2019版数学人教A版选修4-1训练：2-4 弦切角的性质 WORD版含解析.docx

1、四弦切角的性质课时过关能力提升基础巩固1如图,已知AB是半圆O的直径,C,D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,PCB=25,则ADC为()A.105B.115C.120D.125解析如图,连接BD.PC与O相切,BDC=BCP=25.AB是直径,ADB=90.ADC=ADB+BDC=90+25=115.答案B2如图,PQ为O的切线,A是切点,若BAQ=55,则ADB=()A.55B.110C.125D.155解析PQ是切线,C=BAQ=55.四边形ADBC内接于圆,ADB=180-C=180-55=125.答案C3如图,ABC内接于O,EC切O于点C.若BOC=76,则BC

2、E等于()A.14B.38C.52D.76解析EC为O的切线,BCE=BAC=12BOC=38.答案B4如图,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是O的切线,C为切点,若BCM=38,则B等于()A.32B.42C.52D.48解析连接AC,如图.MN切O于点C,BC是弦,BAC=BCM.AB是直径,ACB=90.B+BAC=90.B+BCM=90,B=90-BCM=52.答案C5如图,AD切O于点F,FB,FC为O的两弦,请列出图中所有的弦切角.答案AFB,AFC,DFC,DFB6如图,AB是O的直径,直线CE与O相切于点C,ADCE于D,若AD=1,ABC=30,则O的面积是.解

3、析DE是切线,ACD=ABC=30.又ADCD,AC=2AD=2.AB是直径,ACB=90.又ABC=30,AB=2AC=4,OA=12AB=2.O的面积为S=OA2=4.答案47如图,AB是O的弦,CD是经过O上的点M的切线.求证:(1)如果ABCD,那么AM=MB;(2)如果AM=BM,那么ABCD.证明(1)CD切O于点M,DMB=A,CMA=B.ABCD,CMA=A,A=B,AM=MB.(2)AM=BM,A=B.CD切O于点M,CMA=B.CMA=A.ABCD.8如图,四边形ABED内接于O,ABDE,AC切O于点A,交ED延长线于点C.求证:ADAB=DCBE.分析求证成比例的四条线

4、段在两个三角形ACD和ABE中,所以只要证明ACDAEB即可.证明四边形ABED内接于O,ADC=ABE.AC是O的切线,CAD=AED.ABDE,BAE=AED.CAD=BAE,ACDAEB.ADAB=DCBE.9如图,已知圆上的AC=BD,过点C的圆的切线与BA的延长线交于点E.求证:(1)ACE=BCD;(2)BC2=BECD.分析(1)证明这两个角都等于ABC;(2)转化为证明BDCECB.证明(1)AC=BD,BCD=ABC.EC与圆相切于点C,ACE=ABC.ACE=BCD.(2)ECB=CDB,EBC=BCD, BDCECB.BCBE=CDBC,即BC2=BECD.10如图,AB

5、是半圆O的直径,C是圆周上异于点A,B的一点,过点C作圆O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,垂足为点D,AD交半圆于点E.求证:CB=CE.分析转化为证明CBE=CEB.证明(方法一)连接BE,如图.因为AB是半圆O的直径,点E为圆周上一点,所以AEB=90,即BEAD.又因为ADl,所以BEl.所以DCE=CEB.因为直线l是圆O的切线,所以DCE=CBE.所以CBE=CEB,故CE=CB.(方法二)连接AC,BE,在DC延长线上取一点F,如图.因为AB是半圆O的直径,C为圆周上一点,所以ACB=90,即BCF+ACD=90.因为ADl,所以DAC+ACD=90,所以BCF=DAC.因为直

6、线l是圆O的切线,所以CEB=BCF.又DAC=CBE,所以CBE=CEB.所以CE=CB.能力提升1如图,AB是O的直径,EF切O于点C,ADEF于点D,若AD=2,AB=6,则AC的长为()A.2B.3C.23D.4解析连接BC,如图.EF是O的切线,ACD=ABC.又AB是O的直径,ACB=90.又ADEF,ACB=ADC.ADCACB.ABAC=ACAD.AC2=ADAB=26=12,AC=23.答案C2如图,已知ABC=90,O是AB上一点,O切AC于点D,交AB于点E,B,连接DB,DE,OC,则图中与CBD相等的角共有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析ABBC,BC与O相切

7、,BD为弦.CBD=BED.同理可得CDB=BED,CBD=CDB.连接OD.OD=OB,OC=OC,RtCODRtCOB.CB=CD,DCO=BCO.OCBD.又DEBD,DEOC.BED=BOC,CBD=BOC.与CBD相等的角共有3个.答案C3如图,AB是O的直径,PB,PE分别切O于点B,C,若ACE=40,则P=.解析如图,连接BC,则ACE=ABC,ACB=90.又ACE=40,则ABC=40.所以BAC=90-ABC=90-40=50,ACP=180-ACE=140.又AB是O的直径,则ABP=90.又四边形ABPC的内角和等于360,所以P+BAC+ACP+ABP=360.所以

8、P=80.答案804如图,已知圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过点C作圆的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为点D,则线段CD的长为.解析直线l是圆O的切线,ACD=ABC.又AB是直径,ACBC.BC=3,AB=6,ABC=60.AC=33.又ACD=ABC,ACD=60.又ADl,CD=ACcos 60=332.答案3325如图,O和O相交于A,B两点,过点A作两圆的切线,分别交两圆于C,D两点,若BC=2,BD=4,则AB的长为.解析AC,AD分别是两圆的切线,C=BAD,D=BAC.ACBDAB.BCBA=ABDB.AB2=BCDB=24=8.AB=22(负值舍去).答案

9、226如图,BA是O的直径,AD是O的切线,切点为A,BF,BD分别交AD于点F,D,交O于点E,C,连接CE.求证:BEBF=BCBD.分析要证BEBF=BCBD,只需证BEBD=BCBF,即证明BECBDF.由DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点B作O的切线,构造弦切角.证明如图,过点B作O的切线BG,则ABBG.又AD是O的切线,ADAB,BGAD,GBC=BDF.GBC=BEC,BEC=BDF.又CBE=DBF,BECBDF.BEBD=BCBF.BEBF=BCBD.7如图,ABC内接于O,AB=AC,直线MN切O于点C,弦BDMN,AC与BD相交于点E.求证:(1)ABEAC

10、D;(2)BE=BC.分析(1)由已知,得ABE=ACD,只需证明BAE=CAD,转化为证明BAE=CDB,CDB=DCN,DCN=CAD.(2)转化为证明BEC=ECB.证明(1)BDMN,CDB=DCN.又BAE=CDB,BAE=DCN.又直线MN是O的切线,DCN=CAD.BAE=CAD.又ABE=ACD,AB=AC,ABEACD.(2)EBC=BCM,BCM=BDC,EBC=BDC.CB=CD.BEC=EDC+ECD,ECD=ABE,BEC=EBC+ABE=ABC.又AB=AC,ABC=ECB.BEC=ECB.BE=BC.8如图,已知点P在O外,PC是O的切线,切点为C,直线PO与O相交于点A,B.(1)试探索BCP与P的数量关系.(2)若A=30,则PB与PA有什么关系?(3)A可能等于45吗?为什么?解(1)PC是切线,BCP=A.AB是直径,ACB=90.在ACP中,A+P+ACP=180,BCP+P+ACB+BCP=180.2BCP+P+90=180.P=90-2BCP.(2)若A=30,则BCP=A=30,ABC=60.P=30,PB=BC,BC=12AB.PB=13PA,即PA=3PB.(3)A不可能等于45.理由如下:设A=45,则ABC=45,BCP=45,CPAB,与题干中PC与AB交于点P矛盾,A不可能等于45.