《课时讲练通》2017版（人教版）高中数学选修1-1（课件）：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数 （2） .ppt

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1、3.3.3 函数的最大（小）值与导数 y x O x1 x2 a b y=f(x)在极大值点附近在极大值点附近 在极小值点附近在极小值点附近 f (x)0 f (x)0 f (x)0 左正右负为极大值左正右负为极大值 左负右正为极小值左负右正为极小值 1.1.极值的判定极值的判定 2.2.求可导函数求可导函数f(x)f(x)极值的步骤极值的步骤 (2)(2)求导数求导数f f(x).(x).(3)(3)求方程求方程f f(x(x）=0=0的根的根.(4)(4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格.检查检查f(x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号 如果如果左正

2、右负左正右负，那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正，那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值值.(1)(1)确定函数的确定函数的定义域定义域.一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I I，如果存在，如果存在实数实数M M满足：满足：3.3.最大值与最小值最大值与最小值 （1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有f(x)M.f(x)M.（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得f(xf(x0 0)=M)=M，那么，称那么，称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值.一

3、般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I I，如果存，如果存在实数在实数M M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有f(x)M.f(x)M.（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得f(xf(x0 0)=M)=M，那么，称那么，称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值.1 1借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值概念值概念.2 2弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的别与联系

4、，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件充分条件.(重点重点)3 3掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤的思想方法和步骤.(难点难点)在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题大值和最小值问题.函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如

5、何？与函数极值关系如何？极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小着它在函数的整个定义域内最大或最小.探究点探究点 函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数 a1x2x3xo4x5x6xbxy xfy=如如图图,观观察察区区间间a,ba,b 上上函函数数y=f xy=f x 的的图图象象,你你能能找找出出它它的的极极大大值值、极极小小值值吗吗?所示.提示：1 13535246246观观察察图图象象,我我们们发发现现,f x,f

6、 x,f x,f xf x,f x是是函函数数y=f xy=f x的的极极小小值值,f x,f x,f x,f x,f x,f x是是极极大大值值 的提示：中3 3从从图图可可以以看看出出,函函数数y=f xy=f x 在在区区间间 a,ba,b上上最最大大值值是是f a,f a,最最小小值值是是f x.f x.你你能能找找出出函函数数y=f xy=f x 在在区区间间 a,ba,b 上上的的最最大大值值、最最探探究究小小值值吗吗?a1x2x3xo4x5xbxy xfy=图图（1）xfy=abxyo图图（2）在在图图中中,观观察察 a,ba,b 上上的的函函数数y=f xy=f x的的图图象象

7、,它它们们在在 a,ba,b 上上有有最最大大值值、最最小小值值吗吗?如如果果有有,最最大大值值和和最最小小值值分分别别是是什什么么?（1）和图（2）解答：解答：图（图（1 1）最大值）最大值f(b),f(b),最小值最小值f(a)f(a)；图（；图（2 2）最）最大值大值f(xf(x3 3),),最小值最小值f(xf(x4 4)。一一般般地地,如如果果在在区区间间 a,ba,b 上上函函数数y=f xy=f x 的的图图象象是是一一条条连连续续不不断断的的曲曲线线,那那么么它它必必有有最最大大值值和和最最小小值值.探究探究:根据函数最值的概念根据函数最值的概念,探究以下问题探究以下问题:(1

8、)(1)函数的极值是否一定是函数的最值函数的极值是否一定是函数的最值?提示提示:不一定不一定.端点值也可能是函数的最值端点值也可能是函数的最值.(2)(2)若连续函数若连续函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上有唯一的极值上有唯一的极值点且为极小值点点且为极小值点x x0 0,则则f(xf(x0 0)是否是最小值是否是最小值?提示提示:是是.函数函数y=f(x)y=f(x)在在a,xa,x0 0 上单调递减上单调递减,在在xx0 0,b,b上单调递增上单调递增,故故f(x)f(x)在在x x0 0点取得最小点取得最小值值,f(x,f(x0 0)是最小值是最小值.【拓展延伸拓展延伸】开区

9、间开区间(a,b)(a,b)上连续函数上连续函数y=f(x)y=f(x)的最值情况分析的最值情况分析 共有四种情况共有四种情况,具体如下具体如下:图图(1)(1)中的函数中的函数y=f(x)y=f(x)在开区间在开区间(a,b)(a,b)上有最大值无最小值上有最大值无最小值;图图(2)(2)中的函数中的函数y=f(x)y=f(x)在开区间在开区间(a,b)(a,b)上有最小值无最大值上有最小值无最大值;图图(3)(3)中的函数中的函数y=f(x)y=f(x)在开区间在开区间(a,b)(a,b)上既无最大值也无最小值上既无最大值也无最小值;图图(4)(4)中的函数中的函数y=f(x)y=f(x)

10、在开区间在开区间(a,b)(a,b)上既有最大值也有最小值上既有最大值也有最小值.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x(|x|1)(3x(|x|1)()A.A.有最大值有最大值,但无最小值但无最小值 B.B.有最大值有最大值,也有最小值也有最小值 C.C.无最大值无最大值,但有最小值但有最小值 D.D.既无最大值既无最大值,也无最小值也无最小值 【即时训练即时训练】D 13 31 1求求函函数数f x=x-4x+4f x=x-4x+4在在 0,30,3 上上的的最最大大值值3 3与与例例最最小小值值.图可知为：当时3 3由由,在,在 0,3 上0,3 上,x,x1 1=2,f x=x-

11、4x+4有=2,f x=x-4x+4有极极3 34 4小小值值,并,并且且极极小小值值f 2=-f 2=-解解.3 3 又又由由于于f 0=4,f 3=1,f 0=4,f 3=1,数4 4因因此此,函,函f x 在f x 在 0,3 上0,3 上的的最最大大值值是是4,最4,最小小值值是是-.-.3 3 结论从数图观验证上上述述可可函函f x 在f x 在 0,3 上0,3 上的的象象得得到到直直.oxy23 3 31 1f x=x-4x+4f x=x-4x+43 34 4 一一般般地地,求求函函数数y=f xy=f x 在在 a,ba,b 上上的的最最大大值值与与最最小小值值的的步步骤骤如如

12、下下:1 1 求求函函数数y=f xy=f x 在在 a,ba,b 内内的的极极值值.2 2 将将函函数数y=f xy=f x 的的各各极极值值与与端端点点处处的的函函数数值值f a,f bf a,f b 比比较较,其其中中最最大大的的一一个个是是最最大大值值,最最小小的的一一个个是是最最小小值值.函数函数f(x)=xef(x)=xex x的最小值为的最小值为 .【解析解析】f(x)=xef(x)=xex x,所以所以f(x)=ef(x)=ex x+xe+xex x=(x+1)e=(x+1)ex x,当当xx-1 1时时,f(x)0,f(x)x-1 1时时,f(x)0,f(x)0,所以函数所以

13、函数f(x)f(x)在在(-,-1)1)上单调递减上单调递减,在在(-1,+)1,+)上单调递增上单调递增,函数的最小值为函数的最小值为f(f(-1)=1)=-e e-1 1=-.答案答案:-1e1e【即时训练即时训练】例例2 2 求函数求函数y yx x4 42 2x x2 25 5在区间在区间-2,22,2上的最大上的最大值与最小值值与最小值.解解:344yxx =，令令 ,解得解得x x=-1 1，0 0，1.1.0y =当当x x变化时变化时,的变化情况如下表的变化情况如下表:,y y 从上表可知，最大值是从上表可知，最大值是1313，最小值是，最小值是4.4.13 4 5 4 13

14、0 0 0 2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2 y x y 1 1函数的最值概念是全局性的函数的最值概念是全局性的.2 2函数的最大值（最小值）唯一函数的最大值（最小值）唯一.3 3函数的最值可在端点处取得函数的最值可在端点处取得.【提升总结提升总结】已知已知f(x)=(xf(x)=(x2 2-4)(x4)(x-2),2),求函数求函数f(x)f(x)在在-2,22,2上的最值上的最值.【解析解析】由题意得由题意得f(x)=xf(x)=x3 3-2x2x2 2-4x+8,4x+8,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-4x4x-4.4.令令f(x)=3xf(x)

15、=3x2 2-4x4x-4=0,4=0,得得x=x=-或或x=2.x=2.又又f(f(-)=,f()=,f(-2)=0,f(2)=0,2)=0,f(2)=0,所以所以,函数函数f(x)f(x)在在-2,22,2上的最大值为上的最大值为 ,最小值为最小值为0.0.23232562725627【即时训练即时训练】例例3 3：（含参数的最值问题）：（含参数的最值问题）1.1.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-axax2 2+3x,+3x,若若x=3x=3是函数的极值点是函数的极值点,则则函数在函数在1,a1,a上的最大值为上的最大值为 ,最小值最小值为为 .2.2.已知函数已知函数f(

16、x)=2xf(x)=2x3 3-6x6x2 2+a+a在在-2,22,2上有最小值上有最小值-37,37,求求a a的值的值,并求函数并求函数f(x)f(x)在在-2,22,2上的最大值上的最大值.【解题关键解题关键】1.1.根据题目中给出的条件根据题目中给出的条件,先求出参数先求出参数a a的值的值,然后然后求函数的最值求函数的最值.2.2.根据函数在闭区间上的最小值为根据函数在闭区间上的最小值为-37,37,可求出可求出a a的的值值,从而可求出函数的最大值从而可求出函数的最大值.【自主解答】【自主解答】1.f(x)=x1.f(x)=x3 3-axax2 2+3x,+3x,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-2ax+3.2ax+3.因为因为x=3x=3是函数的极值点是函数的极值点,所以所以f(3)=27f(3)=27-6a+3=0,6a+3=0,解得解得a=5,a=5,f(x)=3xf(x)=3x2 2-10 x+3,10 x+3,令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=(x=(舍去舍去)或或x=3.x=3.又又f(1)=f(1)=-1,f(3)=1,f(3)=-9,f(5