2-4二次函数与幂函数-2023届高三数学一轮复习考点突破课件（共59张PPT）.ppt

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1、2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数 第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 第二章第二章 函数的概念、基本初等函数函数的概念、基本初等函数()及函数的应用及函数的应用 1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)(a0)；(2)顶点式：f(x)(a0)；(3)零点式：f(x)(a0)2二次函数的图象与性质 二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x ；(2)顶点坐标：；(3)开口方向：a0 时，开口 ，a0 时，开口 ；(4)值域：a0 时，y ，a0 时，y ；(5)单调性：a0 时，f

2、(x)在 上是减函数，在 上是增函数；a0时，f(x)在，b2a上是 ，在b2a，上是_ 3二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系 二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与 x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程 ax2bxc0 的 ，也是一元二次不等式ax2bxc0(或 ax2bxc0)解集的 4二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值 它只能在区间的 或二次函数的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值 5一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设 x1，x2是实系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两实根，则 x1，x2的分布范围与系数

3、之间的关系如表所示 根的分布(mnp 且 m，n，p 均为常数)图象 满足的条件 x1x2m 0，b2a0.mx1x2 0，b2am，f（m）0.x1mx2 f(m)0，mb2a0，f（n）0.mx1nx2p f（m）0，f（n）0.mx1x2n 0，mb2an.只有一根在区间(m，n)内 f(m)f(n)0.6.幂函数(1)定义：形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 图象 性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 yx R R _ 函数 在 R 上单调递增 _ yx2 R _ _ 函数 在_上单调递减；在_上单调递增 y

4、x3 R R _ 函数 在 R 上单调递增 yx12 _ _ _ 函数 在_上单调递增 yx1 _ _ _ 函数 在_和_上单调递减 自查自纠自查自纠 1(1)ax2bxc(2)a(xh)2k (3)a(xx1)(xx2)2(1)b2a(2)b2a，4acb24a(3)向上 向下(4)4acb24a，4acb24a (5)，b2a b2a，增函数 减函数 3根 端点值 4端点 顶点 6 x|x0 x|x0 y|y0 y|y0 y|y0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇(，0 0，)0，)(，0)(0，)(1，1)1.若二次函数 y2x2bxc 的图象关于 y 轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为

5、()A.y2x2x3 B.y2x23 C.y2x2x3 D.y2x23 解：由题可知函数 yf(x)为偶函数，则 b0.又图象过点(0，3)，则 c3，故解析式为 y2x23.故选 B.2.已知 a243，b323，c2513，则()A.bac B.abc C.bca D.caab.故选 A.3.(上海嘉定区 2020 届高三上期中)已知函数 f(x)x24x(xm，5)的值域是5，4，则实数 m 的取值范围是()A.(，1)B.(1，2 C.1，2 D.2，5)解：二次函数 f(x)x24x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为 4，且在 x2 时取得，而当 x5 或1 时，f(x)5，结合图

6、象可知 m 的取值范围是1，2故选 C.4.(2019 年江苏卷)函数 y 76xx2的定义域是_.解：由已知得 76xx20，即 x26x70，解得1x7，故函数的定义域为1，7故填1，7 5.若方程 x211x30a0 的两个不等实根均大于 5，则实数 a 的取值范围是_.解：令 f(x)x211x30a.对称轴 x112，故只要0，f（5）0 即可，解得 02x的解集为(1，3).若方程 f(x)6a0 有两个相等的根，则 f(x)的解析式为_.解：因为 f(x)2x0 的解集为(1，3)，设 f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0，所以 f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)

7、x3a.则方程 f(x)6a0，即 ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的根，所以(24a)24a9a0，解得 a1 或 a15.由于 a0，所以 a15，代入式得 f(x)15x265x35，即为所求 故填 f(x)15x265x35.评析 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，方法如下：变式 1(1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式是 y_.解：设 ya(x2)21(a0)，当 x0 时，4a11，a12，所以 y12(x2)2112x22x1.故填12x22x1.(2)(2018 武汉模拟)若函数 f(x)(xa)(bx2a)(

8、常数 a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式 f(x)_.解：因为 f(x)的值域为(，4，所以 a0，b0，由 f(x)是偶函数知 f(x)的图象关于 y 轴对称，所以a2ab0，b2，所以 f(x)2x22a2，又 f(x)的值域为(，4，所以 2a24，故 f(x)2x24.故填2x24.(3)已知二次函数 yf(x)的图象经过点(4，3)，它在 x轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，则 f(x)_.解：因为 f(2x)f(2x)对任意 xR 恒成立，所以 f(x)图象的对称轴为 x2.又因为 f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2

9、，所以 f(x)0的两根为 1 和 3.设 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)(x3)(a0)，又 f(x)的图象过点(4，3)，所以 3a3，a1，所以所求 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x3)，即 f(x)x24x3.故填 x24x3.类型二 二次函数的图象与性质 例 2(1)如图是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，图象过点 A(3，0)，对称轴为 x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()A.B.C.D.解：因为图象与 x 轴交于两点，所以 b24ac0，即b24ac，正确；对称轴为 x1，即b2a1，2ab0，错误；结合图象，当

10、x1 时，y0，即 abc0，错误；由对称轴为 x1 知，b2a，又函数图象开口向下，所以 a0，所以 5a2a，即 5ab，正确故选 B.评析 对于函数 f(x)ax2bxc，若是二次函数，就隐含 a0，当题目未说明是二次函数时，就要分 a0和a0两种情况讨论.在二次函数yax2bxc(a0)中，a 的正负决定抛物线开口的方向(a 的大小决定开口大小)，c 确定抛物线在 y 轴上的截距，b 与 a 确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).(2)若函数 f(x)x22ax3 在区间4，6上是单调函数，则实数 a 的取值范围为_.解：由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x

11、)在4，6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4.故填(，64，)评析 二次函数的单调性由其图象开口方向及对称轴位置确定，故而若是二次项系数含参数，则往往还需要讨论其正负(开口方向).(3)若函数 f(x)x23x4 的定义域为0，m，值域为254，4，则 m 的取值范围是_.解：函数 f(x)图象的对称轴为 x32，且 f 32254，f(3)f(0)4，由二次函数的图象知 m 的取值范围为32，3.故填32，3.评析 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的

12、位置关系进行分类讨论.(4)(2018 辽宁期末)已知函数 f(x)x22ax1a 在区间0，1上的最大值为 2，则 a 的值为()A.2 B.1 或3 C.2 或3 D.1 或 2 解：函数 f(x)x22ax1a 图象的对称轴为直线 xa，开口向下 当 a0 时，f(x)在区间0，1上是减函数，所以 f(x)maxf(0)1a，由 1a2，得 a1；当 0a1 时，f(x)在区间0，a上是增函数，在a，1上是减函数，所以f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由a2a12，解得a1 52或 a1 52，因为 01 时，f(x)在区间0，1上是增函数，所以 f(x)maxf(1)12a

13、1a2，所以 a2.综上可知，a1 或 a2.故选 D.评析 二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.变式 2(1)已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc.若 f(0)f(4)f(1)，则()A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af(1)，所以 f(x)先减后增，所以 a0.故选 A.(2)(2018 吉林期末)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，

14、4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()A.14，B.14，C.14，0 D.14，0 解：当 a0 时，函数 f(x)2x3 为一次函数，在(，4)上单调递增；当 a0 时，依题意知，a0 且对称轴1a4，解得a14，又 a0，故14a0.综上，14a0.故选 D.(3)若函数 f(x)x22x1 在区间a，a2上的最小值为 4，则 a 的取值集合为()A.3，3 B.1，3 C.3，3 D.1，3，3 解：函数 f(x)x22x1(x1)2，其图象的对称轴方程为 x1.因为 f(x)在区间a，a2上的最小值为 4，令 x22x14x1 或 3.令 a21 或 a3，得 a3 或 3

15、，故 a 的取值集合为3，3故选 C.(4)(陕西省安康市 20192020 学年高一上期中)定义在R 上的偶函数 f(x)满足：当 x(，0时，f(x)x2mx1.()当 x0 时，f(x)的解析式为_；()若函数 f(x)在区间2，4上的最大值为 4，则 m 的值为_.解：()当 x0 时，x0，f(x)x2mx1.因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x)x2mx1(x0)()当m22，即 m4 时，f(x)在2，4上递减，所以 f(2)42m14，m92，不符合；当 2m24，即8m4 时，m2414，m2 5，此时 m2 5；当m24，即 m8 时，f(x)在2，4上递增，所以

16、f(4)164m14，m214，不符合 综上可得 m2 5.故填x2mx1；2 5.类型三 二次方程根的分布 例 3 已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的取值范围.解：(1)条件说明抛物线 f(x)x22mx2m1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，作出函数 f(x)的大致图象，得 f（0）2m10，f（1）4m20 m12，mR，m56.所以56m0，f（1）4m20，（2m）24（2m1）0，0m12，m12，m1 2或m1 2，1m0.所以12m1 2.故 m 的取值范围为m|12m1 2.评析 对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：根的个数问题，由判别式判断；正负根问题，由判别式及韦达定理判断；根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”).变式 3(1)如果方程(1m2)x22mx10 的两个根一个小于零，另一个大于 1，则 m 的取值范