2022版高中数学 第三章 不等式 3 基本不等式 综合拔高练（含解析）北师大版必修5.docx

1、综合拔高练五年高考练考点1利用基本不等式求最值1.(2020天津,14,5分,)已知a0,b0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为.2.(2018天津,13,5分,)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.考点2利用基本不等式解决实际问题3.(2017江苏,10,5分,)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.考点3不等式的综合应用4.(2017天津,8,5分,)已知函数f(x)=x2-x+3,x1,x+2x,x1.设aR,若关于x的不等式f(x)x2+a在R

2、上恒成立,则a的取值范围是() A.-4716,2B.-4716,3916C.-23,2D.-23,3916三年模拟练一、选择题1.()若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是() A.23B.223C.33D.2332.(2021安徽马鞍山二中高一上段考,)设x0,y0,且不等式(ax+y)1x+1y9恒成立,则正实数a的取值范围是()A.a4B.0a2C.00,y0,且x+3y=xy,若t2+4tx+3y恒成立,则实数t的取值范围是.6.(2021湖北随州高二上9月联考,)1sin2+1+4cos2+1的最小值为.三、解答题7.()已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万

3、元,每生产1万只还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完,每1万只的销售收入为R(x)万元,且R(x)=400-6x(040).(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万只)的函数解析式;(2)当年产量为多少万只时,公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润.答案全解全析3综合拔高练五年高考练1.答案4解析12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b2a+b28a+b=4,当且仅当a+b2=8a+b,即a+b=4(负值舍去)时取等号.又ab=1,a=2+3,b=2-3或a=2-3,b=2+3时取等号,12a+12b+8a+b的最小值为4

4、.2.答案14解析由a-3b+6=0可得a-3b=-6,且2a+18b=2a+2-3b.因为对于任意x,2x0恒成立,所以2a+2-3b22a2-3b=22-6=14,当且仅当2a=2-3b,a-3b=-6,即a=-3,b=1时,等号成立.综上可得,2a+18b的最小值为14.3.答案30解析设总费用为y万元,则y=600x6+4x=4x+900x42x900x=240,当且仅当x=900x,即x=30(负值舍去)时,等号成立.4.A当x1时,关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立等价于-x2+x-3x2+ax2-x+3在R上恒成立,即有-x2+12x-3ax2-32x+3在R上恒成立.由

5、y=-x2+12x-3图像的对称轴为直线x=14141,可得在x=14处取得最大值-4716;由y=x2-32x+3图像的对称轴为直线x=34341时,关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立等价于-x+2xx2+ax+2x在R上恒成立,即有-32x+2xax2+2x在R上恒成立.因为x1,所以-32x+2x-23x22x=-23,当且仅当x=23时取等号;因为x1,所以12x+2x212x2x=2,当且仅当x=2时取等号,则-23a2.由可得-4716a2,故选A.三年模拟练一、选择题1.B由x2+3xy-1=0可得y=131x-x.因为x0,所以x+y=2x3+13x22x313x=22

6、9=223当且仅当2x3=13x,即x=22(负值舍去)时,等号成立.2.Ax0,y0,a0,(ax+y)1x+1y=a+1+yx+axya+1+2yxaxy=(a+1)2当且仅当yx=axy时取等号,又(ax+y)1x+1y9恒成立,(a+1)29,解得a4.二、填空题3.答案6解析因为ab,所以ab=4(x-1)+2y=0,即2x+y=2,所以9x+3y29x3y=232x+y=232=6,当且仅当9x=3y,即x=12,y=1时,等号成立.所以9x+3y的最小值为6.4.答案23解析因为2c-a=2bcos A,所以由正弦定理得,2sin C-sin A=2sin Bcos A,因为A+

7、B=-C,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以2sin Acos B+2cos Asin B-sin A=2sin Bcos A,化简得(2cos B-1)sin A=0,因为sin A0,所以2cos B-1=0,解得cos B=12,因为B(0,),所以B=3,因为b=3,所以由余弦定理得3=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,所以(a+c)2-3ac=3,所以3(a+c)2-34(a+c)2=14(a+c)2,当且仅当a=c时取等号.又a+c0,所以a+c23,即a+c的最大值为23.5.答案(-6,2)解析x0,y0,且x+3y

8、=xy,3x+1y=1,x+3y=(x+3y)3x+1y=6+xy+9yx6+2xy9yx=12,当且仅当x=6,y=2时,等号成立,x+3y的最小值为12,不等式t2+4tx+3y恒成立,t2+4t(x+3y)min=12,即t2+4t-120,解得-6t0,cos2+10,所以1sin2+1+4cos2+1=131sin2+1+4cos2+1(sin2+cos2+2)=131sin2+1+4cos2+1(sin2+1)+(cos2+1)=131+4+cos2+1sin2+1+4(sin2+1)cos2+1135+2cos2+1sin2+14(sin2+1)cos2+1=3,当且仅当cos2

9、+1sin2+1=4(sin2+1)cos2+1,即sin2=0,cos2=1时取等号.易错警示利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个值就不是所求的最值.三、解答题7.解析(1)当040时,W=xR(x)-(16x+40)=-40 000x-16x+7 360.所以W=-6x2+384x-40,040.(2)当040时,W=-40 000x-16x+7 360.因为x40,所以40 000x+16x240 000x16x=1 600,当且仅当40 000x=16x,即x=50(负值舍去)时取等号,所以Wmax=5 760.因为6 1045 760,所以当x=32时,W取得最大值6 104,即当年产量为32万只时,公司在该款手机的生产中获得的利润最大,最大利润为6 104万元.