量 之间线性相关关系的方法。之间线性相关关系的方法。相关系数相关系数r 12211()().()()niiinniiiixx yyxxyy0.751,1,0.75,0 25,0.25,rrr 当，表明两个变量正相关很强；当表明两个

9、变量负相关很强；当.表明两个变量相关性较弱。相关关系的测度相关关系的测度（相关系数取值及其意义）-1.0+1.0 0-0.5+0.5 完全负相关 无线性相关 完全正相关 负相关程度增加 r 正相关程度增加 对回归模型进行统计检验 假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相同。在体重不受任何变量影响的假设下，设有人的体重将相同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女名女大学生的体重都是她们的平均值，即大学生的体重都是她们的平均值，即8个人的体重都为个人的体重都为54.5kg。54.5 54.5 54.5 54.5

10、54.5 54.5 54.5 54.5 体重/kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高/cm 8 7 6 5 4 3 2 1 编号 54.5kg 在散点图中，所有的点应在散点图中，所有的点应该落在同一条水平直线上，该落在同一条水平直线上，但是观测到的数据并非如但是观测到的数据并非如 此。此。这就意味着这就意味着预报变量预报变量（体重）的值受解析变量（体重）的值受解析变量（身高）或随机误差的影（身高）或随机误差的影响响。59 43 61 64 54 50 57 48 体重/kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高/cm 8 7

11、6 5 4 3 2 1 编号 例如，编号为例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解析。解析 变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了推”到了61kg，相差，相差6.5kg，所以所以6.5kg是解析变量和随机误差的是解析变量和随机误差的组合效应组合效应。编号为编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解析。解析 变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从变量（身高）和随

12、机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了推”到了54.5kg，相差，相差-4.5kg，这时解析变量和随机误差的组合效应为这时解析变量和随机误差的组合效应为-4.5kg。用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用 21()niiyy表示总的效应，称为总偏差平方和。表示总的效应，称为总偏差平方和。在例在例1中，总偏差平方和为中，总偏差平方和为354。59 43 61 64 54 50 57 48 体重/kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身

13、高/cm 8 7 6 5 4 3 2 1 编号 那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？有多少来自于随机误差？有多少来自于随机误差？假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图 中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归 直线上。直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上这些点散

14、布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了“推”开了。在例在例1中，残差平方和约为中，残差平方和约为128.361。因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，是随机误差的效应，称称 为为残差残差。)iiyy(iiieyy=例如，编号为例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：61(0.849 165 85.712)6.627对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用

15、数学符号 21()niiiyy称为残差平方和，称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。它代表了随机误差的效应。表示为：由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而，而 随机误差的效应为随机误差的效应为128.361，所以解析变量的效应为，所以解析变量的效应为 解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解析变量的效应（回归平方和）解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）随机误差的效应（残差平方和）354-128.361=225.639 这个值称为这个值称为回归平方和。回归平

16、方和。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是 22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和2221121()()()nniiiiiniiyyyyRyy总偏差平方和 残差平方和回归平方和总偏差平方和总偏差平方和离差平方和的分解离差平方和的分解 （三个平方和的意义）1.总偏差平方和总偏差平方和(SST)反映因变量的反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差个观察值与其均值的总离差 2.回归平方和回归平方和(SSR)反映自变量反映自变量 x 的变化对因变量的变化对因变量 y 取值变化的影响取值变化的影响，或者说或者说，是由于是由于 x 与与 y 之间的线性关系引起的之间的线性关系引起的 y 的的取值变化取值变化，也称为可解释的平方和也称为可解释的平方和 3.残差平方和残差平方和(SSE)反映除反映除 x 以外的其他因素对以外的其他因素对 y 取值的影响取值的影响，也称为也称为不可解释的平方和或剩余平方和不可解释的平方和或剩余平方和 样本决定系数样本决定系数 （判定系数 r2）1.回归平方和占总离差平方和