《课时讲练通》2017版（人教版）高中数学选修1-1（课件）：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 （2） .ppt

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1、3.3.3 函数的最大(小)值与导数【自主预习自主预习】主题主题:函数的最值函数的最值 1.1.观察图中在观察图中在a,ba,b上函数上函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象,找出它们的找出它们的极大值和极小值极大值和极小值.提示提示:f(c),f(e)f(c),f(e)是函数是函数y=f(x)y=f(x)的极小值的极小值,f(d),f(g),f(d),f(g)是是函数函数y=f(x)y=f(x)的极大值的极大值.2.2.观察观察1 1中函数中函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象,你能找出函数你能找出函数f(x)f(x)在区在区间间a,ba,b上的最大值、最小值吗上的最大值、最小值吗?若

2、将区间改为若将区间改为(a,b),f(x)(a,b),f(x)在在(a,b)(a,b)上还有最值吗上还有最值吗?提示提示:函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的最大值是上的最大值是f(g),f(g),最小最小值是值是f(b).f(b).若区间改为若区间改为(a,b),(a,b),则则f(x)f(x)有最大值有最大值f(g),f(g),无无最小值最小值.3.3.观察如图所示函数观察如图所示函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象,该函数有最大值吗该函数有最大值吗?提示提示:由图可见在最高点处图象是间断的由图可见在最高点处图象是间断的,因此该函数因此该函数没有最大值没有最大值

3、.通过探究你能得到什么结论通过探究你能得到什么结论?用文字语言描述用文字语言描述:函数在开区间上不一定能取得最值函数在开区间上不一定能取得最值,在闭区间上如果图象有间断点也不一定取得最值在闭区间上如果图象有间断点也不一定取得最值 函数有最值的条件函数有最值的条件:如果如果_ _,_,那么它必有最大值和那么它必有最大值和 最小值最小值.在闭区间在闭区间a,ba,b上函数上函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线的图象是一条连续不断的曲线 【深度思考深度思考】结合教材结合教材P97P97例例5 5你认为求函数你认为求函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的上的最值的步

4、骤如何最值的步骤如何?第一步第一步:_.:_.第二步第二步:_.:_.求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内的极值内的极值 求函数在区间端点的函数值求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)f(a),f(b)第三步第三步:_:_ _ _ 将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各极值与端点处函数值的各极值与端点处函数值 f(a),f(b)f(a),f(b)比较比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小最小 的一个为最小值的一个为最小值.【预习小测预习小测】1.1.函数函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上上 ()A.A.极大值一定比极小值大极大值一定

5、比极小值大 B.B.极大值一定是最大值极大值一定是最大值 C.C.最大值一定是极大值最大值一定是极大值 D.D.最大值一定大于极小值最大值一定大于极小值 【解析解析】选选D.D.由函数的最值与极值的概念可知由函数的最值与极值的概念可知,y=f(x),y=f(x)在在a,ba,b上的最大值一定大于极小值上的最大值一定大于极小值.2.2.连续函数连续函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上有最大值是有极大值上有最大值是有极大值 的的 ()A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【解

6、析解析】选选A.A.因为区间因为区间(a,b)(a,b)为开区间为开区间,所以连续函数所以连续函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上有最大值能推出函数有极大值上有最大值能推出函数有极大值,但有极但有极大值函数不一定有最大值大值函数不一定有最大值.3.3.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+14x+1在在1,51,5上的最小值和最大值上的最小值和最大值 为为 ()A.A.-2,6 B.2,6 B.-3,3,-2 2 C.2,6 D.C.2,6 D.-3,63,6 【解析解析】选选D.f(x)=2xD.f(x)=2x-4.4.当当x(1,2)x(1,2)时时,f(x)0,f(x)

7、0,f(x)0,又因为又因为f(1)=1f(1)=12 2-4 41+1=1+1=-2,2,f(5)=5f(5)=52 2-4 45+1=6.5+1=6.所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-4x+14x+1在在1,51,5上的最小上的最小值为值为f(2)=2f(2)=22 2-4 42+1=2+1=-3,3,最大值为最大值为6.6.4.4.下列是函数下列是函数f(x)f(x)在在a,ba,b上的图象上的图象,则则f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上上无最大值的是无最大值的是 ()【解析解析】选选D.D.在开区间在开区间(a,b)(a,b)上上,只有只有D D选项所示函数选项所示函数f

8、(x)f(x)无最大值无最大值.5.5.若函数若函数f(x)=3xf(x)=3x-x x3 3+a,+a,-x3x3的最小值为的最小值为8,8,则则a a的值是的值是 .【解析解析】f(x)=3f(x)=3-3x3x2 2,令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=x=1.1.f(1)=2+a,f(f(1)=2+a,f(-1)=1)=-2+a.2+a.又又f(f(-)=a,f(3)=)=a,f(3)=-18+a.18+a.所以所以f(x)f(x)minmin=-18+a.18+a.由由-18+a=8.18+a=8.得得a=26.a=26.答案答案:2626 336.6.求函数求函数f(x)=xf

9、(x)=x3 3+2x+2x2 2-4x+5,x4x+5,x-3,13,1的最大值与最的最大值与最小值小值.(.(仿照教材仿照教材P97P97例例5 5的解析过程的解析过程)【解析解析】因为因为f(x)=xf(x)=x3 3+2x+2x2 2-4x+5,4x+5,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2+4x+4x-4.4.令令f(x)=0,f(x)=0,得得x x1 1=-2,x2,x2 2=.=.因为因为f(f(-2)=13,f(2)=13,f(-3)=8,f(1)=4,3)=8,f(1)=4,所以函数所以函数f(x)f(x)在在-3,13,1上的最大值为上的最大值为13,13,最小值为

10、最小值为 .23295f()3279527【互动探究互动探究】1.1.函数在某一区间上的最大值一定是这个区间上所有函数在某一区间上的最大值一定是这个区间上所有函数值中的最大值吗函数值中的最大值吗?提示提示:是是.2.2.极值能在区间端点处取得吗极值能在区间端点处取得吗?最值呢最值呢?提示提示:极值只能在区间内取得极值只能在区间内取得,但是最值可以在区间端但是最值可以在区间端点处取得点处取得.3.3.函数最值和“恒成立”问题有什么联系函数最值和“恒成立”问题有什么联系?提示提示:解决解决“恒成立恒成立”问题问题,可将问题转化为函数的最可将问题转化为函数的最值问题值问题.如如f(x)0f(x)0恒

11、成立恒成立,只要只要f(x)f(x)的最小值大于的最小值大于0 0即可即可.对含参不等式恒成立问题对含参不等式恒成立问题,求参数范围时求参数范围时,可先分离参可先分离参数数.【探究总结探究总结】知识归纳知识归纳:方法总结方法总结:求最值的方法求最值的方法 1.1.极值法极值法:对开区间上的连续函数对开区间上的连续函数,最值一定是其极值最值一定是其极值.2.2.比较法比较法:对于闭区间上的连续函数对于闭区间上的连续函数,通过比较极值与通过比较极值与端点的函数值的大小求最值端点的函数值的大小求最值.【题型探究题型探究】类型一类型一:求函数的最值求函数的最值 【典例典例1 1】求函数求函数f(x)=

12、xf(x)=x3 3+x+x2 2-2x+2x+在区间在区间-3,33,3上的最大值与最小值上的最大值与最小值.131283【解题指南解题指南】先求函数在区间先求函数在区间(-3,3)3,3)上的极值上的极值,再与端再与端点值比较点值比较.【解析解析】因为因为f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-2x+,2x+,所以所以f(x)=xf(x)=x2 2+x+x-2.2.令令f(x)=0f(x)=0得得x=x=-2 2或或x=1.x=1.则则x,f(x),f(x)x,f(x),f(x)的变化情况的变化情况如表如表:131283由上表知由上表知,在区间在区间-3,33,3上上,当当x=3x=

13、3时时,f(x),f(x)maxmax=,=,当当 x=1x=1时时,f(x),f(x)minmin=.=.x x -3 3 (-3,3,-2)2)-2 2 (-2,1)2,1)1 1 (1,3)(1,3)3 3 f(x)f(x)+0 0 -0 0 +f(x)f(x)6 6 2563261661632【规律总结规律总结】闭区间闭区间a,ba,b上连续的函数上连续的函数f(x)f(x)必有最值必有最值 (1)(1)给定的区间必须是闭区间给定的区间必须是闭区间,f(x),f(x)在开区间上虽然连在开区间上虽然连 续但不能保证有最大值或最小值续但不能保证有最大值或最小值.如如f(x)=,x(0,1)

14、,f(x)=,x(0,1),f(x)f(x)在区间在区间(0,1)(0,1)连续连续,但没有最大值和最小值但没有最大值和最小值(如图如图).).1x(2)(2)在闭区间上的每一点必须连续在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间即在闭区间上有间 断点断点,也不能保证也不能保证f(x)f(x)有最大值和最小值有最大值和最小值,如函数如函数 f(x)=f(x)=在在-1,11,1上有间断点上有间断点,没有最小值没有最小值(如图如图).).x1x1x0,.1x 0，且，(3)(3)若连续函数在区间若连续函数在区间(a,b)(a,b)内只有一个极值内只有一个极值,那么极大那么极大值就是最大值值就是最

15、大值,极小值就是最小值极小值就是最小值.【巩固训练巩固训练】1.1.函数函数y=y=在在0,20,2上的最大值上的最大值 是是 ()A.A.当当x=1x=1时时,y=B.,y=B.当当x=2x=2时时,y=,y=C.C.当当x=0 x=0时时,y=0 D.,y=0 D.当当x=x=时时,y=,y=xxe1e22e1212 e【解析解析】选选A.y=A.y=令令y=0,y=0,得得x=1.x=1.因为因为x=0 x=0时时,y=0,x=1,y=0,x=1时时,y=,x=2,y=,x=2时时,y=,y=,所以最大值为所以最大值为 (x=1(x=1时取得时取得).).xx2xxex e1 xee，1

16、e22e1e2.2.求函数求函数f(x)=xf(x)=x3 3-2x2x2 2+1+1在区间在区间-1,21,2上的最大值与上的最大值与 最小值最小值.【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2-4x.4x.令令f(x)=0,f(x)=0,有有3x3x2 2-4x=0,4x=0,解得解得x=0,x=0,或或x=.x=.当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:43故故f(x)f(x)最大值最大值=1,f(x)=1,f(x)最小值最小值=-2.2.x x -1 1 (-1,0)1,0)0 0 2 2 f(x)f(x)+0 0 -0 0 +f(x)f(x)-2 2 单调递单调递增增 1 1 单调递单调递减减 -单调递单调递增增 1 1 434(0)3，4(2)3，527类型二类型二:与参数有关的最值问题与参数有关的最值问题 【典例典例2 2】(1)(1)函数函数f(x)=f(x)=-x x3 3+x+x在在(a,10(a,10-a a2 2)上有最大上有最大 值值,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是 .(2)(2016(2)