《课时讲练通》2017版（人教版）高中数学选修1-1（课件）：3.1 变化率与导数 3.1.3 .ppt

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1、3.1.3 导数的几何意义 【知识提炼知识提炼】1.1.导数的几何意义导数的几何意义 (1)(1)切线的定义切线的定义.如图如图,对于割线对于割线PPPPn n,当点当点P Pn n趋近于点趋近于点P P时时,割线割线PPPPn n趋近于确定的位置趋近于确定的位置,这个确定位置的这个确定位置的_称为点称为点P P处的切线处的切线.(2)(2)导数的几何意义导数的几何意义.导数的几何意义导数的几何意义:函数函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的导数就是切线处的导数就是切线PTPT的斜率的斜率k,k,即即 k=f(xk=f(x0 0).).直线直线PTPT x0lim 00f(xx)f x

2、x2.2.导函数的概念导函数的概念 (1)(1)定义定义:当当x x变化时变化时,_,_便是便是x x的一个函数的一个函数,我们称它为我们称它为f(x)f(x)的的 导函数导函数(简称导数简称导数).).(2)(2)记法记法:f(x):f(x)或或y,y,即即f(x)=y=.f(x)=y=.f(x)f(x)x0lim f(xx)f xx【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题:(1)(1)曲线的切线与曲线只有一个公共点吗曲线的切线与曲线只有一个公共点吗?提示提示:不一定不一定.曲线的切线与曲线除了切点外曲线的切线与曲线除了切点外,可能还有其他的公共点可能还有其他的公共点.(2)(2

3、)函数函数f(x)f(x)与其导函数与其导函数f(x)f(x)的定义域有何关系的定义域有何关系?提示提示:函数函数f(x)f(x)与其导函数与其导函数f(x)f(x)的定义域不一定相同的定义域不一定相同.如如f(x)=,f(x)=,其导函数为其导函数为f(x)=,f(x)=,定义域不同定义域不同.x12 x2.2.若函数若函数f(x)f(x)在在x x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)=,)=,则函数则函数f(x)f(x)在在x x0 0处的切线的处的切线的 倾斜角为倾斜角为 .【解析解析】由题意由题意,函数函数f(x)f(x)在在x x0 0处的切线的斜率处的切线的斜率k=,k=,故

4、倾斜角为故倾斜角为 .答案答案:33333.3.若函数若函数f(x)f(x)在点在点A(1,A(1,-1)1)处的导数为处的导数为-2,2,则函数在点则函数在点A A处的切线方程处的切线方程为为 .【解析解析】由题意由题意,函数在点函数在点A A处的切线斜率处的切线斜率k=k=-2,2,则切线方程为则切线方程为 y+1=y+1=-2(x2(x-1),1),即即2x+y2x+y-1=0.1=0.答案答案:2x+y2x+y-1=01=0 4.4.若函数若函数f(x)f(x)在某点处的切线方程为在某点处的切线方程为x x-y+1=0,y+1=0,则函数在该点处的导则函数在该点处的导数为数为 .【解析

5、解析】由题意由题意,函数在该点处的切线斜率函数在该点处的切线斜率k=1,k=1,故在该点处的导数为故在该点处的导数为1.1.答案答案:1 1 5.5.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2的导数的导数f(x)=f(x)=.【解析解析】可利用导数定义求可利用导数定义求f(x)=xf(x)=x2 2在在x=xx=x0 0处的导数处的导数,再把再把x x0 0换成换成x x即可即可.答案答案:2x2x 【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 导数的几何意义导数的几何意义 观察图形观察图形,回答下列问题回答下列问题:问题问题1:1:曲线的割线与切线有什么关系曲线的割线与切线有什么关系?问题问题2:2:

6、曲线在某点处切线与在该点处的导数有什么关系曲线在某点处切线与在该点处的导数有什么关系?【总结提升总结提升】1.1.曲线的切线与割线曲线的切线与割线 (1)(1)曲线的切线是由割线绕一点转动曲线的切线是由割线绕一点转动,当另一点无限接近这一点时割线当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线趋于的直线.(2)(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以甚至可以有无穷多有无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.2.2.曲线的切线与导数曲线的切线与导数 (1)(1)函数函数f(x

7、)f(x)在在x x0 0处有导数处有导数,则在该点处函数则在该点处函数f(x)f(x)表示的曲线必有切表示的曲线必有切 线线,且导数值是该切线的斜率且导数值是该切线的斜率.(2)(2)函数函数f(x)f(x)表示的曲线在点表示的曲线在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处有切线处有切线,但函数但函数f(x)f(x)在该点在该点 处不一定可导处不一定可导,如如f(x)=f(x)=在在x=0 x=0处有切线处有切线,但不可导但不可导.3x知识点知识点2 2 导函数的概念导函数的概念 观察图形观察图形,回答下列问题回答下列问题:问题问题:导函数导函数f(x)f(x)与与f(xf(x0 0)有何

8、区别与联系有何区别与联系?【总结提升总结提升】导函数的相关概念导函数的相关概念 (1)(1)函数在一点处的导数函数在一点处的导数f(xf(x0 0),),就是在该点处函数值的改变量与自就是在该点处函数值的改变量与自 变量的改变量之比的极限值变量的改变量之比的极限值,它是一个常数它是一个常数,不是变数不是变数.(2)(2)函数的导数是对某一区间内任意点函数的导数是对某一区间内任意点x x而言的而言的,就是函数就是函数f(x)f(x)的导函的导函 数数f(x).f(x).(3)(3)函数函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)就是导函数就是导函数f(x)f(x)

9、在在x=xx=x0 0处的函处的函 数值数值,即即f(xf(x0 0)=)=这也是求函数在点这也是求函数在点x x0 0处的导数的方法之一处的导数的方法之一.0 x xy|.【题型探究题型探究】类型一类型一 求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程 【典例典例】求曲线求曲线y=xy=x3 3-2 2x+x+1 1在点在点(1 1,0 0)处的切线方程处的切线方程.【解题探究解题探究】求曲线上在某点处的切线方程的关键是什么求曲线上在某点处的切线方程的关键是什么?提示提示:求曲线上在某点处的切线方程的关键是求在该点处的导数值求曲线上在某点处的切线方程的关键是求在该点处的导数值.【解析解析】

10、因为因为f(x)=f(x)=(x=(x2 2+3x+3xx+3xx+3x2 2-2)2)=3x=3x2 2-2,2,所以所以f(1)=3f(1)=3-2=1,2=1,所以切线的方程为所以切线的方程为y=xy=x-1.1.即即x x-y y-1=0.1=0.33x0(xx)2(xx)1 x2x 1limx 322x0 x3xx3xx2 xlimx x0lim【方法技巧方法技巧】过曲线上一点求切线方程的三个步骤过曲线上一点求切线方程的三个步骤 【拓展延伸拓展延伸】求过曲线求过曲线y=f(x)y=f(x)外一点外一点P(xP(x1 1,y,y1 1)的切线方程的六个步骤的切线方程的六个步骤 (1)(

11、1)设切点设切点(x(x0 0,f(x,f(x0 0).).(2)(2)利用所设切点求斜率利用所设切点求斜率k=f(xk=f(x0 0)=)=(3)(3)用用(x(x0 0,f(x,f(x0 0),P(x),P(x1 1,y,y1 1)表示斜率表示斜率.(4)(4)根据斜率相等求得根据斜率相等求得x x0 0,然后求得斜率然后求得斜率k.k.(5)(5)根据点斜式写出切线方程根据点斜式写出切线方程.(6)(6)将切线方程化为一般式将切线方程化为一般式.00 x0f(xx)f xlim.x【变式训练变式训练】求曲线求曲线f(x)=f(x)=在点在点(-2,2,-1)1)处的切线的方程处的切线的方

12、程.【解析解析】由于点由于点(-2,2,-1)1)恰好在曲线恰好在曲线f(x)=f(x)=上上,所以曲线在点所以曲线在点(-2,2,-1)1)处的切线的斜率就等于函数处的切线的斜率就等于函数f(x)=f(x)=在点在点(-2,2,-1)1)处的导数处的导数.而而f(f(-2)=2)=故曲线在点故曲线在点(-2,2,-1)1)处的切线方程为处的切线方程为y+1=y+1=-(x+2),(x+2),整理得整理得x+2y+4=0.x+2y+4=0.2x2x2xx0f2xf2limx x0 x0212xlimx11lim.2x2 12类型二类型二 求切点的坐标求切点的坐标 【典例典例】已知曲线已知曲线y

13、=xy=x2 2-1 1在在x=xx=x0 0处的切线与曲线处的切线与曲线y=1y=1-x x3 3在在x=xx=x0 0处的处的切线互相平行切线互相平行,求求x x0 0的值的值.【解题探究解题探究】切线相互平行可以得到什么条件切线相互平行可以得到什么条件?怎样求切点的横坐怎样求切点的横坐标标?提示提示:切线相互平行得到切线斜率相等切线相互平行得到切线斜率相等;利用切线斜率相等即在该点利用切线斜率相等即在该点处的导数相等求处的导数相等求x x0 0.【解析解析】对于曲线对于曲线y=xy=x2 2-1 1在在x=xx=x0 0处处,=(2x=(2x0 0+x)=2x+x)=2x0 0.0220

14、0 xxx020 x0(xx)1x1y|limx2xx(x)limx x0lim 对于曲线对于曲线y=1y=1-x x3 3在在x=xx=x0 0处处,=-3x3x0 02 2-3x3x0 0 xx-(x)(x)2 2=-3x3x0 02 2,又又y=1y=1-x x3 3与与y=xy=x2 2-1 1在在x=xx=x0 0处的切线互相平行处的切线互相平行,所以所以2x2x0 0=-3x3x0 02 2,解得解得x x0 0=0=0或或x x0 0=-.x0lim 03300 xxx022300 x01(xx)1 xy|limx3xx 3x(x)(x)limx 23【延伸探究延伸探究】1.(1

15、.(改变问法改变问法)本典例条件不变本典例条件不变,试分别求出这两条平行的切线方程试分别求出这两条平行的切线方程.【解析解析】(1)(1)当当x x0 0=0=0时时,两条切线的斜率两条切线的斜率k=0,k=0,曲线曲线y=xy=x2 2-1 1上的切点坐标为上的切点坐标为(0,0,-1 1),),切线方程为切线方程为y=y=-1,1,曲线曲线y=1y=1-x x3 3上的切点坐标为上的切点坐标为(0,10,1),),切线方程为切线方程为y=1,y=1,但是直线但是直线y=1y=1并不并不是曲线的切线是曲线的切线,不符合题意不符合题意.(2)(2)当当x x0 0=-时时,两条切线的斜率两条切

16、线的斜率k=k=-,曲线曲线y=xy=x2 2-1 1上的切点坐标为上的切点坐标为 ,切线方程为切线方程为 即即12x+9y+13=0,12x+9y+13=0,曲线曲线y=1y=1-x x3 3上的切点坐标为上的切点坐标为 ,切线方程为切线方程为 即即36x+27y36x+27y-11=0.11=0.故两曲线的切线方程分别是故两曲线的切线方程分别是12x+9y+13=0,36x+27y12x+9y+13=0,36x+27y-11=0.11=0.234325(,)39542y(x),9332 35(,)3 273542y(x)2733，2.(2.(改变问法改变问法)本典例条件不变本典例条件不变,试求出两条切线之间的距离试求出两条切线之间的距离.【解析解析】由探究由探究1 1知两切线的方程为知两切线的方程为12x+9y+13=0,36x+27y12x+9y+13=0,36x+27y-11=0,11=0,其中其中36x+27y36x+27y-11=011=0可化为可化为12x+9y12x+9y-=0,=0,故两直线间的距离故两直线间的距离d=d=1132211|13|103.9129【方法技