《课时讲练通》2017版（人教版）高中数学选修1-1（课件）：2.3 抛 物 线 2.3.2.2 （2） .ppt

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1、第2课时 抛物线方程及性质的应用 类型一类型一:直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系 【典例典例1 1】(1)(2016(1)(2016吉林高二检测吉林高二检测)已知直线已知直线l过点过点 且与抛物线且与抛物线y y2 22px(p0)2px(p0)只有一个公共只有一个公共 点，则直线点，则直线l的方程为的方程为_ (2)(2)顶点在原点，焦点在顶点在原点，焦点在x x轴上的抛物线截直线轴上的抛物线截直线y y2x2x-4 4 所得的弦长所得的弦长|AB|AB|求此抛物线方程求此抛物线方程 3pA(p)2，3 5，【解题指南解题指南】(1)(1)设出直线的点斜式方程设出直线的点斜式方程

2、,利用直线与利用直线与抛物线只有一个公共点的条件求斜率抛物线只有一个公共点的条件求斜率.(2)(2)利用直线被抛物线截得的弦长公式求参数利用直线被抛物线截得的弦长公式求参数.【解析解析】(1)(1)当直线与抛物线只有一个公共点当直线与抛物线只有一个公共点(相切相切)时，由题意设直线时，由题意设直线l方程为方程为 将直线将直线l 的方程与的方程与y y2 22px2px联立，消去联立，消去x x得得kyky2 22py2py(2(23k)p3k)p2 2 0.0.由由0 0得，得，或或k k1.1.所以直线所以直线l的方程为的方程为2x2x6y6y9p9p0 0，或，或2x2x2y2yp p0.

3、0.3pypk(x)k02 1k3，当直线当直线l与与x x轴平行时，直线轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，与抛物线只有一个交点，此时，此时，y yp p，故满足条件的直线共有三条，其方程为：，故满足条件的直线共有三条，其方程为：2x2x6y6y9p9p0 0，或，或2x2x2y2yp p0 0，或，或y yp.p.答案：答案：2x2x6y6y9p9p0 0，或，或2x2x2y2yp p0 0，或，或y yp.p.(2)(2)设所求的抛物线方程为设所求的抛物线方程为y y2 2ax(a0)ax(a0)，A(xA(x1 1，y y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)，把直线，把直线y

4、 y2x2x4 4代入代入y y2 2axax，得得4x4x2 2(a(a16)x16)x16160 0，由由(a(a16)16)2 22562560 0，得，得a a0 0或或a a32.32.又又 1212a 16xxx x44，所以所以|AB|AB|所以所以 所以所以a a4 4或或a a36.36.故所求的抛物线方程为故所求的抛物线方程为y y2 24x4x或或y y2 236x.36x.221212(1 2)(xx)4x x 2a 165()16 3 54，2a 165()16 454，【延伸探究延伸探究】(变换条件变换条件,改变问法改变问法)本题本题(1)(1)中中,若过点若过点

5、A(t,p)A(t,p)只有一条直线与抛物线只有一个公共点只有一条直线与抛物线只有一个公共点,求求t t的的 取值范围取值范围.【解析解析】由典例知由典例知,若点若点A A在抛物线外部或抛物线上在抛物线外部或抛物线上,则则 至少有两条直线与抛物线只有一个公共点至少有两条直线与抛物线只有一个公共点,所以点所以点A A应应 在抛物线内部在抛物线内部,即即p p2 22pt,0),=2px(p0),直线直线Ax+By+C=0,Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立将直线方程与抛物线方程联立,消去消去x x得到得到关于关于y y的方程的方程mymy2 2+ny+q=0,+ny+q=0,若若m0

6、,m0,当当 00时时,直线与抛物线有两个公共点直线与抛物线有两个公共点;当当=0=0时时,直线与抛物线只有一个公共点直线与抛物线只有一个公共点;当当 00,0,即即k1,k1,且且k0k0时时,l与与C C有两个公共点有两个公共点,此时此时l与与C C相交相交;当当=0,=0,即即k=1k=1时时,l与与C C有一个公共点有一个公共点,此时直线此时直线l与与C C相相切切;当当01k1时时,l与与C C没有公共点没有公共点,此时直线此时直线l与与C C相相离离.综上所述综上所述:(1):(1)当当k=1k=1或或k=0k=0时时,直线直线l与与C C有一个公共点有一个公共点;(2)(2)当当

7、k1,k1k1时时,直线直线l与与C C没有公共点没有公共点.2.2.如图所示如图所示,直线直线l:y=x+b:y=x+b与抛物线与抛物线C:xC:x2 2=4y=4y相切于点相切于点A.A.(1)(1)求实数求实数b b的值的值.(2)(2)求以点求以点A A为圆心为圆心,且与抛物线且与抛物线C C的准线相切的圆的方的准线相切的圆的方程程.【解析解析】(1)(1)由由 得得x x2 2-4x4x-4b=0.(*)4b=0.(*)因为直线因为直线l与抛物线与抛物线C C相切相切,所以所以=(=(-4)4)2 2-4 4(-4b)=0,4b)=0,解得解得b=b=-1.1.(2)(2)由由(1)

8、(1)可知可知b=b=-1,1,故方程故方程(*)(*)即为即为x x2 2-4x+4=0,4x+4=0,解得解得x=2.x=2.将其代入将其代入x x2 2=4y,=4y,得得y=1.y=1.故点故点A(2,1).A(2,1).2yxbx4y，因为圆因为圆A A与抛物线与抛物线C C的准线相切的准线相切,所以圆所以圆A A的半径的半径r r等于圆心等于圆心A A到抛物线的准线到抛物线的准线y=y=-1 1的距离的距离,即即r=|1r=|1-(-1)|=2,1)|=2,所以圆所以圆A A的方程为的方程为(x(x-2)2)2 2+(y+(y-1)1)2 2=4.=4.类型二类型二:抛物线中的最值

9、与范围问题抛物线中的最值与范围问题 【典例典例2 2】设设P P是抛物线是抛物线y y2 2=4x=4x上的一个动点上的一个动点,F,F为抛物线为抛物线焦点焦点.(1)(1)求点求点P P到点到点A(A(-1,1)1,1)的距离与点的距离与点P P到直线到直线x=x=-1 1的距离的距离之和的最小值之和的最小值.(2)(2)若若B(3,2),B(3,2),求求|PB|+|PF|PB|+|PF|的最小值的最小值.【解题指南解题指南】利用两点之间线段最短结合抛物线的定利用两点之间线段最短结合抛物线的定义求解义求解.【解析解析】(1)(1)如图，易知抛物线的焦点为如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)

10、F(1,0)，准线，准线 方程是方程是x x1 1，由抛物线的定义知：点，由抛物线的定义知：点P P到直线到直线x x1 1 的距离等于点的距离等于点P P到焦点到焦点F F的距离于是，问题转化为：的距离于是，问题转化为：求点求点P P到点到点A(A(1,1)1,1)的距离与点的距离与点P P到到F(1,0)F(1,0)的距离之和的距离之和 的最小值显然，连接的最小值显然，连接AFAF交抛物线于交抛物线于P P点，故最小值为点，故最小值为 即即 2221，5.(2)(2)如图把点如图把点B B的横坐标代入的横坐标代入y y2 2=4x=4x中，中，得得 因为因为 所以所以B B在抛物在抛物 线

11、内部，自线内部，自B B作作BQBQ垂直准线于垂直准线于Q Q，交抛物线于交抛物线于P P1 1.此时，由抛物线定义知：此时，由抛物线定义知：|P|P1 1Q|=|PQ|=|P1 1F|.F|.那么那么|PB|+|PF|P|PB|+|PF|P1 1B|+|PB|+|P1 1Q|=|BQ|=3+1=4.Q|=|BQ|=3+1=4.即最小值为即最小值为4.4.y12,12 2，【规律总结规律总结】两类与抛物线定义有关的最值问题的解两类与抛物线定义有关的最值问题的解题方法题方法 (1)(1)点在抛物线外点在抛物线外:求抛物线上的点求抛物线上的点P P到抛物线外的一定到抛物线外的一定点点A A的距离与

12、准线的距离的距离与准线的距离d d之和的最小值之和的最小值.方法是利用抛方法是利用抛物线的定义把物线的定义把d d转化为转化为|PF|(F|PF|(F为抛物线的焦点为抛物线的焦点),),即将求即将求|PA|+d|PA|+d的最小值转化为求的最小值转化为求|PF|+|PA|PF|+|PA|的最小值的最小值.利用利用P,A,FP,A,F三点共线求最小值三点共线求最小值.(2)(2)点在抛物线内点在抛物线内:求抛物线上的点求抛物线上的点P P到抛物线内的一定到抛物线内的一定点点A A的距离与抛物线焦点的距离与抛物线焦点F F的距离之和的最小值的距离之和的最小值.方法是方法是利用抛物线的定义把利用抛物

13、线的定义把|PF|PF|转化为转化为P P到准线到准线l的距离的距离d,d,即即将求将求|PA|+|PF|PA|+|PF|的最小值转化为求的最小值转化为求d+|PA|d+|PA|的最小值的最小值.利利用点用点A A到准线的垂线段最短求最小值到准线的垂线段最短求最小值.【拓展延伸拓展延伸】抛物线上一点到某定点或到某定直线的抛物线上一点到某定点或到某定直线的 距离问题的两类解法距离问题的两类解法 (1)(1)函数最值法：设点函数最值法：设点P(xP(x0 0,y,y0 0)是抛物线是抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的点，则上的点，则 即即 再由两点间的距离公再由两点间的距离公

14、式，点到直线的距离公式表示出所求距离，利用求函式，点到直线的距离公式表示出所求距离，利用求函 数最值的方法求解数最值的方法求解.200yx2p200yP(,y)2p，(2)(2)几何转化法：抛物线上一点到某定直线的距离的最几何转化法：抛物线上一点到某定直线的距离的最值问题也可通过平移直线的方法转化为平行线间的距值问题也可通过平移直线的方法转化为平行线间的距离问题离问题.【巩固训练巩固训练】(2016(2016四川高考四川高考)设设O O为坐标原点，为坐标原点，P P是是以以F F为焦点的抛物线为焦点的抛物线y y2 2=2px(p=2px(p0)0)上任意一点，上任意一点，M M是线是线段段P

15、FPF上的点，且上的点，且|PM|=2|MF|PM|=2|MF|，则直线，则直线OMOM斜率的最大值斜率的最大值为为()322A.B.C.D.1332【解析解析】选选C.C.如图，由题可知如图，由题可知 ，设，设P P点坐标为点坐标为 pF(0)2，200y(y)2p，显然，当显然，当y y0 00 0时，时，k kOMOM0 0；y y0 00 0时，时，k kOMOM0 0，要求，要求k kOMOM的最大值，不妨设的最大值，不妨设y y0 00.0.当且仅当当且仅当y y0 02 2=2p=2p2 2时等号成立时等号成立.1112OMOF FMOFFPOFOP OFOPOF3333则200

16、yyp()6p3 3，0OM2000y2223ky2pyp22 2py6p3，【补偿训练补偿训练】设设P P是抛物线是抛物线y y2 2=2x=2x上任一点上任一点,则则P P到直线到直线x x-y+3=0y+3=0的距离的最小值为的距离的最小值为_,_,点点P P的坐标为的坐标为_._.【解析解析】方法一：设方法一：设P(xP(x0 0，y y0 0)是是y y2 22x2x上任一点，上任一点，则点则点P P到直线到直线x x-y+3=0y+3=0的距离的距离 当当y y0 01 1时，时，点点P P坐标为坐标为 答案：答案：2020000y|y3|y15|xy32d222 2，min5 2d4，1(1)2，5 21 (1)42，方法二：设与抛物线相切且与直线方法二：设与抛物线相切且与直线x xy y3 30 0平行的平行的 直线方程为直线方程为x xy ym m0 0，由由 得得y y2 22y2y2m2m0 0，因为因为(2)2)2 24 42m2m0 0，所以所以 2xy m0y2x，1m.2所以平行直线的方程为所以平行直线的方程为 此时点到直线的最此时点到直线的最 短距离转化