2019-2020学年数学必修四人教B版新素养同步讲义：第二章2．4-1向量在几何中的应用2．4-2向量在物理中的应用 WORD版含答案.doc

24向量的应用24.1向量在几何中的应用24.2向量在物理中的应用1.了解平面向量在解决几何、物理问题中的工具性作用2.理解向量法解决几何、物理中的问题3掌握两种基本方法选择基向量法和坐标建系法,学生用书P54)1向量在几何中的应用(1)直线与向量平行的条件直线的斜率与向量的关系设直线l的倾斜角为，斜率为k，A(x1，y1)l，P(x，y)l，若向量a(a1，a2)平行于l，则可得ktan .平行条件如果直线l的斜率k，则向量(a1，a2)一定与该直线平行法向量如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直于该直线这个向量称为这条直线的法向量(2)特殊向量设直线l的一般方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与l平行2向量在物理中的应用(1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算(2)速度向量一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则()(2)若ABC为直角三角形，则有·0.()(3)若向量，则ABCD.()答案：(1)(2)×(3)×2在ABC中，若()·()0，则ABC()A是正三角形B是直角三角形C是等腰三角形 D形状无法确定答案：C3已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)和合力F1F2F30，则F3的坐标为_答案：(5，1)向量在平面几何中的应用学生用书P54如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.【证明】法一：设a，b，则|a|b|，a·b0，又a，b，所以··a2a·b|a|2|b|20.故，即AFDE.法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，(2，1)，(1，2)因为·(2，1)·(1，2)220，所以，即AFDE.用向量方法解决平面几何问题的步骤 1.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为()A梯形B菱形C矩形 D正方形解析：选A.(3，3)，(2，2)，所以，与共线，但|，故此四边形为梯形2如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解：设a，b，则ab，ab，而|ab|2，所以52a·b4，所以a·b，又|2|ab|2a22a·bb2142a·b6，所以|，即AC.向量在解析几何中的应用学生用书P55已知点A(1，2)，直线l：4x3y90.求：(1)过点A且与直线l平行的直线方程；(2)过点A且与直线l垂直的直线方程【解】直线l的斜率k，向量u与直线l平行(1)设P(x，y)是过点A且与l平行的直线上的动点，则(x1，y2)所求直线与l平行，当且仅当u，转化为坐标表示，即为1×(y2)×(x1)0.整理，得4x3y100.则过点A且与直线l平行的直线方程为4x3y100.(2)设Q(x，y)为过点A且与l垂直的直线上的动点，则(x1，y2)所求直线与l垂直，当且仅当u·0，转化为坐标表示，即为1×(x1)×(y2)0.整理，得3x4y50，则过点A且与直线l垂直的直线方程为3x4y50.本题采用了求轨迹方程的方法，先在所求直线上设一动点P(x，y)，再利用向量平行、垂直的充要条件建立x，y的关系 已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4，0)，C(6，2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程解：(1)由已知得点D(1，1)，E(3，1)，F(2，2)，设点M(x，y)是直线DE上任意一点，则，(x1，y1)，(2，2)所以(2)×(x1)(2)×(y1)0，即xy20为直线DE的方程同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，xy0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则.所以·0.又(x6，y2)，(4，4)所以4×(x6)4×(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程向量在物理中的应用学生用书P55两个力F1ij，F24i5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点做的功.【解】(720)i(015)j13i15j.(1)F1做的功W1F1·sF1·(ij)·(13i15j)28.F2做的功W2F2·sF2·(4i5j)·(13i15j)23.(2)FF1F25i4j，所以F做的功WF·sF·(5i4j)·(13i15j)5.用向量方法解决物理问题的“三步曲” 1.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为()A5 NB5 NC10 N D5 N解析：选B.画出图形，如图，由题意|F1F2|10 N，所以|F1|F1F2|cos 60°5 N，故选B.2中国青岛世界杯帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度大小为20 km/h，此时水的流向是正东方向，流速大小为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度解：如图建立平面直角坐标系xOy，风的方向为北偏东30°，速度大小为|v1|20 km/h，水流的方向为正东，流速大小为|v2|20 km/h，设帆船行驶的速度为v，则vv1v2.由题意，可得向量v1(20cos 60°，20sin 60°)(10，10)，向量v2(20，0)，则帆船行驶速度vv1v2(10，10)(20，0)(30，10)，所以|v|20 km/h.设v与v2的夹角为，则tan ，又为锐角，所以30°.所以帆船向东偏北30°方向行驶，速度大小为20 km/h.1用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题对具体的问题选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键2利用向量法解决物理问题时，要认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的向量关系，通过抽象、概括把物理现象转化为与之相关的向量问题由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想1过点A(2，3)，且垂直于向量a(2，1)的直线方程为()A2xy70B2xy70Cx2y40 Dx2y40解析：选A.设P(x，y)是所求直线上任一点，则a，又因为(x2，y3)，所以2(x2)(y3)0，即所求的直线方程为2xy70.2若向量(2，2)，(2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A(0，5) B(4，1)C2 D5解析：选D.|F1F2|(2，2)(2，3)|(0，5)|5.3通过点A(3，2)且与直线l：4x3y90平行的直线方程为_解析：法一：在所求直线上任取不同于点A的一点P(x，y)，则l，所以kAP，整理可得，4x3y60.法二：设与直线l平行的直线为：4x3yD0.将点A(3，2)代入得，D6，所以所求的直线方程为4x3y60.答案：4x3y604平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足·4，则P点的轨迹方程为_解析：由题意知，点P(x，y)满足·(x，y)·(1，2)x2y4，即为P点的轨迹方程答案：x2y4,学生用书P119(单独成册)A基础达标1已知平面内四边形ABCD和点O，若a，b，c，d，且acbd，则四边形ABCD为()A菱形B梯形C矩形D平行四边形解析：选D.由题意知abdc，所以，所以四边形ABCD为平行四边形故选D.2一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为()A6 NB2 NC2 N D2 N解析：选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2|F1F2|2|F1|2|F2|22|F1|·|F2|·cos 60°22422×2×4×28，所以|F3|2 N.3河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/s B2 m/sC4 m/s D12 m/s解析：选B. 由题意知|v水|2 m/s，|v船|10 m/s，作出示意图如图所以小船在静水中的速度大小|v|2(m/s)4在ABC中，AB3，AC边上的中线BD，·5，则AC的长为()A1 B2C3 D4解析：选B.因为，所以22·2，即21，所以|2，即AC2.5在ABC中，有下列四个命题：；0；若()·()0，则ABC为等腰三角形；若·>0，则ABC为锐角三角形其中正确的命题有()A BC D解析：选C.因为，所以错误.0，所以正确由()·()220，得|，所以ABC为等腰三角形，正确.·>0cos A>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定ABC是否为锐角三角形，所以错误故选C.6如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为_焦耳解析：设小车位移为s，则|s|10米，WF