《课时讲练通》2017版（人教版）高中数学选修1-1（课件）：2.2 双 曲 线 双曲线的简单几何性质（2） .ppt

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1、双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 有一首歌，名字叫做有一首歌，名字叫做悲伤的双曲线悲伤的双曲线，歌词如下：如，歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是反比例函数，你果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是反比例函数，你就是那坐标轴虽然我们有缘，能够生在同一个平面然而就是那坐标轴虽然我们有缘，能够生在同一个平面然而我们又无缘，漫漫长路无交点我们又无缘，漫漫长路无交点 问题问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点提示：坐标轴、坐标原点 问题问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但

2、不能相交，这条直线叫做什么？但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线提示：双曲线的渐近线 问题问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？双曲线有几个交点？提示：只有一个交点提示：只有一个交点 1双曲线的几何性质双曲线的几何性质 标准方程标准方程 x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形图形 标准方程标准方程 (a0，b0)(a0，b0)性性 质质 焦点焦点 焦距焦距 范围范围 对称性对称性 对称轴对称轴 ，对称中心对称中心 x2a2y2b21 y2a2x2b21 F1(c,0)，F2(c,0)F

3、1(0，c)，F2(0，c)|F1F2|2c xa或或xa，yR ya或或ya，xR x x轴、轴、y轴轴 坐标原点坐标原点 标准方程标准方程 (a0，b0)(a0，b0)性性 质质 顶点顶点 轴长轴长 实轴长实轴长 ，虚轴长，虚轴长 离心率离心率 渐近线渐近线 或或 或或 x2a2y2b21 y2a2x2b21(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)2a 2b eca(e1)xayb0 ybax xbya0 yabx 2等轴双曲线等轴双曲线 实轴和虚轴实轴和虚轴 的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是是 ，离心率离心率为为 .等长等长 yx e 2.双曲线的焦

4、点和顶点在同一条对称轴上双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上.2.利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线近线是直线 x a，y b(或或 x b，y a)围成的矩形的对围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状角线，它决定了双曲线的形状.3.为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程方程时，可以把双曲线标准方程x2a2y2b21(a0，b0)中等号中等号右边的右边的“1”改成改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程，然后分解因式即可得到渐近线的方程xay

5、b0.第一课时第一课时 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 例例1 求双曲线求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的半实轴的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程程 思 路 点 拨思 路 点 拨 化为标准形式化为标准形式 求求a，b，c得双曲线的几何性质得双曲线的几何性质 精解详析精解详析 把方程把方程 nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程化为标准方程 x2my2n1(m0，n0)，由此可知，半实轴长由此可知，半实轴长 a m，半虚轴长半虚轴长 b n，c mn，焦点坐标焦点坐标为为(mn，0)，(mn，0)，离

6、心率离心率 ecamnm 1nm，顶点坐标为顶点坐标为(m，0)，(m，0)，渐近线的方程为渐近线的方程为 ynm x，即即 ymnmx.一点通一点通 已知双曲线的方程求其几何性质时，若已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程弄清方程中的方程不是标准形式的先化成标准方程弄清方程中的a，b对应的值，再利用对应的值，再利用c2a2b2得到得到c，然后确定双曲线的，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质焦点位置，从而写出双曲线的几何性质 1(2011 安徽高考安徽高考)双曲线双曲线 2x2y28 的实轴长是的实轴长是()A2 B2 2 C4 D4 2 解析：解析

7、：双曲线方程可变形为双曲线方程可变形为x24y281，所以，所以 a24，a2，2a4.答案：答案：C 2已知双曲线已知双曲线 C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆的焦点、顶点恰好分别是椭圆x225y2161 的长轴端点、焦点，则双曲线的长轴端点、焦点，则双曲线 C 的渐近线方程为的渐近线方程为()A4x 3y0 B3x 4y0 C4x 5y0 D5x 4y0 解析：解析：由已知得，双曲线焦点在由已知得，双曲线焦点在 x 轴上，且轴上，且 c5，a3，双曲线方程为双曲线方程为x29y2161.渐近线方程为渐近线方程为x29y2160,即即x3y40.答案：答案：A 例例 2 求适合下列条件的双曲线标

8、准方程求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为虚轴长为 12，离心率为，离心率为54；(2)顶点间距离为顶点间距离为 6，渐近线方程为，渐近线方程为 y32x；(3)与双曲线与双曲线 x22y22 有公共有公共的的渐近线，且过点渐近线，且过点 M(2，2)思 路 点 拨思 路 点 拨 分析双曲线的几何性质分析双曲线的几何性质 求求a，b，c确定确定 讨论讨论 焦点位置焦点位置求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程 精解详析精解详析 (1)设双曲线的标准方程为设双曲线的标准方程为x2a2y2b21 或或y2a2x2b21(a0，b0)由题由题意意知知 2b12，ca54且且 c2a2b2，b

9、6，c10，a8，标准方程为标准方程为x264y2361 或或y264x2361.(2)法一：法一：当焦点在当焦点在 x 轴上时，轴上时，ba32且且 a3，b92.所求所求的的方程为方程为x294y2811.当焦点在当焦点在 y 轴上时，轴上时，ab32且且 a3，b2.所求所求的的方程为方程为y29x241.法二：法二：设以设以 y32x 为渐近线的双曲线方程为为渐近线的双曲线方程为x24y29(0)。当当 0 时，时，a24，2a2 4694；当当 0)若已知双曲线的渐近线方程若已知双曲线的渐近线方程 ybax，还可以将方程设，还可以将方程设为为x2a2y2b2(0)，可避免讨论焦点的位

10、置，可避免讨论焦点的位置 3若双曲线的一个焦点为若双曲线的一个焦点为(0，13)，且离心率为，且离心率为135，则其标准，则其标准 方程为方程为 ()A.x252y21221 B.y2122x2521 C.x2122y2521 D.y252x21221 解析：解析：依题意可知，双曲线的焦点在依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且轴上，且 c13.又又ca135，所以所以 a5，b c2a212，故其标准方程为，故其标准方程为y252x21221.答案：答案：D 4与椭圆与椭圆x29y2251 共焦点，离心率之和为共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方的双曲线标准方 程为程为_ 解析：解析：

11、椭圆的焦点是椭圆的焦点是(0,4)，(0，4)，c4，e45，双曲线的离心率等于双曲线的离心率等于145452，4a2，a2.b2422212.双曲线的双曲线的标准标准方程为方程为y24x2121.答案：答案：y24x2121.例例 3 已知已知 F1，F2是双曲线是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，的两个焦点，PQ 是经过是经过 F1且垂直于且垂直于 x 轴的双曲线的弦轴的双曲线的弦.如果如果PF2Q90，求双曲，求双曲线的离心率线的离心率 思 路 点 拨思 路 点 拨 设设F1 c，0，将焦点，将焦点F1的横坐标代入方程的横坐标代入方程求出求出P的纵的纵坐标及坐标及|PF1

12、|由由PF2Q90建立建立a，b，c的的关系关系求出离心率求出离心率 精解详析精解详析 设设 F1(c,0)，由由|PF2|QF2|，PF2Q90，知知|PF1|F1F2|2c，|PF2|2 2c.由双曲线的定义得由双曲线的定义得 2 2c2c2a.eca22 221 2.所以所求双曲线的离心率为所以所求双曲线的离心率为 1 2.一点通一点通 (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出 a，c，再计算再计算 eca；二是依据条件建立参数；二是依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，一种的关系式，一种方法是消去方法是消去 b 转化成离心率转化成离心

13、率 e 的方程求解，另一种方法是消去的方程求解，另一种方法是消去 c转化成含转化成含ba的方程，求出的方程，求出ba后利用后利用 e1b2a2求离心率求离心率(2)求离心率的范围一般是根据条件建立求离心率的范围一般是根据条件建立 a，b，c 的不等式，的不等式，通过解不等式得通过解不等式得ca或或ba的范围，再求得离心率的范围的范围，再求得离心率的范围 5已知双曲线已知双曲线x2a2y2b21 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为心率为 ()A.3 B.2 C.52 D.22 解析：解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线等轴双曲线的实轴由题意可知，此双曲线为等轴双曲线等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则与虚轴相等，则 ab，c a2b2 2a，于是，于是 eca 2.答案：答案：B 6设设 a1，则双曲线，则双曲线x2a2y2 a1 21 的离心率的离心率 e 的取值范围是的取值范围是()A(2，2)B(2，5)C(2,5)D(2,5)解析：解析：e2a2 a1 2a21a22a2(1a1)21，a1，01a1,11a12，2e21，2e0，b0)