《课时讲练通》2017版（人教版）高中数学选修1-1（课件）：2.2 双 曲 线 2.2.2.1 .ppt

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1、2.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质【知识提炼知识提炼】1.1.双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 标准方程标准方程 图象图象 焦点焦点 _ _ 焦距焦距 _ 2222xy 1ab(a 0 b0)，2222yx 1ab(a 0 b 0)，F F1 1(-c,0),Fc,0),F2 2(c,0)(c,0)F F1 1(0,(0,-c),Fc),F2 2(0,c)(0,c)|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c 标准方程标准方程 范围范围 _或或_ _或或_ 对称性对称性 对称轴对称轴:_;:_;对称中心对称中心:_:_ 顶点顶点 _ _ 2222xy 1ab

2、(a 0 b0)，2222yx 1ab(a 0 b 0)，xx-a a xaxa yy-a a yaya 坐标轴坐标轴 原点原点 A A1 1(-a,0),Aa,0),A2 2(a,0)(a,0)A A1 1(0,(0,-a),Aa),A2 2(0,a)(0,a)标准方程标准方程 轴轴 实轴实轴:线段线段_,_,长长:_;:_;虚轴虚轴:线段线段_,_,长长:_;:_;半实轴长半实轴长:_,:_,半虚轴长半虚轴长:_:_ 离心率离心率 e=_e=_ 渐近线渐近线 _ _ 2222xy 1ab(a 0 b0)，2222yx 1ab(a 0 b 0)，A A1 1A A2 2 2a2a B B1

3、1B B2 2 2b2b a a b b ca(1,+)(1,+)byxaayxb2.2.等轴双曲线等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线实轴和虚轴等长的双曲线,标准方程为标准方程为_._.x x2 2-y y2 2=a=a2 2 【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题:(1)(1)椭圆与双曲线的离心率都是椭圆与双曲线的离心率都是e,e,其范围一样吗其范围一样吗?提示提示:不一样不一样.椭圆离心率椭圆离心率0e1,0e1.e1.(2)(2)若双曲线确定若双曲线确定,则渐近线确定吗则渐近线确定吗?反过来呢反过来呢?提示提示:当双曲线的方程确定后当双曲线的方程确定后,其渐近线方程也就确定

4、了其渐近线方程也就确定了;反过来反过来,确定确定 的渐近线却对应着无数条双曲线的渐近线却对应着无数条双曲线,如具有相同的渐近线如具有相同的渐近线y=y=x x的双的双 曲线可设为曲线可设为 =(0,R),=(0,R),当当00时时,焦点在焦点在x x轴上轴上,当当 0b,cb,即即|F|F1 1F F2 2|B|B1 1B B2 2|,|,所以所以B B1 1F F1 1B B2 2=60=60,所以所以 即即c=b.c=b.所以所以 答案答案:b3c3，322c3b6e.a23bb 62【知识探究知识探究】知识点知识点 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 观察图形观察图形,回答下列问题

5、回答下列问题:问题问题1 1:上图中上图中,a,b,c,a,b,c分别对应哪条线段分别对应哪条线段?问题问题2 2:图中点图中点F F到渐近线的距离等于多少到渐近线的距离等于多少?【总结提升总结提升】1.1.对双曲线渐近线的四点说明对双曲线渐近线的四点说明 (1)(1)随着随着x x和和y y趋向于无穷大趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线接近双曲线将无限地与渐近线接近,但永远没但永远没 有交点有交点.(2)(2)由渐近线方程可确定由渐近线方程可确定a a与与b b或或b b与与a a的比值的比值,但无法确定焦点位置但无法确定焦点位置.(3)(3)求渐近线的方程求渐近线的方程,常把双曲线方程右

6、边的常数写成常把双曲线方程右边的常数写成0,0,分解因式即得分解因式即得 渐近线方程渐近线方程,若已知渐近线方程若已知渐近线方程mx+ny=0,mx+ny=0,求双曲线方程求双曲线方程,常将双曲线常将双曲线 方程设为方程设为 求解求解.2222xynm(4)(4)与双曲线与双曲线 (a0,b0)(a0,b0)共渐近线的双曲线系方程可设为共渐近线的双曲线系方程可设为 =(0,a0,b0).0,a0,b0).2222xy1ab2222xyab2.2.离心率对双曲线开口大小的影响离心率对双曲线开口大小的影响 以双曲线以双曲线 (a0,b0)(a0,b0)为例为例:.:.故当故当 的值越大的值越大,渐

7、近线渐近线 的斜率越大的斜率越大,双曲线的开口越大双曲线的开口越大,e,e也越大也越大,所以所以e e反映了双曲线开口的大小反映了双曲线开口的大小,即双曲线的离心率越大即双曲线的离心率越大,它的开口就它的开口就 越大越大.2222xy1ab2222cabbe1aaabyxaba【拓展延伸拓展延伸】共轭双曲线共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线 的共轭双曲线的共轭双曲线.与与 互为共轭双曲线互为共轭双曲线,其性质如下其性质如下:(1)(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线

8、.(2)(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距.(3)(3)与与 具有相同渐近线的双曲线系方程为具有相同渐近线的双曲线系方程为 (k0)(k0)2222xy1ab2222yx1ba2222xy1ab2222xykab【题型探究题型探究】类型一类型一 已知双曲线的标准方程求其简单几何性质已知双曲线的标准方程求其简单几何性质 【典例典例】1 1.(20152015开封高二检测开封高二检测)已知双曲线已知双曲线4 4x x2 2-3 3y y2 2=1212,则双曲线则双曲线的离心率为的离心率为 ()2 2.求双曲线求双曲线9 9y y2 2-1616x x2 2

9、=144144的实半轴长和虚半轴长的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标焦点坐标、离心率离心率、渐近线方程渐近线方程.72177A.B.C.D.3372【解题探究解题探究】1.1.如何求典例如何求典例1 1中双曲线的离心率中双曲线的离心率?提示提示:直接根据双曲线的定义得出直接根据双曲线的定义得出a,ca,c的值的值,进而求出离心率的值进而求出离心率的值.2.2.如何求典例如何求典例2 2中双曲线的几何性质中双曲线的几何性质?提示提示:先化双曲线为标准形式先化双曲线为标准形式,再求参数再求参数a,b,c,a,b,c,进而求其几何性质进而求其几何性质.【解析解析】1.1.选选B.B.原方程原方程4x4x

10、2 2-3y3y2 2=12=12可化为可化为 所以所以a=,b=2,c=.a=,b=2,c=.所以离心率所以离心率e=e=2.2.把方程化为标准方程把方程化为标准方程 =1.=1.由此可知由此可知,实半轴长实半轴长a=4,a=4,虚半轴长虚半轴长b=3.b=3.焦点的坐标是焦点的坐标是(0,(0,-5),(0,5).5),(0,5).离心率离心率e=e=渐近线方程为渐近线方程为x=x=y,y,即即y=y=x.x.22xy1,3437c21.a32222yx432222cab435，c5.a43443【方法技巧方法技巧】用双曲线标准方程研究几何性质的步骤用双曲线标准方程研究几何性质的步骤 (1

11、)(1)将双曲线方程化为标准形式将双曲线方程化为标准形式.(2)(2)判断焦点位置判断焦点位置.(3)(3)求出求出a,b,ca,b,c的值的值.(4)(4)写出双曲线的几何性质写出双曲线的几何性质.【变式训练变式训练】求双曲线求双曲线4x4x2 2-y y2 2=4=4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程虚半轴长、离心率和渐近线方程.【解析解析】将将4x4x2 2-y y2 2=4=4变形为变形为x x2 2-=1,=1,即即 =1.=1.所以所以a=1,b=2,c=.a=1,b=2,c=.因此顶点为因此顶点为A A1 1(-1,0),

12、A1,0),A2 2(1,0);(1,0);焦点为焦点为F F1 1(-,0),F,0),F2 2(,0);(,0);实半轴长是实半轴长是a=1,a=1,虚半轴长是虚半轴长是b=2;b=2;离心率离心率e=;e=;渐近线方程为渐近线方程为y=y=x=x=2x.2x.2y42222xy12555c55a1ba类型二类型二 由双曲线的几何性质求标准方程由双曲线的几何性质求标准方程 【典例典例】求过点求过点(2,(2,-2)2)且与且与 -y y2 2=1=1有公共渐近线的双曲线的有公共渐近线的双曲线的 标准方程标准方程.【解题探究解题探究】本典例中与本典例中与 -y y2 2=1=1有公共渐近线的

13、曲线如何设有公共渐近线的曲线如何设?提示提示:可设为可设为 -y y2 2=(0).=(0).2x22x22x2【解析解析】方法一方法一:当焦点在当焦点在x x轴上时轴上时,由于由于 ,故可设方程为故可设方程为 =1,=1,代入点代入点(2,(2,-2),2),得得b b2 2=-2(2(舍去舍去).).当焦点在当焦点在y y轴上时轴上时,可知可知 ,故可设方程为故可设方程为 =1,=1,代入点代入点 (2,(2,-2),2),得得a a2 2=2.=2.所以所求双曲线方程为所以所求双曲线方程为 =1.=1.b2a22222xy2bba2b22222yxa2a22yx24方法二方法二:因为所求

14、双曲线与已知双曲线因为所求双曲线与已知双曲线 -y y2 2=1=1有公共的渐近线有公共的渐近线,故可故可 设双曲线方程为设双曲线方程为 =(0),=(0),代入点代入点(2,(2,-2),2),得得=-2.2.所以所求双曲线的方程为所以所求双曲线的方程为 -y y2 2=-2,2,即即 2x222xy212x222yx1.24【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)若把本例条件“与若把本例条件“与 -y y2 2=1=1有公共渐近线”换成有公共渐近线”换成 “焦点在“焦点在x x轴上轴上,离心率为离心率为 ”,求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程.2x23【解析解析】因为焦点在因为

15、焦点在x x轴上轴上,故双曲线的标准方程可设为故双曲线的标准方程可设为 (a0,b0),(a0,b0),又双曲线过点又双曲线过点(2,(2,-2)2)且离心率为且离心率为 ,所以所以 解得解得a a2 2=2,b=2,b2 2=4,=4,故双曲线的标准方程为故双曲线的标准方程为 =1.=1.2222xy1ab322222441,abc3,aabc,22xy242.(2.(变换条件变换条件)若把本例中条件若把本例中条件“与与 -y y2 2=1=1有公共渐近线有公共渐近线”换成换成“焦焦点到渐近线的距离为点到渐近线的距离为3 3”,求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程.2x2【解析解析】因为焦点

16、到渐近线的距离为因为焦点到渐近线的距离为3,3,所以所以b=3.b=3.(1)(1)当焦点在当焦点在x x轴上时轴上时,a,a2 2=,b=,b2 2=9.=9.故双曲线的标准方程为故双曲线的标准方程为 (2)(2)当焦点在当焦点在y y轴上时轴上时,a,a2 2=,b=,b2 2=9.=9.故双曲线的标准方程为故双曲线的标准方程为 36132213xy1.36936132213yx1.369【方法技巧方法技巧】巧设双曲线方程的六种常用方法巧设双曲线方程的六种常用方法 (1)(1)焦点在焦点在x x轴上的双曲线的标准方程可设为轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0,b0).(a0,b0).(2)(2)焦点在焦点在y y轴上的双曲线的标准方程可设为轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0,b0).(a0,b0).(3)(3)与双曲线与双曲线 共焦点的方程可设为共焦点的方程可设为 (0,0,-b b2 2 aa2 2).).2222xy1ab2222yx1ab2222xy1ab2222xy1ab(4)(4)与双曲线与双曲线 具有相同渐近线的方程可设为具有相同渐近线的方程可设为 (0).0).(5