两异面直线所成的角+课件-2023届高三数学一轮复习专题.pptx

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1、两异面直线所成的角高三第一轮复习专题一、两条异面直线所成的角nOmnm1.Omnmnmnmn过空间任意一点，分别引两异面直线、的平行线、，则、这两条相交直线所成的锐角或直角叫做两异面直线、所成的角2.(0,2两异面直线所成的角 的取值范围为cos0,1)3.|cos|cos,|m nm nm nm n 若两异面直线的方向向量分别是、则这两异面直线所成的角满足coscoscos则.MLLlMmLllmLm已知平面外有一直线，在平面内的射影是,平面内有一直线记 与 所成的角为与所成的角为，与所成的角为4.三余弦定理,LPPPElEEEFmFPFPFm证明：在 上任取一点过点 作垂足为过点作，垂足为

2、连接则cosOERt PEOOP在中EPOFlLmcosOFRt EOFOE在中cosOFRt POFOP在中OF OEOE OPcoscoscosOFOP1111112,4305102 5.105105ABCDABC DA AABBCACBDABCD在长方体中，则异面直线与所成的角的余弦值是A选EFAAEF在中，由余弦定理得：2211522AEACBABC222111111622EFBDBAA AAD1AEFACBD则两异面直线与所成的角或补角1BDACEDDFEFFA解：连接交于，取的中点，连接、22230cos210AEEFAFAEFAE EF DCBAD1C1B1A1FE4222217

3、AFADDF二、两异面直线所成的角的求解与应用1.例1111112,4305102 5.105105ABCDABC DA AABBCACBDABCD在长方体中，则异面直线与所成的角的余弦值是A选2223cos25AEBAEEBABAEBAE EB在中115cos6BDDBDBD1BDBDABCD是在平面内的射影BDACE另解：连接交于130coscoscos10DBDAEBDCBAD1C1B1A1E4221ACBD设异面直线与所成的角为由三余弦定理得1111112,4305102 5.105105ABCDABC DA AABBCACBDABCD在长方体中，则异面直线与所成的角的余弦值是3010

4、1(4,2,2)BD 1(0,0,2)D1DDADCDDxyz另解：以为原点，以、所在直线为、轴，建立空间直角坐标系A选11|AC BDACBD11=|cos,|ACBDAC BD异面直线与所成角的余弦值122 52 6(4,2,0)AC (4,2,0)B(0,2,0)C(4,0,0)A则：DCBAD1C1B1A1422zyx1111011112 2,456633.3636ABCDABC DABCDABBCABCEBCAAABCDDEAEAEADABCD四棱柱的底面是平行四边形，且，为的中点，平面，则异面直线与所成角的余弦为3=3EDCBAD1C1B1A1P2202cos1355ECDEDCD

5、ECCD EC在中PEAABAE222ABAEBE2202cos451ABEAEABBEAB BE解：在中221+(2)3PBEPE在中11|,|PE BCPEAD则1BBPPEPA取的中点，连接、12A A122211115Rt A AEAEAEA AA A在中由1PEAAEAD为两异面直线与所成的角PAAE222PAEPEPAAE在中221+12PBAPA在中C选2 21045思考题1：cosAEPEAPE0111111112 2,456633.3636ABCDABC DABCDABBCABCEBCAAABCDDEAEAEADABCD四棱柱的底面是平行四边形，且，为的中点，平面，则异面直线

6、与所成角的余弦为EDCBAD1C1B1A12202cos1355ECDEDCDECCD EC在中ABAE222ABAEBE2202cos451ABEAEABBEAB BE解：在中112cos3ADADAAD12A A122211115Rt A AEAEAEA AA A在中由02coscos452EAD13coscoscos3ADAEAD1AEAD设与所成角为C选2 21045由三余弦定理得2331 2 30111111112 2,456633.3636ABCDABC DABCDABBCABCEBCAAABCDDEAEAEADABCD四棱柱的底面是平行四边形，且，为的中点，平面，则异面直线与所成

7、角的余弦为1(0,0,),0Ah h 设(0,2 2,0)D22Rt ABFBFAF在中易知1ABCDAADAFBCFAAFADAAxyz解：在底面内过点 作的垂线，交于点，以 为原点，、所在直线为、轴建立空间直角坐标系22(,0)22E2223 2()()522ED1(0,2 2,2)AD 2h 得222122()()522AEh由22(,0)22AE111cos,|AE ADAE ADAEAD C选EDCBAD1C1B1A112 2045zyx62105611.105611PABCDABCDEADBDPEABCD正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，为的中点，则与所成角的余弦值为EPDCBA,D

8、CFPFEF解：取的中点,连接222cos2PEFPEEFPFPEFPE EF在中5PEBPE在中，易知1010PEFBDPE与所成角A选F5PFPE122EFBD26思考题2：62105611.105611PABCDABCDEADBDPEABCD正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，为的中点，则与所成角的余弦值为EPDCBAOABCDOOEOP解：取正方形的中心连接，1cos5Rt POEPEO在中5PEBPE在中，易知12102105BDPE设与所成角为coscoscosPEOEOBA选由三余弦定理得2662105611.105611PABCDABCDEADBDPEABCD正四棱锥的侧棱长为，底

9、面边长为，为的中点，则与所成角的余弦值为EPDCBAO1010(0,1,2)PE(0,0,)Ph设ABCDOOEOPyz解：以正方形的中心为坐标原点，以、所在直线为、轴，建立直角坐标系(0,1,0)E(1,1,0)B(1,1,0)OB|OB PEOBPEyzxA选(1,1,)BPh 则2|1 16BPh 由2h 解之得125=|cos,|BDPEOB PE与所成角的余弦值267 5321065555.2345PABPOEPBACDOOPABAEOCBEABCD已知是圆锥的轴截面，是母线上一点，正内接于底面圆，若，两异面直线与所成的角的余弦值为，则060COBOEDCBAPAEAB解：在下底面内

10、的射影是7cos53EAB得coscoscosEABCOB由AEOC设与所成的角为APB在中sinsin()AEBEABABE165 53sinsinABBEAEBEAB由54BE 得C选2sin53EAB1cos5ABE2sin5ABEAEB在中2.例7 5321065555.2345PABPOEPBACDOOPABAEOCBEABCD已知是圆锥的轴截面，是母线上一点，正内接于底面圆，若，两异面直线与所成的角的余弦值为，则(0,1,0)AOEDCBAPOOABON另解：在底面圆 内过点作的垂线zyxyxODCBAOONOBOPxyz以为坐标原点，以、所在直线为、轴建立直角坐标系(0,1,0)

11、B(0,0,2)P(01)BEBP3 1(,0)22C AEABBP(0,2,2)AEOC设与所成的角为|cos|AE OCAE OC222 54472 5321210 14解之得1544BEBPC选3ABCAC解：在中222ABACBC060,1,2.3 73 72 777.144323PABCDPAABCDABCDABCABPAADEPCAEBDECABCD在四棱锥中，底面，底面是平行四边形，点在线段上若异面直线与所成角的余弦值为,则EDCBAPzyxAABADAPxyz以 为坐标原点，以、所在直线为、轴建立直角坐标系ABAC(01)CECP设(1,0,0)B(1,3,0)D yxDCBA

12、(0,0,2)P(0,3,0)C(0,33,2)AE(2,3,0)BD AEBD设与所成角为223|1|73(1)4|cos|AE BDAEBD由3 71423210 即13解之得1733CECPD选221思考题3：2ABCAC解：在中BCFAF取的中点，连接060,52.43 24 23 22 2.4323PABCDPAABCDABCDABCABPAADEPCAEBPECABCD在四棱锥中，底面，底面是平行四边形，点在线段上若异面直线与所成角的余弦值为,则AAFADAPxyz以 为坐标原点，以、所在直线为、轴建立直角坐标系AFBC则(01)CECP设(3,1,0)B(0,0,2)P(3,1,

13、0)C(33,1,2)AE(3,1,2)BP AEBP设与所成角为22(1)2 24(1)4|cos|AE BPAEBP由54231480即23解之得24 233CECPB选yxDCBAEDCBAP222xyzF12216,4.12634ABCDOOFBCEOBAEAEO FABCD正方形是圆柱的轴截面，是母线的中点，是圆圆周上一点，若与所成的角的余弦值为,则1AEO F设与所成角为EFDCBAO2O11ABOF解：是在下底面的射影由三余弦定理得3cos21coscoscosCOF12coscos42CO F2cos2646B选思考题4：1221,6.412634ABCDOOFBCEOBAEA

14、EO FABCD正方形是圆柱的轴截面，是母线的中点，是圆圆周上一点，若与所成的角的余弦值为,则1AEO F设与所成角为EFDCBAO2O1xzy2222221OABO NOO NO BO Oxyz解：在下底面内过点作的垂线以为原点，、所在直线为、轴建立空间直角坐标系(0,1,0)A则1(0,0,2)O1(0,1,1)OF(0,1,1)F2AB 设(sin2,cos2,0)E2yxO2EBA11|cos|AE O FAE O F(sin2,1 cos2,0)AE 221 cos22 sin 2(1 cos2)641cos2222cos 2cos210 得6B选22,22222.12643ABCD

15、BCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值为DCBAOBDBCACOEFOEEFOFOC解：取、的中点、，连接、1ABDOA在等腰中3BCDOC在正中，FE222AOCOAOCAC在中OAOC112OFAC112OEFOECD在中1222EFAB24222cos2OEEFOFOEFOE EFC选2222三、练习22,22222.12643ABCDBCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值为ABBDCBD在平面内的射影是ABCD设直线与所成角为coscoscosABOCDOco

16、scoscos由三余弦定理得2400cos45 cos60C选,BDOOC OA解：取的中点,连接,1ABDOABD OA在等腰中，3OC 222AOCOAOCAC在中OAOCOABDC 平面BCDBDOC在正中DCBAO222222,22222.12643ABCDBCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值为(0,0,1)A(1,0,0)D(0,3,0)C(1,0,0)B1242 2(1,3,0)DC(1,0,1)BA|cos,|BA DCBA DCBA DCC选,BDOOC OA解：取的中点,连接,1ABDOABD OA在等腰中，3OC 222AOCOAOCAC在中OAOCOOBOCOAxyz以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系BCDBDOC在正中DCBAOzyx222223,23333.12643ABCDBCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值为EDCBAOF62OF222242()AOCOFACOAOC在中3BCDOC在正中，,2ABDOABD OA在等腰