2021-2022高中数学人教A版选修2-1教案：2-4-1抛物线及其标准方程 （系列一） WORD版含解析.doc

1、2.4.1抛物线及其标准方程三维目标 1.知识与技能掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线2过程与方法掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法坐标法通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力3情感、态度与价值观通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想重点、难点重点：(1)抛物线的定义及焦点、准线；(2)抛物线的四种标准方程和p的几何意义难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能

2、够在动态演示过程中突出教学重点，化解教学难点教学建议 本节课主要采用启发引导法在整个教学过程中，引导学生观察、分析、归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，培养学生学习的兴趣，也充分体现了以教师为主导，学生为主体的教学理念同时，采用多媒体辅助教学，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，突出知识的形成过程，符合学生的认识规律，也可以增加趣味本节课从引入课题开始， 尽可能让学生参与知识的产生及形成过程，充分发挥学生的主体作用，使学生全方位地参与问题结论的得出，教师只起到点拨作用这样做增加了学生的参与机会，提高了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体教学流程课

3、标解读1.掌握抛物线的定义及其标准方程(重点)2了解抛物线的实际应用(难点)3能区分抛物线标准方程的四种形式(易混点)抛物线的定义【问题导思】我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？【提示】抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线【问题导思】抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？【提示】不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线.抛物线的标准方程【问题导思】1比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标

4、系，建立的抛物线方程才能更简单？【提示】根据抛物线的几何特征，可以取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，以F到l的垂线段的中垂线为y轴建系2抛物线的标准方程只有一种形式吗？【提示】有四种形式四种不同标准形式的抛物线方程图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标(，0)(，0)(0，)(0，)准线方程xxyy抛物线概念的理解与应用例题1(1)抛物线y22px(p0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是()A4B8C13D16(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x50的距离小1，则点P的轨迹方程是()Ay

5、216xBy232xCy216x Dy216x或y0(x0)【思路探究】(1)由抛物线的定义，点A到焦点的距离与什么相等？(2)点P到F的距离比它到定直线x50的距离小1，那么点P到F的距离与它到哪条直线的距离相等？【自主解答】(1)由题意610，p8.(2)因为点F(4,0)在直线x50的右侧，且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，所以点P到F(4,0)的距离与到直线x40的距离相等故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p8，故P点的轨迹方程为y216x.【答案】(1)B(2)C规律方法1根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物

6、线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷2抛物线标准方程中的p的几何意义是：焦点到准线的距离3对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题变式训练(1)抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则A点到抛物线焦点的距离为()A2B3C4 D5(2)若动圆与圆(x2)2y21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x【解析】(1)由抛物线的定义，点A到焦点的距离等于它到准线的距离，而A到准线的距离为4415.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x10的距离大1，故

7、动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x2为准线的抛物线，其方程为y28x.【答案】(1)D(2)A求抛物线的标准方程例题2分别求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点M(6,6)(2)焦点在直线l：3x2y60上【思路探究】(1)过点M(6,6)的抛物线的开口方向有几种情况？(2)直线l：3x2y60上有无数个点，哪些点是抛物线的焦点？【自主解答】(1)由于点M(6,6)在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0)，将点M(6,6)代入，可得362p(6)，p3.抛物线的方程为y26x；若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22

8、py(p0)，将点M(6,6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.(2)直线l与x轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是F(2,0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是F(0，3)，3，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.规律方法1只有当抛物线的顶点在原点，焦点在x轴或y轴上时，其方程才是标准形式，抛物线的标准方程有四种情况2尽管抛物线的标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，求标准方程时仍遵循先定位后定量的原则，同时要运用

9、好参数p的几何意义3有时可以设标准方程的统一形式，以避免讨论，如焦点在x轴上，开口不确定的抛物线可设方程为y22ax(a0)，解出a值的正负后，开口方向也自然确定了若把本例题目改为：(1)过点(1,2)(2)焦点在直线x2y40上试求抛物线的标准方程【解】(1)点(1,2)在第一象限，分两种情形：当抛物线焦点在x轴上时，设其方程为y22px(p0)，则222p1，解得p2，抛物线标准方程为y24x；当抛物线焦点在y轴上时，设其方程为x22py(p0)，则122p2，解得p，抛物线标准方程为x2y.(2)令方程x2y40的x0得y2，令y0得x4.抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)，当焦点为(

10、4,0)时，4，p8，这时抛物线标准方程为y216x；当焦点为(0，2)时，2，p4，这时抛物线标准方程为x28y.抛物线的实际应用问题例题3如图231所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米图231(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?【思路探究】(1)如图所示数据，你能求出抛物线的方程吗？(2)车辆限制高度是什么意思？由题意该

11、求哪些量？【自主解答】如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆高h，则|DB|h0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米规律方法1解答抛物线的实际应用问题的关键是“建模”，即通过题意分析，把实际问题转化为数学模型解决2解决抛物线实际应用题的步骤：(1)建：建立适当的坐标系；(2)设：设出合适的抛物线标准方程；(3)算：通过计算求出抛物线标准方程；(4)求：求出所要求出的量；(5)还：还原到实际问题中，从而解决实际问题某河上有座抛物线形拱桥，

12、当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解】以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如下图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由题意知，点A(4，5)在抛物线x22py(p0)上所以162p(5)，2p.所以抛物线方程为x2y(4x4)设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥接触于B、B时，船开始不能通航设B(2，y)，由于22y，所以y.所以水面与抛物线拱顶相距|y|2(m)答：水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时，船开始不能通航.(对应学生用书第39页)忽略对抛物线方程中系数

13、的讨论致误典例设抛物线y2ax的准线与直线x20的距离为5，求抛物线的方程【错解】由抛物线方程y2ax得准线方程为x.又准线与直线x20的距离为5，准线方程为x3，3，a12.抛物线的方程为y212x.【错因分析】产生错解的原因是对抛物线方程y2ax中的系数a的理解不全面，只认为a0，而忽视了a0的情况【防范措施】求解抛物线方程中涉及系数问题时，要充分考虑各种情况，以免因遗漏致误【正解】由抛物线方程y2ax，得准线方程为x，准线与直线x20的距离为5，准线方程为x3或x7，当a0时，有x3，解得a12，抛物线方程为y212x；当a0时，有x7，解得a28，抛物线方程为y228x.综上所述，所求

14、抛物线的方程为y212x或y228x.课堂小结1利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系在解题时，若能灵活运用，会带来很大的方便2求抛物线的标准方程时，由于其标准形式有四种且极易混淆，解题时一定要做到数形结合，再按照“先定形”再“定量”的程序求解.1抛物线y28x的焦点坐标是()A(2,0)B(2,0)C(4,0) D(4,0)【解析】由y28x，得2p8，2.从而抛物线的焦点为(2,0)【答案】B2设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x【解析】由准线x2及顶点在原点，焦点F(2,0)，p4

15、.抛物线的方程为y28x.【答案】B3若动点P到定点F(4,0)的距离与到直线x4的距离相等，则P点的轨迹是()A抛物线 B线段C直线 D射线【解析】由抛物线的定义可知，点P的轨迹是抛物线【答案】A4抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标【解】设焦点为F，M点到准线的距离为d.则d|MF|10，即910.p2，抛物线方程为y24x，将M(9，y)代入抛物线的方程，得y6.M点坐标为(9,6)或(9，6). 一、选择题1(2013济南高二检测)若动点P与定点F(1,1)和直线3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线

16、 D直线【解析】由于点F(1,1)在直线3xy40上，故满足条件的动点P的轨迹是一条直线【答案】D2(2013新乡高二检测)设动点C到点M(0,3)的距离比点C到直线y0的距离大1，则动点C的轨迹是()A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆【解析】由题意，点C到M(0,3)的距离等于点C到直线y1的距离，所以点C的轨迹是抛物线【答案】A3抛物线y24px(p0)上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴的距离为()Aap BapCa Da2p【解析】y24px的准线方程为xp，设M点坐标为(x1，y1)，则x1pa，x1ap.【答案】A4(2013东营高二检测)若抛物线的焦点恰巧是椭圆1的右焦点，则抛物线的

17、标准方程为()Ay24x By24xCy28x Dy28x【解析】椭圆1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，2，p4，抛物线标准方程为y28x.【答案】D5(2013洛阳高二检测)已知点M是抛物线y24x上的一动点，F为焦点，定点P(3,1)，则|MP|MF|的最小值为()A3 B4C5 D6【解析】如图所示，过点P作PN垂直于准线x1于点N，交抛物线于点M，|MN|MF|，此时|MP|MF|取得最小值，最小值为xp314.【答案】B二、填空题6抛物线y24x的焦点到准线的距离是_【解析】由y24x知焦点F(1,0)，准线为x1，焦点到准线的距离为2.【答案】27(2013三明高

18、二检测)以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为_【解析】由1知a24，b25，c2a2b29，双曲线右焦点为(3,0)，依题意，抛物线的焦点F(3,0)，3，p6，抛物线方程为y212x.【答案】y212x8(2012陕西高考)如图232所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_m.图232【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py得p1.x22y.当水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y得x6，x0.水面宽|CD|2 m.【答

19、案】2三、解答题9根据下列条件，分别求抛物线的标准方程(1)准线方程为y1；(2)焦点到准线的距离是4.【解】(1)准线为y1，所以1，即p2，所以抛物线标准方程为x24y.(2)p4，所以抛物线标准方程有四种形式：y28x，y28x，x28y，x28y.10抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，3)在抛物线上，且|AF|5，求抛物线的标准方程【解】因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，3)在抛物线上，所以当m0时，点A在第四象限，抛物线的方程可设为y22px(p0)，设点A到准线的距离为d，则d|AF|m，所以解得或所以抛物线的方程为y22x或y218x，当m0时，点A在第三象限，抛物线方程可

20、设为y22px(p0)，设A到准线的距离为d，则d|AF|m，所以解得或所以抛物线的方程为y22x或y218x.综上所述，抛物线的标准方程为y22x或y218x或y22x或y218x.11已知抛物线x24y，点P是此抛物线上一动点，点A坐标为(12,6)，求点P到点A的距离与到x轴距离之和的最小值【解】将x12代入x24y，得y366，所以A点在抛物线外部抛物线焦点F(0,1)，准线l：y1.过P作PBl于点B，交x轴于点C，则|PA|PC|PA|PB|1|PA|PF|1，由图可知，当A、P、F三点共线时，|PA|PF|最小|PA|PF|的最小值为|FA|13.故|PA|PC|的最小值为12.备选例题如图所示，动圆P与定圆C：(x1)2y21外切且与y轴相切，求圆心P的轨迹【解】设P(x，y)，动圆P的半径为r.两圆外切，PCr1.又圆P与y轴相切，r|x|(x0)，即|x|1，整理得y22(|x|x)当x0时，得y24x；当x0时，得y0.点P的轨迹方程是y24x(x0)或y0(x0)，表示一条抛物线(除去顶点)或x轴的负半轴备选变式已知圆A：(x2)2y21与定直线l：x2，且点P与圆心A的距离等于点P到直线l的距离，求点P的轨迹方程【解】依题意可知，P到圆心A(2,0)的距离和到定直线x2的距离相等，点P的轨迹为抛物线且p4，点P的轨迹方程为y28x.14