2020-2021学年新教材高考数学 第九章 平面解析几何 9 第3课时 考点2 定值问题练习(含解析)(选修2).docx
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考点2 定值问题(2018北京卷(理)已知抛物线C:y22px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,QMQO,QNQO,求证:11为定值【解析】(1)因为抛物线y22px过点(1,2),所以2p4,即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0),由y24x,ykx1,得k2x2(2k4)x10.依题意知(2k4)24k210,解得k0或0k1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,2)从而k3.所以直线l的斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知x1x22k-4k2,x1x21k2.直线PA的方程为y2y1-2x1-1(x1),令x0,得点M的纵坐标为yM-y1+2x1-12-kx1+1x1-12.同理得点N的纵坐标为yN-kx2+1x2-12.由QMQO,QNQO,得1yM,1yN.所以1111-yM11-yNx1-1(k-1)x1x2-1(k-1)x21k-12x1x2-(x1+x2)x1x21k-12k2+2k-4k21k22.所以11为定值【答案】见解析
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