2-3函数的奇偶性与周期性-2023届高三数学一轮复习考点突破课件（共47张PPT）.ppt

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1、2.3 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 第二章第二章 函数的概念、基本初等函数函数的概念、基本初等函数()及函数的应用及函数的应用 1奇、偶函数的概念(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就叫做偶函数(2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就叫做奇函数 2奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称 3具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于 ，即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性

2、”的 条件 4周期函数的概念(1)周期、周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个 T，使得当 x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数 f(x)就叫做周期函数T 叫做这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 5函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数 f(x)为奇函数，且在a，b上为增(减)函数，则 f(x)在b，a上为 ；(2)若函数 f(x)为偶函数，且在a，b上为增(减)函数，则 f(x)在b，a上为 6奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇 奇 ，偶 偶 ，奇奇 ，偶偶 ，奇偶 .7函数的对称

3、性 如果函数 f(x)，xD，满足xD，恒有 f(ax)f(bx)，那么函数的图象有对称轴 xab2；如果函数 f(x)，xD，满足xD，恒有f(ax)f(bx)，那么函数的图象有对称中心ab2，0.8函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴 xa，xb(ab)，则函数 f(x)是周期函数，且周期 T2(ba)(不一定是最小正周期，下同)(2)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心 A(a，0)，B(b，0)(ab)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T2(ba)(3)如果函数 f(x)，xD 在定义域内有一条对称轴 xa 和一个对称中心

4、 B(b，0)(ab)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T4|ba|.自查自纠自查自纠 1(1)f(x)f(x)(2)f(x)f(x)2y 轴 原点 3原点对称 原点对称 必要不充分 4(1)非零常数 每一个 f(xT)f(x)(2)最小 5(1)增(减)函数(2)减(增)函数 6奇 偶 偶 偶 奇 1.(2019 陕西西安中学模拟)设 f(x)x2g(x)，xR，若函数 f(x)为偶函数，则 g(x)的解析式可以为()A.g(x)x3 B.g(x)cosx C.g(x)1x D.g(x)xex 解：因为 f(x)x2g(x)，且函数 f(x)为偶函数，所以有(x)2g(x)x2g(x)

5、，即 g(x)g(x)，所以 g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项 B 中的函数为偶函数故选 B.2.(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当 x0 时，f(x)()A.ex1 B.ex1 C.ex1 D.ex1 解：当 x0 时，x0，则 f(x)f(x)(ex1)ex1.故选 D.3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x1)f(x3)，当 x(2，0)时，f(x)2x，则 f(1)f(4)等于()A.1 B.12 C.12 D.1 解：由于 f(x1)f(x3)，故 f(x)f(x4)，故函数 f(x)是周期为 4 的周期函数，又 f(x)

6、为奇函数，故 f(1)f(4)f(1)f(0)21012.故选 C.4.(2018 江苏)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)cos x2，0 x2，x12，20 且 a1).解：(1)定义域要求1x1x0，所以1x1，所以 f(x)的定义域不关于原点对称，所以 f(x)不具有奇偶性(2)解法一(定义法)：当 x0 时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；当 x0 时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)所以 f(x)为奇函数 解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原点

7、对称的特征知函数f(x)为奇函数(3)由4x20，|x3|30 得2x2 且 x0.所以 f(x)的定义域为2，0)(0，2，关于原点对称 所以 f(x)4x2（x3）34x2x.所以 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数(4)由9x20，x290 得 x 3.所以 f(x)的定义域为3，3，关于原点对称 又 f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.所以 f(x)f(x)所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数(5)由1x1x0，得1x1，即 f(x)ln1x1x的定义域为(1，1)又 f(x)ln1x1xln1x1x1ln1x1xf(x)，故 f(x)为奇函数(6)因为函数的定义域为 R，又

8、因为 f(x)f(x)logax（x）21loga(x x21)loga(x21x)loga(x21x)loga(x21x)(x21x)loga(x21x2)loga10.即 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数 评析 判断函数奇偶性的步骤是：第一步，求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；第二步，验证 f(x)是否等于 f(x)，或验证其等价形式f(x)f(x)0 或f（x）f（x）1(f(x)0)是否成立.对于分段函数的奇偶性应分段验证，但验证过程往往比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断.对于含有 x 的对数式或指数式的函数常用“f(x

9、)f(x)0”来判断.变式 1(1)在函数 yxcosx，yexx2，ylg x22，yxsinx 中，偶函数的个数是()A.3 B.2 C.1 D.0 解：yxcosx 为奇函数，yexx2为非奇非偶函数，ylg x22与 yxsinx 为偶函数故选 B.(2)(2019 贵州凯里一中模拟)已知 f(x)x2x1，g(x)x2，则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数 解：令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x)x2x1x2x 2xx2（2x1），定义域为(，0)(0，)因为 h(x)x 2

10、xx2（2x1）x（12x）2（2x1）h(x)，所以 h(x)f(x)g(x)是偶函数 令 F(x)f(x)g(x)x22（2x1），定义域为(，0)(0，)所以 F(x)（x）22（2x1）x22x2（12x），因为 F(x)F(x)且 F(x)F(x)，所以 F(x)f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数故选 A.(3)(2018 山东枣庄二模)已知 f(x)axlog2(4x1)是偶函数，则 a()A.1 B.1 C.2 D.2 解法一：由已知可得 f(x)f(x)，所以axlog2(4x1)axlog2(4x1)，所以 log24x14x12ax，所以 log24x（4x1）4x（

11、4x1）2ax，所以2x2ax，所以 a1.解法二：因为 f(x)axlog2(4x1)是偶函数，所以 f(1)f(1)，即 alog2(411)alog2(411)，解得 a1.故选A.(4)(2019 广西南宁三中模拟)设函数 f(x)log2（1x），x0，若 f(x)是奇函数，则 g(3)的值是()A.1 B.3 C.3 D.1 解：因为 f(x)是奇函数，所以 f(3)f(3)，即 log2(13)g(3)1，则 g(3)3.故选 C.(5)已知函数 f(x)x2x，x0，x2x，x0.判断函数的奇偶性.解：当 x0 时，f(x)x2x，x0，f(x)(x)2xx2xf(x)；当 x

12、0 时，f(x)x2x，x0，f(x)(x)2xx2xf(x)所以 f(x)是奇函数 另解：作图 类型二 利用函数性质求解析式 例 2(1)函数 f(x)在 R 上为奇函数，且当 x0 时，f(x)x1，则当 x0 时，f(x)x1，所以当 x0，f(x)x1f(x)，即当 x0 时，f(x)(x1)x1.故填 x1.(2)已知函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13.()求证：f(x)是周期函数；()若 f(1)2，求 f(99)的值；()若当 x(0，2时，f(x)x，试求 x(4，8时函数 f(x)的解析式.解：()证明：由题意知 f(x)0，则 f(x2)13f（x）.用 x2 代替

13、 x得 f(x4)13f（x2）f(x)，故 f(x)为周期函数，且 4 为 f(x)的周期()若 f(1)2，则 f(99)f(2443)f(3)13f（1）132.()当 x(4，6时，x4(0，2，则 f(x4)x4，又周期为 4，所以 f(x)f(x4)x4.当 x(6，8时，x6(0，2，则 f(x6)x6，根据周期为 4，则 f(x2)f(x6)x6.又 f(x)f(x2)13，所以 f(x)13f（x2）13x6.所以解析式为 f(x)x4，4x6，13x6，6x8.(3)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)，当 x0，1时，f(x)x2x，则当 x4，3时

14、f(x)的解析式为_.解：当 x4，3时，x40，1，此时 f(x4)(x4)2x4x27x12，由 f(x1)2f(x)得 f(x4)2f(x3)4f(x2)8f(x1)16f(x)，故所求 f(x)的解析式为 f(x)116(x27x12)故填 f(x)116(x27x12)评析 利用函数性质求解析式，主要有利用奇偶性、周期性、对称性及其他性质求解析式，关键在于把所求区间上的变量转化到已知区间.题(2)存在规律性：若 f(xa)f(x)b(常数)，则 2a 为 f(x)的周期(a0)；同理，f(xa)f(x)，f(xa)1f（x），f(xa)1f（x），f(xa)1f（x）1f（x）等均可

15、推得 2a 为 f(x)的周期(a0).另外，关于周期函数应注意：周期函数的定义域必定至少一端是无界的；T 是 f(x)的周期，则 nT(nN*)也是 f(x)的周期.变式 2(1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x3ln(1x)，则当 x0 时，f(x)_.解：当 x0，f(x)(x)3ln(1x)，因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)故填 x3ln(1x)(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且它的图象关于直线 x1 对称.()求证：f(x)是周期为 4 的周期函数；()若 f(x)x(0 x1)，

16、求 x5，4时，函数 f(x)的解析式.解：()证明：由函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，有 f(x1)f(1x)，即有 f(x)f(x2)又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，故有 f(x)f(x)故 f(x2)f(x)从而 f(x4)f(x2)f(x)，所以 f(x)是周期为 4 的周期函数()由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，有 f(0)0.x1，0)时，x(0，1，f(x)f(x)x.故 x1，0时，f(x)x.x5，4时，x41，0，f(x)f(x4)x4.从而，x5，4时，函数 f(x)x4.(3)已知定义在 R 上的 f(x)满足 f(1x)f(1x)，且当 x2时，f(x)ex2ex，则当 x0 时，f(x)的解析式为_.解：由 f(1x)f(1x)得，函数关于直线 x1 对称，即 f(2x)f(x)，当 x0 时，x0，则 2x2，有 f(2x)e(2x)2e2x，故所求 f(x)的解析式为 f(x)e(2x)2e2x(x0)故填 f(x)e(2x)2e2x.类型三 奇偶性与单调性的综合问题 例 3(1)(2017 全国卷)函数 f(x)在(，)单