2020-2021学年新教材高考数学 第一章 空间向量与立体几何 1 空间向量及其运算精讲（含解析）新人教A版选择性必修第一册.docx

1、空间向量及其运算考点一 概念的辨析【例1】（2020全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（ ）A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0D共线的单位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.【一隅三反】1（2020全国高二课时练习）在下列命题中：若向量共线，则所在的直线平行；若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；若三个向量两两共面

2、，则三个向量一定也共面；已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A2.（2020全国高二课时练习）在下列命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面

3、；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】A【解析】若、共线，则、所在的直线平行或重合；所以错；因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以错；若、三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此、三向量不一定共面；所以错；若三向量、共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以错.故选：A.考法二 空间向量的线性运算【例2】2020江西赣州.高二期中（理）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，所以，即.故选：B.【一隅三反】1（2020南

4、昌市八一中学）如图，空间四边形中，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，又因为，所以.故选：C2（2020宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.3（2019张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于（ ）A B C D【答案】C【解析】-，+（-）故选C考点三 空间向量的共面问题【例3】（2020全国高二）在下列条件中，使与，一定共面的是（ ）ABCD【答案】C【解析】对于A选项，由于，所以不能得出共面

5、.对于B选项，由于，所以不能得出共面.对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：C【一隅三反】1（2020全国高二）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t_【答案】【解析】P，A，B，C四点共面，且，解得.故答案为: 2（2020全国高二）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x_.【答案】【解析】已知且M，A，B，C四点共面，则 ，解得x=3（2019随州市第一中学高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）ABCD【答案】A【解析】因为空间四点共面，但任意

6、三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得.故选A4（2020全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量，求证：四点E，F，G，H共面【答案】证明见解析【解析】；EF/AB，且EF|k|AB；同理HG/DC，且HG|k|DC，ABDC；EF/HG，且EFHG；四边形EFGH为平行四边形；四点E，F，G，H共面.考点四 空间向量的数量积【例4】（2020全国高二课时练习）已知平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.（1）求AC的长；（如图所示）（2）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】（1）可得，+2（）42+32+

7、52+2（430+4）85故AC的长等于（2）由（1）可知，故（）（）又5故与的夹角的余弦值【一隅三反】1（2019宁夏贺兰县景博中学高二月考（理）平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60,且|=1,|=2,|=3,则|等于()A5B6C4D8【答案】A【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，=所以有=，于是有=25所以，答案选A2（2020延安市第一中学高二月考（理）四棱柱的底面为矩形，则的长为（ ）AB46CD32【答案】C【解析】由,.由底面为矩形得；，另；，,3（2020四川雨城雅安中学高二月考（理）若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为（ ）ABCD0【答案】D【解析】依题意空间四边形的四个面均为等边三角形，设棱长均为.而，则所以.故选：D4（2020全国高二课时练习）.平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，AB、BC的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线与AC所成的角.【答案】60【解析】如图所示.因为故因为ABBC，BB1AB，BB1BC，故故又故.而，故可得，又异面直线所成的角是锐角或直角，异面直线BA1与AC成60角.