《课时讲练通》2017版（人教版）高中数学选修1-1（课件）：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数 .ppt

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1、3.3.3 3.3.3 函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数 函数的极值与导数之间的关系：函数的极值与导数之间的关系：x x0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f(x)f(x)x x0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f(x)f(x)增增 f(x)0 f(x)=0 f(x)0 极大值极大值 减减 f(x)0 oax0bxyoax0bxy 0fx 注注意意：是是可可导导函函数数取取得得极极值值的的必必要要不不充充分分条条件件【求可导函数f(x)的极值的步骤】(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程f(x)0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若

2、干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.强调强调:要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.【变式训练】已知 f(x)x3ax2bxc 在 x1 与 x23时，都取得极值(1)求 a，b 的值；(2)若 f(1)32，求 f(x)的单调区间和极值 【课前训练】12491(2)=(-)=f23272.()()ff xf x极大极小答：（1

3、）a=-,b=-2.；（1）=-导数的极值常与函数的单调性、导数联合考查，是高考的常考内容，常常三者结合与含参数的讨论等知识点相联系，综合考查解决时可以以大化小分步解决，严格遵循解决极值问题和单调性的解题步骤，遇到该讨论时要进行合理、恰当地讨论 这种综合题在解决时要弄清思路，分步进行，切忌主次不分，讨论混乱 归纳总结：P29P30【阅读课本相关内容，回答问题】2.函数的最值和极值的区别与联系是什么？P29P30【阅读课本相关内容，回答问题】96 有极值有极值无最值无最值 P30P31【阅读课本相关内容】探究利用导数求函数最值的步骤P30P31【阅读课本相关内容】探究利用导数求函数最值的步骤P3

4、0P31【阅读课本相关内容】探究利用导数求函数最值的步骤P30P31【阅读课本相关内容】探究利用导数求函数最值的步骤P30P31【阅读课本相关内容】探究利用导数求函数最值的步骤97 98 例例 1（课本例（课本例 5 5）求 31443f xxx在0,3的 最大值与最小值奎屯王新敞新疆 P【跟踪练习1】课本 31练习【点评】(1)用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意极值点是否在区间内(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解P【跟踪练习1】课本 31练习98 福建卷：已知函数f(x)ax

5、36ax2b，问是否存在实数a、b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由 分析 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值求函数关系式中字母的值的问题解决时应利用函数的极值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数的方程(组)，解之即可 解 显然a0.f(x)3ax212ax3ax(x4)令f(x)0，解得x10，x24(舍去)(1)当a0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x 1,0)0(0,2 f(x)0 f(x)极大值 所以当x0时，f(x)取得最大值，所以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)

6、f(2)所以当x2时，f(x)取得最小值，即16a329，a2.(2)当a f(1)所以当x2时，f(x)取得最大值，即16a293，a2.综上所述a2，b3或a2，b29.点拨点拨 本题运用了求极值本题运用了求极值、最值的方法最值的方法，采用了采用了待定系数法确定待定系数法确定a，b的值的值，体现了方程的思想和分体现了方程的思想和分类讨论的思想类讨论的思想 32().121 2.f xaxxbxabRg xf xfxf xg xg x(2010重庆）已知函数其中常数、，是奇函数求的表达式；讨论【变式训的单调性，并求在区间，上的最大值和练最小值】323111g(-x)-g(x)a-b0 f(x

7、)-.3314 24(2g(x)-2x g(2)g(2).333xxg(x)g(x)x大小提示：（）由奇函数恒成立，）由题得，；1,1x 3()31f xaxx1,1x()0f x _a【解析解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使之恒成立，只要在体现了分类讨论的数学思想。要使之恒成立，只要在 上求上求f（x）最小值即可。）最小值即可。对于对于 总有总有 成立，则成立，则 思考讨论：思考讨论：22()333(1)f xaxax 010a()31f xxmin()20f x 020a22()333(1)0f xax

8、ax()f xmin()(1)202f xfaa 当当 时，时，所以，所以，不符合题意，舍去不符合题意，舍去 当当 时时，即即 单调递减单调递减，舍去。舍去。零。）前提必须大于或等于（）与（另注：可求。讨论）（；）（由）谁最小即可。（）与（）小，故只比较（）比（：结合图像可知说明1-fa1f*a12-1a1f4-a1-f1-fa1f1fa1f30030a1()0fxxa 111aa()f x11,a1,1a11,aamin1()min(1),()f xffa(1)400411()1 20faafaa ()f x1,1x min()(1)202f xfaa 当当 时时(1)当当 时时 在在 和和

9、 上单调递增，在上单调递增，在 上单调递减。所以上单调递减。所以 时时 在在 上单调递减，上单调递减，不符合题意，舍去。，不符合题意，舍去。(2)当当 111aa综上可知：综上可知：a=4.a=4.导数与不等式恒成立的解题方法利用导数证明不等式恒成立，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式部分或全部投射到函数上，直接或等价变形后，结合不等式的结构特征构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，然后求出函数在给定区间上的最值，问【点评】题得解.解：（解：（I I）（），），当当x=x=-t t时，时，f(x)f(x)取最小值取最小值f(f(-t)=t)=-t3+t t-1,1,即即h(t)

10、=h(t)=-t t3 3+t+t-1.1.(II)(II)令令g(t)=h(t)g(t)=h(t)-(-2t+m)=2t+m)=-t t3 3+3t+3t-1 1-m,m,由由 =-3t3t2 2+3=0+3=0得得t=1,t=t=1,t=-1 1（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）.当当t t变化时变化时 、g(t)g(t)的变化情况如下表：的变化情况如下表：t t(0,1)(0,1)1 1(1,2)(1,2)+0 0-g(t)g(t)递增递增 极大值极大值1 1-m m 递减递减 g(t)g(t)在（在（0 0，2 2）内有最大值）内有最大值g(1)=1g(1)=1-m m h(t)h(

11、t)-2t+m2t+m在（在（0 0，2 2）内恒成立等价于）内恒成立等价于g(t)0g(t)0在（在（0 0，2 2）内恒成立，）内恒成立，即等价于即等价于1 1-m0m1m1)(tg)(tg)(tg小结：片小结：片7-9 题型，方法。（应用题）题型，方法。（应用题）(本小题满分本小题满分1414分分)已知函数()lnf xxx（1）讨论关于()0 xf xm的方程的解的个数)()2(2afxafxg)()(0 xgxfax时，（2）设，求证：（略解）（略解）（1）方程即 mxf ln1,(0)fxxx 0 xfex1,令 得：为增函数时，为减函数；当时，当xfxfexxfxfex,0,1,

12、01,0所以 ，取唯一的极小值时，当exfex1-10 x 0()0f xf x且 当 时,1me 时，无解；10mme或时，一解；10me时，两解.所以方程当 afxafxfxgxfxF22aaxaxaxxln2lnln（2）设 （2）设 ，可求得 xaxxaxxF2ln)12(ln1ln,020 xaxax时，12 xax 0 xF当 ，当 即F（x）在),(a,0)()F(0aFxax时，)()(xgxf上单调递增，且F（a）=0。.所以，即，2f x=x+1 lnx-x+1.1xf xx+ax+1a2x-1 f x140.已知函数若，求 的取值范围；证明：讨论：(本题分）gxg1=-i

13、x1f x=x+1 lnx-x+1=xlnx+0ii)1f x=lnx+xlnx-x+1=lnx+1x lnl*lnx-x+1nx-x1ln-+1x xx+-1=lnx-.+x0.x 由上知（即10）（）1，）当0当x，综上2）1 x=x-1 f xF，导思考：令数求证。1xlnx+1f x=lnx+=,x0 xxh x=xlnx+1,x0h x=lnx+1,x01110 x=h x=h=0 x0eeeh x0f x0f x0+ix1f xf 1=0 x-10ii)1f xf 1=0 x-10 易最小另2）由上1）知，令界点，时，时，即在，递增。则）当0；成立；当x；成立。综上：.221201

14、213fx=x+alnx aR2I)1f 1x+2y+3=0aIIfxlnxIII)fxfxxfx-2e=exa记（）为函数（）的导函数，若关于 的方程（）（期末:满分）已知函数（）。若函数再点P（，（）（为自然对）处的切线与直线垂直，求 的数的底数）有且仅有两个不同值；）求函数（）的实根，的单求 的取调区间；值范围。2222+max)a=1ax+a)fx=x+=xxa0）分注时（x0）(）21a e+e.13作图易分222lnxlnx1-lnx)x2,gx=gx=0 xxxx=egx)a=1ax00 x+a)fx=x+=xxa 得 ，令（）0，是）（分max22min221gx=ge=ehx=x2x=ehx=a.-e11gxhxa-ea e+ee.13exa）的极大值点，同时也是最大值点（）（）；令（）时（），若满足题意则等价于函数（）和（）的图像有两个不同的交点，只分