《课时讲练通》2017版（人教版）高中数学选修1-1（课件）：2.1 椭 圆 2.1.2.2 （2） .ppt

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1、第2课时 椭圆方程及性质的应用 类型一类型一:直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 【典例典例1 1】对不同的实数值对不同的实数值m,m,讨论直线讨论直线y=x+my=x+m与椭圆与椭圆 +y+y2 2=1=1的位置关系的位置关系.【解题指南解题指南】2x4【解析解析】联立方程组得联立方程组得:将代入得将代入得:+(x+m)+(x+m)2 2=1,=1,整理得整理得:5x:5x2 2+8mx+4m+8mx+4m2 2-4=0.4=0.=(8m)=(8m)2 2-4 45(4m5(4m2 2-4)=16(54)=16(5-m m2 2).).22yxm,xy1,42x4当当0,0,即即-m

2、m 时时,方程有两个不同的实数根方程有两个不同的实数根,代入可得两个公共点的坐标代入可得两个公共点的坐标,此时直线与椭圆相交此时直线与椭圆相交;当当=0,=0,即即m=m=时时,方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根,代代 入得一个公共点的坐标入得一个公共点的坐标,此时直线与椭圆相切此时直线与椭圆相切;0;0 时时,即即mm ,m ,方程无实根方程无实根,直线与椭圆相离直线与椭圆相离.55555【延伸探究延伸探究】若把本例中直线方程改为“若把本例中直线方程改为“y=2x+m”,y=2x+m”,椭圆方程改为椭圆方程改为 =1,=1,试讨论直线与椭圆的位置试讨论直线与椭圆的位置 关系关系.2

3、2xy42【解析解析】联立方程组得联立方程组得:将代入将代入,并整理得并整理得 9x9x2 2+8mx+2m+8mx+2m2 2-4=0,4=0,=(8m)=(8m)2 2-4 49 9(2m(2m2 2-4)=4)=-8m8m2 2+144.+144.22y2xm,xy1,42(1)(1)由由0,0,得得-m ,m ,也就是当也就是当-m m 时时,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根,可知原方程组有两个可知原方程组有两个 不同的实数解不同的实数解,这时直线与椭圆有两个不同的公共点这时直线与椭圆有两个不同的公共点,即直线与椭圆即直线与椭圆 相交相交.3 23 23 23 2(2)

4、(2)由由=0,=0,得得m=m=,也就是当也就是当m=m=时时,方程方程 有两个相等的实数根有两个相等的实数根,可知原方程组有两个相同的实可知原方程组有两个相同的实 数解数解,这时直线与椭圆有且只有一个公共点这时直线与椭圆有且只有一个公共点,即直线与即直线与 椭圆相切椭圆相切.3 23 2(3)(3)由由0,0,得得mm ,m ,也就是当也就是当mm m 时时,方程没有实数根方程没有实数根,可知方程组没有实数解可知方程组没有实数解,这时直线与椭圆没有公共点这时直线与椭圆没有公共点,即直线和椭圆相离即直线和椭圆相离.3 23 23 23 2【规律总结规律总结】判断直线与椭圆位置关系的步骤判断直

5、线与椭圆位置关系的步骤 【巩固训练巩固训练】直线直线y=xy=x-与椭圆与椭圆x x2 2+4y+4y2 2=2=2的位置关系的位置关系 是是_._.【解析解析】联立方程组得联立方程组得 消去消去y,y,整理得整理得5x5x2 2-4x4x-1=0(#)1=0(#)=(=(-4)4)2 2-4 45 5(-1)=360,1)=360,12221yx,2x4y2,即方程即方程(#)(#)有两个实数根有两个实数根,所以方程组有两组解所以方程组有两组解,即直线即直线和椭圆相交和椭圆相交.答案答案:相交相交 【补偿训练补偿训练】若直线若直线y=kx+1y=kx+1与焦点在与焦点在x x轴上的椭圆轴上的

6、椭圆 =1=1总有公共点总有公共点,求求m m的取值范围的取值范围.22xy5m【解析解析】由由 消去消去y,y,整理得整理得 (m+5k(m+5k2 2)x)x2 2+10kx+5(1+10kx+5(1-m)=0,m)=0,所以所以=100k=100k2 2-20(m+5k20(m+5k2 2)(1)(1-m)m)=20m(5k=20m(5k2 2+m+m-1),1),22ykx 1,xy1,5m因为直线与椭圆总有公共点因为直线与椭圆总有公共点,所以所以00对任意对任意kRkR都成立都成立,因为因为m0,m0,所以所以5k5k2 211-m m恒成立恒成立,所以所以1 1-m0,m0,即即m

7、1.m1.又因为椭圆的焦点在又因为椭圆的焦点在x x轴上轴上,所以所以0m5,0m5,所以所以1m5.1m0,=250,则则x x1 1+x+x2 2=x x1 1x x2 2=0.=0.222xy 20,xy1.54 53，2212122212AB22AB121222ABxxyyxx1 k1 kxx4x x55 51 2()4 0.33 所以方法三方法三:由方程组由方程组 消去消去x x得得 3y3y2 2+2y+2y-8=0,8=0,因为因为=2=22 2+4+43 38=1000,8=1000,则则 222xy 20,xy1,54 121228yyy y33 ，2212122122AB2

8、12122AB2ABxxyy1yy(1)k1(1)yy4y yk1285 5(1)()4().4333 所以【延伸探究延伸探究】(变换条件变换条件,改变问法改变问法)本典例中本典例中,若椭圆若椭圆 的左焦点为的左焦点为F,F,求求ABFABF的面积的面积.【解析解析】由椭圆方程知左焦点由椭圆方程知左焦点F(F(-1,0),1,0),又直线方程为又直线方程为 2x2x-y y-2=0,2=0,所以所以ABFABF的高为的高为 所以所以ABFABF 的面积为的面积为 22 24 5,521 15 54 510.2353 (变换条件变换条件,改变问法改变问法)本典例中本典例中,去掉条件“斜率为去掉条

9、件“斜率为 2”,2”,增加“弦增加“弦ABAB的长为的长为 ”.求直线求直线ABAB的方程的方程.【解析解析】当直线的斜率不存在时当直线的斜率不存在时,方程为方程为x=1,x=1,显然被显然被 椭圆截得的弦长为椭圆截得的弦长为 ,不是不是 ,不合题意不合题意.当直线的斜率存在时当直线的斜率存在时,设直线方程为设直线方程为y=k(xy=k(x-1).1).9 559 558 55设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则A,BA,B的坐标为方程组的坐标为方程组 的解的解.消去消去y y得得 (4+5k(4+5k2 2)x)x2 2-10k10k2

10、2x+5kx+5k2 2-20=0,20=0,=100k=100k4 4-4(4+5k4(4+5k2 2)(5k)(5k2 2-20)=4(80k20)=4(80k2 2+80)0,+80)0,所以所以x x1 1+x+x2 2=x=x1 1x x2 2=22yk x 1,xy154 2210k,4 5k225k204 5k，代入弦长公式得代入弦长公式得 所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为 22121222222AB1 kxx4x x1 k20 16 1 k4 5k8 5 1 k9 52 5,k4 5k55解得，2 5yx 1.5【规律总结规律总结】直线被椭圆截得的弦长的求法思路直线被椭

11、圆截得的弦长的求法思路 (1)(1)求两交点坐标求两交点坐标,转化为两点间距离转化为两点间距离.(2)(2)用公式来求用公式来求.设直线斜率为设直线斜率为k,k,直线与椭圆两交点为直线与椭圆两交点为A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则|AB|=|x|AB|=|x1 1-x x2 2|=|y=|y1 1-y y2 2|.|.21 k211k提醒提醒:在解决直线与椭圆相交问题时在解决直线与椭圆相交问题时,一般要消元化为一般要消元化为一元二次方程一元二次方程,常用根与系数的关系常用根与系数的关系,此时易忽视对所此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于

12、化一元二次方程判断判别式大于0.0.【补偿训练补偿训练】已知斜率为已知斜率为1 1的直线的直线l过椭圆过椭圆 +y+y2 2=1=1 的右焦点的右焦点F,F,交椭圆于交椭圆于A,BA,B两点两点,求弦求弦ABAB的长的长.【解析解析】设设A,BA,B两点的坐标分别为两点的坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),),由椭圆方程知由椭圆方程知a a2 2=4,b=4,b2 2=1,=1,所以所以c=c=所以所以F(,0),F(,0),所以直线所以直线l的方程为的方程为y=xy=x-,2x422ab3，33将其代入椭圆方程将其代入椭圆方程,并化简、整理得并化简、

13、整理得5x5x2 2-8 x+8=0,8 x+8=0,所以所以 所以所以 312128 38xxx x55，2221212122AB1 k xx1 kxx4x x8 34 5 882.55 类型三类型三:与椭圆相关的中点弦问题与椭圆相关的中点弦问题 【典例典例3 3】过椭圆过椭圆 =1=1内一点内一点M(2,1)M(2,1)引一条弦引一条弦,使弦被使弦被M M点平分点平分,求此弦所在的直线方程求此弦所在的直线方程.【解题指南解题指南】可以设出所求直线方程可以设出所求直线方程,然后代入椭圆然后代入椭圆 方程方程,消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求 解

14、解;也可以考虑利用点差法求解也可以考虑利用点差法求解.22xy164【解析解析】方法一方法一:由题意知过点由题意知过点M M的弦所在直线的斜率的弦所在直线的斜率存在存在,设为设为k,k,则所求直线方程为则所求直线方程为y y-1=k(x1=k(x-2).2).代入椭圆方程并整理代入椭圆方程并整理,得得(4k(4k2 2+1)x+1)x2 2-8(2k8(2k2 2-k)x+4(2kk)x+4(2k-1)1)2 2-16=0.16=0.又设直线与椭圆的交点为又设直线与椭圆的交点为A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1,x,x2 2是方程的

15、两个根是方程的两个根,于是于是x x1 1+x+x2 2=又又M M为为ABAB的中点的中点,所以所以 解得解得k=k=-.故所求直线的方程为故所求直线的方程为x+2yx+2y-4=0.4=0.228 2kk.4k121224 2kkxx224k1，12方法二方法二:设直线与椭圆的交点为设直线与椭圆的交点为A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),易易知知x x1 1xx2 2.又又M(2,1)M(2,1)为为ABAB的中点的中点,所以所以x x1 1+x+x2 2=4,y=4,y1 1+y+y2 2=2.=2.又又A,BA,B两点在椭圆上两点在椭圆上,则

16、则x x1 12 24y4y1 12 2=16=16，x x2 22 24y4y2 22 2=16.=16.两式相减得两式相减得(x(x1 12 2-x x2 22 2)4(y4(y1 12 2-y y2 22 2)=0.)=0.于是于是(x(x1 1+x+x2 2)(x)(x1 1-x x2 2)+4(y)+4(y1 1+y+y2 2)(y)(y1 1-y y2 2)=0.)=0.所以所以 即即k kABAB=-.又直线又直线ABAB过过 点点M(2,1),M(2,1),故所求直线的方程为故所求直线的方程为x+2yx+2y-4=0.4=0.12121212yyxx1xx4 yy2，12【规律总结规律总结】解决椭圆中点弦问题的两种方法解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)(1)根与系数的关系法根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成联立直线方程和椭圆方程构成方程组方程组,消去一个未知数消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决的关系以及中点坐标公式解决.(2)(2)点差法点差法:利用端点在曲线上利用端点在曲线上,坐标满足方程坐标满足方程