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2019-2020学年新教材高中数学 第2章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用(第2课时)均值不等式的应用学案 新人教B版必修第一册.doc

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2019-2020学年新教材高中数学 第2章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用(第2课时)均值不等式的应用学案 新人教B版必修第一册.doc

第2课时均值不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题(重点) 2会用均值不等式求解实际应用题(难点)1.通过均值不等式求最值,提升数学运算素养2借助均值不等式在实际问题中的应用,培养数学建模素养.已知x,y都是正数(1)若xyS(和为定值),则当xy时,积xy取得最大值.(2)若xyp(积为定值),则当xy时,和xy取得最小值2.上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大1已知a0,b0,ab2,则y的最小值是()A.B4C.D5Cab2,1.2.故y的最小值为.2若x>0,则x的最小值是_2x22,当且仅当x时,等号成立3设x,yN*满足xy20,则xy的最大值为_100x,yN*,20xy2,xy100.利用均值不等式求最值【例1】(1)已知x<,求y4x2的最大值;(2)已知0<x<,求yx(12x)的最大值思路点拨(1)看到求y4x2的最值,想到如何才能出现乘积定值;(2)要求yx(12x)的最值,需要出现和为定值解(1)x<,54x>0,y4x23231,当且仅当54x,即x1时,上式等号成立,故当x1时,ymax1.(2)0<x<,12x>0,y×2x(12x)×2×.当且仅当2x12x,即x时,ymax.利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件,即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话:若不正,用其相反数,改变不等号方向;若不定,应凑出定和或定积;若不等,一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决.1(1)已知x>0,求函数y的最小值;(2)已知0<x<,求函数yx(13x)的最大值解(1)yx5259,当且仅当x,即x2时等号成立故y(x>0)的最小值为9.(2)法一:0<x<,13x>0.yx(13x)·3x(13x).当且仅当3x13x,即x时,等号成立当x时,函数取得最大值.法二:0<x<,x>0.yx(13x)3·x3·,当且仅当xx,即x时,等号成立当x时,函数取得最大值.利用均值不等式求条件最值【例2】已知x0,y0,且满足1.求x2y的最小值解x0,y0,1,x2y(x2y)1010218,当且仅当即时,等号成立,故当x12,y3时,(x2y)min18.若把“1”改为“x2y1”,其他条件不变,求的最小值解x,yR,(x2y)821010218.当且仅当时取等号,结合x2y1,得x,y,当x,y时,取到最小值18.1本题给出的方法,用到了均值不等式,并且对式子进行了变形,配凑出满足均值不等式的条件,这是经常使用的方法,要学会观察、学会变形2常见的变形技巧有:(1)配凑系数;(2)变符号;(3)拆补项常见形式有yax型和yax(bax)型2已知a0,b0,a2b1,求的最小值解法一:·1·(a2b)1233232,当且仅当即时等号成立的最小值为32.法二:12332,当且仅当即时等号成立,的最小值为32.利用均值不等式解决实际问题【例3】如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成现有36 m长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽分别设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?解设每间虎笼长x m,宽y m,则由条件知,4x6y36,即2x3y18.设每间虎笼面积为S,则Sxy.法一:由于2x3y22,所以218,得xy,即Smax,当且仅当2x3y时,等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使每间虎笼面积最大法二:由2x3y18,得x9y.x>0,0<y<6,Sxyyy(6y)0<y<6,6y>0.S2.当且仅当6yy,即y3时,等号成立,此时x4.5.故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使每间虎笼面积最大在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案3某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房经测算,如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位:元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用平均建筑费用平均购地费用,平均购地费用解设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为.每平方米的平均综合费用y56048x56048.当x取最小值时,y有最小值x>0,x230.当且仅当x,即x15时,上式等号成立当x15时,y有最小值2 000元因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少1利用均值不等式求最值,要注意使用的条件“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可,解题时,有时为了达到使用均值不等式的三个条件,需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段,创设一个适合应用均值不等式的情境2不等式的应用题大都与函数相关联,在求最值时,均值不等式是经常使用的工具,但若对自变量有限制,一定要注意等号能否取到.1思考辨析(1)两个正数的积为定值,一定存在两数相等时,它们的和有最小值()(2)若a>0,b>0且ab4,则ab4.()(3)当x>1时,函数yx2,所以函数y的最小值是2.()提示(1)由ab2可知正确(2)由ab24可知正确(3)不是常数,故错误答案(1)(2)(3)×2若实数a,b满足ab2,则ab的最大值为()A1B2C2D4A由均值不等式得,ab21.3已知0<x<1,则x(33x)取最大值时x的值为()A. B.C. D.A0<x<1,1x>0,则x(33x)3x(1x)3×2,当且仅当x1x,即x时取等号4已知x>0,求y的最大值解y.x>0,x22,y1,当且仅当x,即x1时等号成立

注意事项

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