2015高中数学 1.6余弦函数的图像与性质 课件 （北师大版必修4）.ppt

1、6余弦函数的图像与性质问题引航1.如何得到余弦函数的图像？什么是余弦曲线？2.余弦函数有哪些性质？如何利用这些性质解题？1.余弦函数图像的画法(1)平移法：左(2)五点法：五个关键点：函数y=cos x，x0,2的简图：x02cos x_10-101(3)余弦曲线：y=cos x(x0,2)的图像向左、向右平行移动(每次平移_个单位)得到余弦函数y=cos x(xR)的图像,此图像叫作余弦曲线.22.余弦函数的性质函数性质余弦函数y=cos x 图像定义域R 值域-1,1函数性质余弦函数y=cos x 最值当x=2k(kZ)时，ymax=1当x=(2k+1)(kZ)时，ymin=-1 周期性是

2、周期函数，最小正周期为_ 奇偶性是偶函数，图像关于y轴对称单调性在(2k-1),2k(kZ)上是_的在2k,(2k+1)(kZ)上是_的2增加减少1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦函数y=cos x是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有无数多条.()(2)余弦函数y=cos x的图像是轴对称图形，也是中心对称图形.()(3)在区间0，2上，函数y=cos x仅在x=0时取得最大值1.()2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y=cos x的单调增区间是_，单调减区间是_，最小正周期是_.(2)函数y=2cos x-1的值域是_.(3)函数y=f(x)=-cos x的奇偶性为

3、_.【解析】1.(1)正确.由余弦函数的图像可得，对称轴方程为x=k(kZ),所以余弦函数的图像的对称轴有无数条.(2)正确.由余弦函数的图像可得函数关于点(kZ)成中心对称.(3)错误.在区间0，2上，函数y=cos x在x=0与x=2时取得最大值1.答案：(1)(2)(3)2.(1)y=cos x的图像在x轴上方的不动，将下方部分对称地翻到x轴上方，即得到函数y=cos x的图像，如图所示，由图像可知，函数的最小正周期为，又因为在上，函数的增区间是减区间是而函数的周期是k(kZ且k0)，因此函数y=cos x的增区间是(kZ)，减区间是(kZ).答案：(2)因为y=cos x-1,1，所以

4、2cos x-1-3,1.答案：-3,1(3)函数y=-cos x的定义域为R，f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x)，所以函数为偶函数.答案：偶函数【要点探究】知 识 点余弦函数的图像与性质1.余弦函数性质与图像的关系(1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法.(2)余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论.2.对余弦函数单调性的三点说明(1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间.(2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值).(3)确定较复杂函数的单调性，要注意使

5、用复合函数单调性的判断方法.3.余弦函数的最值(1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|1,解题时常会用到.(2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义域来确定.(3)形如y=Acos(x+)(A0,0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令x+=z,将函数转化为y=Acos z的形式求最值.【微思考】(1)由y=sin x，xR的图像得到y=cos x,xR的图像，平移的方法唯一吗？提示：可向左平移也可向右平移，方法不唯一.(2)形如y=Acos(x+)(A0,xR)的值域还是-1,1吗？提示：不一定是.值域是-A,A.【即时练】下列关于函数y=-3cos x-1的说法

6、错误的是()A.最小值为-4B.是偶函数C.当x=k，kZ时，函数取最大值D.是周期函数，最小正周期为2【解析】选C.当x=k,kZ时，y=cos x取到最大值1，而函数y=-3cos x-1取最小值.【题型示范】类型一“五点法”画余弦函数的图像【典例1】(1)利用“五点法”作余弦函数的图像时，第三个关键点的坐标为()A.(0，1)B.C.(,-1)D.(2)用“五点法”作出y=1+cos x(0 x2)的简图.【解题探究】1.对余弦函数而言，五点法作图的五个点的坐标分别是什么？2.题(2)中函数y=1+cos x的最大值与最小值分别等于什么？【探究提示】1.五个点分别为(0，1)，(，-1)

7、，(2，1).2.因为cos x-1，1，所以1+cos x0，2,即最大值为2，最小值为0.【自主解答】(1)选C.由五个点的坐标知第三个关键点为(,-1).(2)列表如下：x02y=cos x10-101y=1+cos x21012描点连线，可得函数y=1+cos x在0,2上的图像如图所示：【方法技巧】“五点法”画函数图像的三个步骤【变式训练】作出函数y=1-cos x(0 x2)的简图.【解题指南】将0,2这一区间四等分找到五个关键点然后描点、连线即可.【解析】列表：x02y=cos x10-101y=1-cos x01210描点连线得y=1-cos x的图像(如图所示).【补偿训练】

8、“五点法”画y=cos 时，所取的五个点为_.【解题指南】把作为一个整体看作是y=cos x中的x可得五点.即五个点分别为：答案：0 2x10-101【解析】列表可得：类型二余弦函数的奇偶性及应用【典例2】(1)(2013佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+)(0)是R上的偶函数，则的值为()A.0 B.C.D.(2)(2014绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+)的奇偶性为_.(3)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=sin 2x+cos x，求f(x).【解题探究】1.f(x)为R上的偶函数应具备什么条件？2.利用诱导公式化简sin(2x+)等于什么？3

9、.题(3)中已知函数f(x)为奇函数，求f(x)的一般原则是什么？【探究提示】1.应满足f(-x)=f(x).2.3.先求x=0时的解析式，再求x0时的解析式，对定义域内的取值要完整.【自主解答】(1)选C.当=0或时，f(x)为奇函数，当=时,为非奇非偶函数.只有当=时符合题意,故选C.(2)因为=-sin(2x+)=-cos 2x，所以f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),即f(x)为偶函数.答案：偶函数(3)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以f(0)=-f(0)，f(0)=0,当x0时，-x0,所以f(x)=-f(-x)=-si

10、n 2(-x)+cos(-x)=sin 2x-cos x，所以【方法技巧】余弦函数奇偶性常用结论(1)因为余弦函数是偶函数，所以cos x=cos x.(2)y=cos(x+)，当=k+(kZ)时是奇函数；y=sin(x+)，当=k+(kZ)时是偶函数.(3)余弦函数的对称轴和对称中心对称轴方程为x=k(kZ).对称中心的坐标为(+k,0)(kZ).【变式训练】函数f(x)=x2+cos x的奇偶性为_.【解析】因为xR，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.答案：偶函数【补偿训练】函数y=cos(sin x)的奇偶性是_.【解析】函数

11、定义域为R,又cos sin(-x)=cos(-sin x)=cos(sin x)，所以函数为偶函数.答案：偶函数类型三余弦函数的单调性与最值【典例3】(1)函数y=cos 2x的一个增区间是()(2)求函数y=3cos2x-4cos x+1的最大值和最小值.【解题探究】1.题(1)中涉及的函数是哪种？2.题(2)中若将cos x变为t，则函数变为什么？【探究提示】1.涉及的函数是余弦函数.2.函数变为y=3t2-4t+1.【自主解答】(1)选D.令2k-2x2k,kZ，所以k-xk，当k=1时，x ,.(2)令t=cos x，则-1t1,问题转化为求函数y=3t2-4t+1(-1t1)的最大

12、值和最小值.因为所以函数在-1,上是减少的，在 ,1上是增加的，当t=时,y有最小值;当t=-1时,y有最大值，所以ymax=3+4+1=8.所以函数的最大值为8，最小值为-.【延伸探究】若将本题(2)增加条件x 求最大值和最小值.【解析】令t=cos x,则y=因为x所以t函数在区间上是减少的.所以当t=-即cos x=-时,ymax=，此时x=.当t=即x=时，ymin=-.【方法技巧】求函数最大值、最小值的方法(1)直接法：根据函数值域的定义,由自变量的取值范围求出函数值的取值范围.(2)单调性法：利用函数的单调性.(3)图像法：利用函数的图像,转化为求函数图像上最高点和最低点的纵坐标的

13、问题.(4)换元法:转化为一次函数、二次函数等函数问题.【变式训练】函数y4cos2x4cos x2的值域为()A.-2，6B.-3，6C.-2，4D.-3，8【解题指南】利用换元法将函数变为二次函数，利用二次函数求最值.【解析】选B.设cos x=t，则y4cos2x4cos x24t2+4t-2=4(t2+t)-2=4(t+)2-3.因为1cos x1，所以-1t1,所以ymin3，【补偿训练】求函数y2cos(2x)，x 的最大值与最小值.【解析】因为所以02x所以12cos(2x)2，当cos(2x)1，即x时，ymax2，当cos(2x)，即x时，ymin1.【规范解答】余弦函数值域

14、的应用【典例】(12分)(2014榆林高一检测)已知函数y=a-bcos x的最大值为，最小值为-，求函数y=-2sin bx的最值及周期.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升失分点1：解题时若忽视对处参数b的分类讨论，则会导致漏解而失分.失分点2：解题时若忽视解析式中的符号，则会导致处的解析式出错而失分.失分点3：解题时若忽视处的总结，则会导致解题不完整而失掉2分.【悟题】提措施，导方向1.分类讨论的意识在解含有参数的问题时，切记分类讨论思想的应用，如本例中的解析式中含有参数，故需考虑是否需要分类讨论.2.函数性质的应用对一些常用函数的性质要牢记，如本例中正弦函数的值域、周期等.3.解题的规范性做解答题时，步骤要合理、规范，对于分类讨论的问题最后要有总结，如本例中的.【类题试解】已知函数y=acos x+b的最大值为1，最小值为-3，求函数y=asin bx的最值.【解析】当a0时，解得a=2，b=-1，此时y=asin bx=-2sin x，所以ymax=2,ymin=-2.当a0时，解得a=-2，b=-1,此时y=asin bx=2sin x，所以ymax=2,ymin=-2.综上所述，所求函数的最大值为2，最小值为-2.