《课时讲练通》2017版（人教版）高中数学选修1-1（课件）：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 .ppt

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1、3.3.2 函数的极值与导数 【知识提炼知识提炼】1.1.极小值点与极小值极小值点与极小值 若函数若函数f(x)f(x)满足满足:(1)(1)在在x=ax=a附近其他点的函数值附近其他点的函数值f(x)_f(a);f(x)_f(a);(2)f(a)=_;(2)f(a)=_;(3)(3)在在x=ax=a附近的左侧附近的左侧_,_,在在x=ax=a附近的右侧附近的右侧_,_,则点则点a a 叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极小值点的极小值点,f(a),f(a)叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极小值的极小值.0 0 f(x)0f(x)0f(x)0 2.2.极大值点与极大值极大值点

2、与极大值 若函数若函数f(x)f(x)满足满足:(1)(1)在在x=bx=b附近其他点的函数值附近其他点的函数值f(x)_f(b);f(x)_f(b);(2)f(b)=_;(2)f(b)=_;(3)(3)在在x=bx=b附近的左侧附近的左侧_,_,在在x=bx=b附近的右侧附近的右侧_,_,则点则点 b b叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极大值点的极大值点,f(b),f(b)叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极大值的极大值.0 0 f(x)0f(x)0 f(x)0f(x)0f(x)0 f(x)0f(x)0 f(x)0f(x)0f(x)0 【即时小测即时小测】1.1.思考下列问

3、题思考下列问题:(1)(1)极大值一定比极小值大吗极大值一定比极小值大吗?提示提示:不一定不一定.由函数的图象容易得出函数的极大值也可能比极小值由函数的图象容易得出函数的极大值也可能比极小值还小还小.(2)(2)导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗?提示提示:导数值为导数值为0 0的点不一定是函数的极值点的点不一定是函数的极值点,还要看在这一点附近还要看在这一点附近导数的正负情况导数的正负情况.2.2.已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的导函数的导函数y=f(x)y=f(x)的图象如图的图象如图,则则 ()A.A.函数函数f(x)f(x)有有1 1个极大

4、值点个极大值点,1,1个极小值点个极小值点 B.B.函数函数f(x)f(x)有有2 2个极大值点个极大值点,2,2个极小值点个极小值点 C.C.函数函数f(x)f(x)有有3 3个极大值点个极大值点,1,1个极小值点个极小值点 D.D.函数函数f(x)f(x)有有1 1个极大值点个极大值点,3,3个极小值点个极小值点 【解析解析】选选A.A.由由f(x)f(x)的图象可知的图象可知,在在x=xx=x2 2附近当附近当xxx0,f(x)0,函数单调递增函数单调递增,当当xxxx2 2时时,f(x)0,f(x)0,函数单调递减函数单调递减,故点故点x x2 2是函数的极是函数的极大值点大值点,同理

5、同理x x3 3是函数的极小值点是函数的极小值点,x,x1 1,x,x4 4不是极值点不是极值点.3.3.函数函数f(x)=f(x)=的极值点为的极值点为 ()A.0 B.A.0 B.-1 1 C.0C.0或或1 D.11 D.1 【解析解析】选选D.f(x)=xD.f(x)=x3 3-x x2 2=x=x2 2(x(x-1),1),当当x1x1时时,f(x)0,f(x)1x1时时,f(x)0,f(x)0,函数单调递增函数单调递增;故当故当x=1x=1时为函数的极值点时为函数的极值点,x=0 x=0时不满足极值点的定义时不满足极值点的定义,不是极值点不是极值点.43xx434.4.函数函数y=

6、xy=x3 3-3x3x2 2-9x(9x(-2x2)2x2)有有 ()A.A.极大值极大值5,5,极小值极小值-27 B.27 B.极大值极大值5,5,极小值极小值-1111 C.C.极大值极大值5,5,无极小值无极小值 D.D.极小值极小值-27,27,无极大值无极大值 【解析解析】选选C.y=3xC.y=3x2 2-6x6x-9=0,9=0,得得x=x=-1 1或或x=3,x=3,当当-2x2x0;,y0;当当-1x21x2时时,y0,y0,当当x=x=-1 1时时,y,y极大值极大值=5;x=5;x取不到取不到3,3,无极小值无极小值.5.5.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-3

7、x3x2 2+1+1的极小值点为的极小值点为 .【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2-6x,6x,令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=0 x=0或或x=2,x=2,当当x0 x0,f(x)0,当当0 x20 x2时时,f(x)0,f(x)2x2时时,f(x)0,f(x)0,故函数的极小值点是故函数的极小值点是2.2.答案答案:2 2 【知识探究知识探究】知识点知识点 函数的极值点和极值函数的极值点和极值 观察图形观察图形,回答下列问题回答下列问题:问题问题1:1:可导函数可导函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处取极值的充要条件是什么处取极值的充要条件是什么?问题问题2:2:

8、函数在某个区间上有多个极值点函数在某个区间上有多个极值点,那么一定既有极大值也有极那么一定既有极大值也有极小值吗小值吗?【总结提升总结提升】1.1.对于极值的认识对于极值的认识 (1)(1)函数的极值是一个局部性的概念函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而是仅对某一点的左右两侧区域而言的言的.极值点是区间内部的点而不会是端点极值点是区间内部的点而不会是端点.(2)(2)若若f(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,那么那么f(x)f(x)在该区间内一定不是单调函在该区间内一定不是单调函数数,即在区间上单调的函数没有极值即在区间上单调的函数没有极值.2.2.对函数取极

9、值条件的认识对函数取极值条件的认识 (1)(1)可导函数的极值点是导数为零的点可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极但是导数为零的点不一定是极值点值点,即即“函数函数y=f(x)y=f(x)在一点的导数值为零是函数在一点的导数值为零是函数y=f(x)y=f(x)在这点取极在这点取极值的必要条件值的必要条件,而非充分条件而非充分条件.”(2)(2)可导函数可导函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处取得极值的充要条件是处取得极值的充要条件是f(xf(x0 0)=0,)=0,且在且在x x0 0左侧和右侧左侧和右侧f(x)f(x)的符号不同的符号不同.(3)(3)如果在如果在

10、x x0 0的两侧的两侧f(x)f(x)的符号相同的符号相同,则则x x0 0不是不是f(x)f(x)的极值点的极值点.3.3.对于函数极值点的认识对于函数极值点的认识 (1)(1)函数函数f(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的它的极值点的分布是有规律的,相邻相邻两个极大值点之间必有一个极小值点两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点有一个极大值点.(2)(2)当函数当函数f(x)f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时在某区间上连续且有有限个极值点时,函数函数f(x)f(x)在该在该区间内的极大

11、值点与极小值点是交替出现的区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.(3)(3)从曲线的切线角度看从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为曲线在极值点处切线的斜率为0,0,并且并且,曲线曲线在极大值点左侧切线的斜率为正在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负右侧为负;曲线在极小值点左侧切线曲线在极小值点左侧切线的斜率为负的斜率为负,右侧为正右侧为正.【题型探究题型探究】类型一类型一 求函数的极值点和极值求函数的极值点和极值 【典例典例】1 1.设三次函数设三次函数f(x)f(x)的导函数为的导函数为f f(x),(x),函数函数y=xfy=xf(x)(x)的的图象的一部分如图所示图象的一部分

12、如图所示,则则 ()A.f(x)A.f(x)极大值为极大值为f(),f(),极小值为极小值为f(f(-)B.f(x)B.f(x)极大值为极大值为f(f(-),),极小值为极小值为f()f()C.f(x)C.f(x)极大值为极大值为f(f(-3),3),极小值为极小值为f(3)f(3)D.f(x)D.f(x)极大值为极大值为f(3),f(3),极小值为极小值为f(f(-3)3)2.2.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-4x+44x+4的极大值与极小值之和为的极大值与极小值之和为 ()A.8 B.C.10 D.12A.8 B.C.10 D.12 333313263【解题探究解题探究】1.1.

13、由由y=xf(x)y=xf(x)的图象的图象,能否得出能否得出f(x)=0f(x)=0时的时的x x值值?提示提示:能能,当当x=x=-3,33,3时时,f,f(x)=0.(x)=0.2.2.怎样求函数的极值点、极值怎样求函数的极值点、极值?提示提示:由由f f(x)=0(x)=0得出极值点得出极值点,判断极值点的类型后再将极值点代入函判断极值点的类型后再将极值点代入函数求极值数求极值.【解析解析】1.1.选选D.D.由函数由函数y=xy=xf(x)f(x)的图象可知的图象可知,(1)(1)当当x0 x0时时,f(3)=0,f(3)=0,当当x3x0,f(x)0,当当x3x3时时,f(x)0,

14、f(x)0,故当故当x=3x=3时时,f(x),f(x)取极大值取极大值;(2)(2)当当x0 x0时时,f(,f(-3)=0,3)=0,当当xx-3 3时时,f(x)0,f(x)x-3 3时时,f(x)0,f(x)0,故故当当x=x=-3 3时时,f(x),f(x)取极小值取极小值.2.2.选选A.f(x)=xA.f(x)=x2 2-4,4,令令f(x)=0f(x)=0得得x=x=2,2,因为当因为当xx0,f(x)0,当当-2x22x2时时,f(x)0,f(x)2x2时时,f(x)0,f(x)0,故当故当x=x=-2 2时时f(x)f(x)取极大取极大 值值,当当x=2x=2时时f(x)f

15、(x)取极小值取极小值,故函数的极大值与极小值之和为故函数的极大值与极小值之和为f(f(-2)2)+f(2)=8.+f(2)=8.【方法技巧方法技巧】求可导函数求可导函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤 (1)(1)确定函数的定义区间确定函数的定义区间,求导数求导数f(x).f(x).(2)(2)求求f(x)f(x)的拐点的拐点,即求方程即求方程f(x)=0f(x)=0的根的根.(3)(3)利用利用f(x)f(x)与与f(x)f(x)随随x x的变化情况表的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值的变化情况求极值.【拓展延伸拓展延伸】三次线性函数的极

16、值点的特点三次线性函数的极值点的特点 三次线性函数即三次线性函数即f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d(a0)+cx+d(a0)型的函数型的函数,因为因为f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2bx+c,+2bx+c,得方程得方程3ax3ax2 2+2bx+c=0,+2bx+c=0,以以a0a0为例为例,当当 00时时,f(x)0,f(x)0恒成立恒成立,函数无极值点函数无极值点;当当 00时时,方程有两个根方程有两个根x x1 1,x,x2 2(x(x1 1x0.,0.【解析解析】f(x)=xf(x)=x2 2-2x+a,2x+a,由题意由题意,方程方程x x2 2-2x+a=02x+a=0有两个不同的实数有两个不同的实数根根,所以所以=4=4-4a0,4a0,解得解得a1.a1.13【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)若函数的极大值点是若函数的极大值点是-1,1,求求a a的值的值.【解析解析】f(x)=xf(x)=x2 2-2x+a,2x+a,由题意由题意f(f(-1)=1+2+a=0,1)=1+2+a=0,解得解得a=a=-3,3,则则