2020-2021学年新教材高考数学 第一章 空间向量与立体几何 章末复习练习（含解析）新人教A版选择性必修第一册.docx

1、章末复习一、空间向量的概念及运算1空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础2向量的运算过程较为繁杂， 要注意培养学生的数学运算能力例1(1)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若xy()，则x_，y_.(2)(多选)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是()A.0B.0C.0D.答案(1)1(2)CD解

2、析(1)由题意知()，从而有x1，y.(2)因为0，所以C正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cos ASB，22cos CSD，而ASBCSD，于是，因此D正确，其余两个都不正确反思感悟空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy.跟踪训练1(1)在空间直角坐标系中，已知A(1，2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满

3、足|，则P点坐标为()A(3,0,0) B(0,3,0)C(0,0,3) D(0,0，3)答案C解析设P(0,0，z)，则有，解得z3.(2)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.求的长；求与夹角的余弦值解记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|.bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，cos，.二、利用空间向量证明位置关系1用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直

4、；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明2将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力例2在四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由(1)证明以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，(0,1,1)，平面PAD的一

5、个法向量为n(1,0,0)，n0，即n，又BM平面PAD，BM平面PAD.(2)证明由(1)知，(1,2,0)，(1,0，2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN平面PBD.设N(0，y，z)，则(1，y1，z1)，从而MNBD，MNPB，即N，在平面PAD内存在一点N，使MN平面PBD.反思感悟利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证)跟踪训练2在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)求证：ACBC1；(2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1平面CEB1.(1)证明在直三棱柱A

6、BCA1B1C1 中，因为AC3，BC4，AB5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)因为(3,0,0)，(0，4,4)，所以0，所以，即ACBC1.(2)解假设在AB上存在点E，使得AC1平面CEB1，设t(3t，4t，0)，其中0t1.则E(33t，4t，0)，(33t，4t4，4)，(0，4，4)又因为mn成立，所以m(33t)3，m(4t4)4n0，4m4n4，解得t.所以在AB上存在点E，使得AC1平面CEB

7、1，这时点E为AB的中点三、利用空间向量计算距离1空间距离的计算思路(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为a，则点P到直线l的距离为 (如图)(2)设平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点，则点P到平面的距离为(如图)2通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力例3在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，若棱长ACCDADAB1，且BAD30，求点D到平面ABC的距离解如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM平面ACD交AB于M，以直线O

8、M为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，D，设n(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则yx，zx，可取n(，1,3)，代入d ，得d，即点D到平面ABC的距离是.反思感悟利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可跟踪训练3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为()A. B. C. D.答案B解析以点A为原点，分别以直线AB，AD，AA1 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，易知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，则向量，(1,0,0). 则点P到直

9、线AB的距离为.四、利用空间向量求空间角1空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的夹角满足sin |cosm，n|.(3)设n1，n2分别是两个平面，的法向量，则两平面，夹角满足cos |cosm，n|.2通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力例4如图，在长方体AC1中，ABBC2，AA1，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建

10、立空间直角坐标系试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF和BE所成的角；(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值解(1)由题意得A(2,0,0)，F，B(2,2,0)，E(1,1，)，C(0,2,0)，(1，1，)，1210.直线AF和BE所成的角为90.(2)设平面BEC的法向量为n(x，y，z)，又(2,0,0)，(1，1，)，则n2x0，nxyz0，x0，取z1，则y，平面BEC的一个法向量为n(0，1)cos，n.设直线AF和平面BEC所成的角为，则sin ，即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.反思感悟(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建

11、立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标(2)直线和平面所成的角、两个平面的夹角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、利用平面的法向量跟踪训练4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，PAPD，AB4.(1)求平面BDP与平面PAD的夹角的大小；(2)若M是PB的中点，求直线MC与平面BDP所成角的正弦值解(1)取AD的中点O，设ACBDE，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD，又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为四边形ABCD是正方形，所以OEAD，如图，建立

12、空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面BDP的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z.于是n(1,1，)平面PAD的法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p.所以平面BDP与平面PAD的夹角为.(2)由题意知M，C(2,4,0)，.设直线MC与平面BDP所成的角为，则sin |cosn，|.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.1.(2019全国改编)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E是棱AA1的中点，BEEC1，求平面BEC和平面ECC1夹角的余弦值解以点B为坐标原点，以

13、， 分别为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设BCa，BB1b，则B(0,0,0)，C(a，0,0)，C1(a，0，b)，E ，因为BEEC1 ，所以0(a，a，)0a20b2a ，所以E(0，a，a) ，(a，a，a)，(0,0,2a)，(0，a，a) ，设m(x1，y1，z1) 是平面 BEC 的法向量，所以m(0,1，1) ，设n(x2，y2，z2) 是平面 ECC1 的法向量，所以n(1,1,0) ，所以平面BEC和平面ECC1夹角的余弦值为.2(2019天津改编)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC ，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面

14、 ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值(1)证明依题意，可以建立以A为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)设CFh(h0)，则F(1,2，h)依题意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线 BF 平面 ADE ，所以 BF平面 ADE .(2)解由(1)得(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)，设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2,1)，因此有cos，n .所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.