2020-2021学年新教材高考数学 第二课时 函数的最大（小）值练习（含解析）（选修2）.docx

1、第2课时函数的最大(小)值基础过关练题组一函数最大(小)值的概念及其求解1.设f(x)是区间a,b上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是()A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在区间a,b上可能没有极值点D.f(x)在区间a,b上可能没有最值点2.(2020北京清华附中高二下期末)函数f(x)=xex的最小值是()A.-1B.-eC.-1eD.不存在3.(2020浙江杭州六校高二下期中)已知函数f(x)=x3-12x,x-3,3,则f(x)的最大值为()A.-9B.-16C.16D.94.如图是函数y=f(x)在区间a,b上的图象,写出

2、函数的极大值、极小值、最大值和最小值.5.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)求函数f(x)=x3-12x+6,x-3,3的单调区间,并求函数f(x)的最值.题组二含参函数的最大(小)值问题6.若函数f(x)=asinx+13sin3x在x=3处有最大(小)值,则a等于()A.2B.1C.233D.07.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m0)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m的取值范围是 ()A.(0,3)B.(-3,0)C.(-,-3)D.(3,+)8.已知函数y=ax2x-1(x1)有最大值-4,则a的值为()A.1B.-1C.4D.-49.(2020浙江杭州高二下期中)函数f

3、(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为.10.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间0,2上的最大值.题组三利用函数的最大(小)值解决不等式问题11.已知函数f(x)=x2-2lnx,若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m0成立,则实数m的最小值是()A.2B.-2C.1D.-112.已知函数f(x)=lna+lnxx在区间1,+)上为减函数,则实数a的取值范围为.13.设函数f(x)=lnx-x+1.(1)求函数f(x)的极值;(2)证明:lnxx-1.14.已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)的最小值;(2)若对任意x1,都有

4、f(x)ax-1,求实数a的取值范围.题组四利用导数解决生活中的优化问题15.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y1=17x2(x0),生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y2=2x3-x2(x0),要使利润最大,则该产品应生产()A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台16.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料,若以每吨M元零售,销量N(单位:吨)与零售价M(单位:元)有如下关系:N=8300-170M-M2,则该批材料零售价定为元时利润最大,利润的最大值为元.17.时下,网校教学越来越受广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习的一种

5、方式.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式:y=mx-2+4(x-6)2,其中2x6,m为常数,已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值;(2)假设网校的员工工资、办公费用等所有开销折合为每套题2元(只考虑售出的套题).试确定销售价格x为何值时,网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)18.将一块2m6m 的矩形钢板按如图所示的方式划线,要求至全为矩形,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以为底,为盖的水箱,设水箱的高为xm,容积为ym3.(1)写出y关于x的函数关系式;(2)当x取何值时,水箱的容积最大?能力提

6、升练题组一函数最值问题的求解与应用1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)若直线l:x=a与函数f(x)=x2+1,g(x)=12lnx的图象分别交于点P、Q,当P、Q两点距离最近时,a=()A.52B.22C.1D.122.(2020重庆七校联盟高二上期末联考,)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如下表:x-1045f(x)1221y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示:给出下列关于函数f(x)的命题:函数y=f(x)是周期函数;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a0)在1,+)上的最大值为33,则a的值

7、为()A.3-1B.34C.43D.3+16.(2019吉林高二期末,)函数f(x)=ax4-4ax3+b(a0),x1,4,f(x)的最大值为3,最小值为-6,则ab=.7.()已知函数f(x)=-2a2lnx+12x2+ax(aR).(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当a0,恒有lnxpx-1(p0),则p的取值范围是()A.(0,1B.(1,+)C.(0,1)D.1,+)9.()已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12x-m,若x10,3,x21,2,使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是()A.14,+

8、B.-,14C.12,+D.-,-1210.(多选)()定义在R上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得f(x)g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,下列命题中正确的是()A.函数g(x)=-2是函数f(x)=lnx,x0,1,x0的一个承托函数B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sinx的一个承托函数C.若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是0,eD.值域是R的函数f(x)不存在承托函数11.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=sinx-1,g(x)=a2lnx-x,若对任意x

9、1R都存在x2(1,e)使f(x1)-1.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(3)若f(x)12x2+x+b对任意xR恒成立,求b-a的最大值.题组四利用导数解决生活中的优化问题13.()某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R(元)与年产量x(万吨)的关系是R(x)=400x-12x2,0x400,80000,x400,则总利润最大时,年产量是()A.100万吨B.150万吨C.200万吨D.300万吨14.()现有一个帐篷,它下部分的形状是高为1m的正六棱柱

10、,上部分的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时,帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为()A.1mB.32mC.2mD.3m15.()某厂生产x件某种产品的总成本为c(x)=1200+275x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为件时,总利润最大.16.(2019山东泰安高三上期中,)如图,AOB是一块半径为r的扇形空地,BOG=6,AOB=2.某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE及一矩形停车场EFGH,剩余的地方进行绿化.设AOD=.(1)记活动场地与停车场占地总面积为f(),求f()的表达式;(2)

11、当cos为何值时,可使活动场地与停车场占地总面积最大?答案全解全析基础过关练1.C根据函数的极值与最值的概念知,选项A,B,D都不正确.故选C.2.C由题意得,f(x)=ex+xex=(1+x)ex.令f(x)=0,得x=-1.当x-1时,f(x)-1时,f(x)0,f(x)单调递增.因此f(x)在x=-1处取得极小值也是最小值,且最小值为f(-1)=-1e.故选C.3.C由题意得,f(x)=3x2-12,令f(x)=0,解得x=2,易知f(x)在-3,-2上单调递增,在-2,2上单调递减,在2,3上单调递增,又f(-2)=16,f(3)=-9,所以f(x)的最大值为16,故选C.4.解析由题

12、图可知y=f(x)在x1,x3处取极小值,在x2处取极大值,所以极小值为f(x1),f(x3),极大值为f(x2);比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在b处取得,最大值为f(b).5.解析依题意得f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 令f(x)=0,得x=-2或x=2,列表如下:x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3f(x)+0-0+f(x)1522-10-3所以函数f(x)在(-3,-2)和(2,3)上是增函数,在(-2,2)上是减函数,且函数f(x)的最大值是22,最小值是-10.6.Af(x)在x=3处有最大(小)值,x=3是函数f(x)的极值点

13、.又f(x)=acosx+cos3x(xR),f3=acos3+cos=0,解得a=2.7.A由题得f(x)=-3x2+2mx,令f(x)=0,得x=2m3或x=0(舍去),因为f(x)在区间(0,2)内的极大值为最大值,所以2m3(0,2),即02m32,所以0m3.8.B依题意得y=ax2x-1=2ax(x-1)-ax2(x-1)2=ax2-2ax(x-1)2=a1-1(x-1)2,令y=0,解得x=2或x=0(舍去).若函数在区间(1,+)上有最大值-4,则最大值必然在x=2处取得,所以4a1=-4,解得a=-1,此时y=-x(x-2)(x-1)2,当1x0,当x2时,y0,可以验证当x

14、=2时y取得最大值-4,故选B.9.答案(0,1)解析由题意得,f(x)=3x2-3a,令f(x)=0,得x2=a.x(0,1),要使f(x)在(0,1)内有最小值,只需0a1,即0a1.当0xa时,f(x)0,当ax0,可以验证当x=a时f(x)取得最小值,故a的取值范围是(0,1).10.解析由题意得,f(x)=3x2-2ax.令f(x)=0,得x=0或x=2a3.当2a30,即a0时,f(x)在0,2上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a.当2a32,即a3时,f(x)在0,2上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0.当02a32,即0a3时,f(x)在0,2a3上单调递

15、减,在2a3,2上单调递增,从而f(x)max=8-4a(0a2),0(2a2).11.C由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-2x.令f(x)=0,得x=1或x=-1(舍).当x(0,1)时,f(x)0.所以当x=1时,f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为1.由题意知m1,因此实数m的最小值为1.12.答案e,+)解析由题意得,f(x)=1xx-(lna+lnx)x2=1-(lna+lnx)x2.因为f(x)在1,+)上为减函数,所以f(x)0在1,+)上恒成立,即lna1-lnx在1,+)上恒成立,令g(x)=1-lnx,易知函数g(x)=1-lnx在区间1,+

16、)上单调递减,所以g(x)max=g(1)=1,故lna1,即ae.13.解析(1)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-1=1-xx,令f(x)=0,得x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)f(x)+0-f(x)极大值因此,当x=1时,函数f(x)有极大值,且极大值为f(1)=0.(2)证明:由(1)可知函数f(x)在x=1处取得最大值,且最大值为0.即f(x)=lnx-x+10,得 lnxx-1.14.解析(1)易知f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1+lnx.令f(x)0,解得x1e,令f(x)0,解得0x0),y=-

17、6x2+36x=-6x(x-6).令y=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点,应生产6千台该产品.16.答案30;23000解析设该商品的利润为y元,由题意知,y=N(M-20)=-M3-150M2+11700M-166000,则y=-3M2-300M+11700,令y=0,得M=30或M=-130(舍去),当M(0,30)时,y0,当M(30,+)时,y0,因此当M=30时,y取得极大值,也是最大值,且ymax=23000.17.解析(1)由题意知当x=4时,y=21,代入y=mx-2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)设每

18、日销售套题所获得的利润为f(x)元.由(1)可知,套题每日的销售量y=10x-2+4(x-6)2,2x6,所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2x6),则f(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函数f(x)单调递增;当x103,6时,f(x)0,函数f(x)单调递减,所以x=103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=1033.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.18.解

19、析(1)由水箱的高为xm,得水箱底面的宽为(2-2x)m,长为6-2x2=(3-x)m.故水箱的容积y=(2-2x)(3-x)x=2x3-8x2+6x(0x1).(2)由(1)得y=6x2-16x+6,令y=0,解得x=4+73(舍去)或x=4-73,所以y=2x3-8x2+6x(0x0),则h(x)=2x-12x=4x2-12x,令h(x)=0,得4x2-1=0,解得x=12(负值舍去).当x在(0,+)上变化时,h(x)与h(x)的变化情况如下表:x0,121212,+h(x)-0+h(x)极小值因此,当|PQ|最小时a的值为12,故选D.2.A由函数f(x)的定义域为-1,5,知函数y=

20、f(x)不是周期函数,故错误;由题图知在0,2上f(x)0,故f(x)在0,2上单调递减,故正确;依题意可画出函数f(x)的大致图象如图所示:如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为5,故错误;当x=2时,f(2)的值不确定,故1a2时,函数y=f(x)-a的零点个数不确定,故错误.故选A.3.解析(1)由题意得,f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)0,解得x3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).因为在(-1,3)上f(x)0,所以f

21、(x)在-1,2上单调递增.又f(x)在-2,-1上单调递减,所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.4.D函数f(x)=13x3+x2-1的导函数为f(x)=x2+2x,令f(x)=0,得x=-2或x=0,故f(x)在(-,-2),(0,+)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,则x=0为极小值点,x=-2为极大值点.由f(x)在区间(m,m+3)上存在最小值,可得m0m+3,解得-3m-1=f(0),因

22、此实数m的取值范围是(-3,0),故选D.5.A由f(x)=xx2+a得,f(x)=a-x2(x2+a)2,当a1时,若xa,则f(x)0,f(x)单调递减,若1x0,f(x)单调递增,故当x=a时,函数f(x)有最大值12a=33,得a=341,不符合题意.当a=1时,函数f(x)在1,+)上单调递减,最大值为f(1)=12,不符合题意.当0a0),x1,4,f(x)=4ax3-12ax2,令4ax3-12ax2=0,解得x=0或x=3,f(1)=b-3a,f(3)=b-27a,f(4)=b,且a0,b-27ab-3a0).若a=0,则f(x)=x0,f(x)的单调递增区间为(0,+).若a

23、0,当x(0,-2a)时,f(x)0,f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+).若a0,当x(0,a)时,f(x)0,f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+).(3)由(2)知,当a0时,f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+).当-2a1,即-12a0时,f(x)在1,e上单调递增,则f(x)min=f(1)=12+a;当1-2ae,即-e2a-12时,f(x)在(1,-2a)上单调递减,在(-2a,e)上单调递增,则f(x)min=f(-2a)=-2a2ln(-2a);当-2ae,即a-e2时,f(x)在1,e上单

24、调递减,则f(x)min=f(e)=-2a2+e22+ae.综上,f(x)min=12+a,-12a0,-2a2ln(-2a),-e2a0时,f(x)=lnx(-,+),f(x)g(x)=-2对一切实数x不一定都成立,故A错误.令t(x)=f(x)-g(x),则t(x)=x+sinx-(x-1)=sinx+10恒成立,函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sinx的一个承托函数,故B正确.令h(x)=ex-ax,则h(x)=ex-a,若a=0,由题意知,结论成立.若a0,令h(x)=0,得x=lna,函数h(x)在(-,lna)上为减函数,在(lna,+)上为增函数,当x=lna时,函数h(

25、x)取得极小值,也是最小值,为a-alna,g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,a-alna0,lna1,0ae.若a0,当x-时,h(x)-,故不成立.综上,当0ae时,函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,故C正确.不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,则f(x)-g(x)=10恒成立,故g(x)=2x-1是f(x)=2x的一个承托函数,故D错误.故选BC.11.答案(2e,+)解析因为对任意x1R都存在x2(1,e)使f(x1)g(x2)成立,所以f(x)max0,此时lnx0,所以a0,因此问题可转化为存在x(1,e),使2alnxx成立,设h(x)=

26、lnxx,则2a0,h(x)单调递增,所以h(x)h(e)=1e,即2a2e,所以实数a的取值范围是(2e,+).解题模板易错警示分离参数求解不等式恒成立问题的步骤:12.解析(1)当a=0时,f(x)=ex+12x2,则f(x)=ex+x, 所以f(0)=1,f(0)=1.所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为x-y+1=0.(2)当a=1时,f(x)=ex-x+12x2,则f(x)=ex-1+x.因为f(0)=0,且f(x)=ex-1+x在(-,+)上单调递增,所以当x0时,f(x)0,f(x)单调递增,当x0时,f(x)-1).当x变化时,g(x)与g(x)的变化情况如下表

27、所示:x(-,ln(a+1)ln(a+1)(ln(a+1),+)g(x)-0+g(x)极小值所以g(x)在(-,ln(a+1)上单调递减,在(ln(a+1),+)上单调递增.所以函数g(x)的最小值为g(ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b.由题意,得g(ln(a+1)0,即 b-a1-(a+1)ln(a+1).设h(x)=1-xlnx(x0),则h(x)=-lnx-1.因为当0x0;当x1e时,-lnx-1400,即f(x)=300x-12x2-20000,0x400,60000-100x,x400,所以f(x)=300-x,0x400,-100,x400,当0x400时

28、,令f(x)=0,得x=300,由f(x)0得3000得0x400时,f(x)是减函数,f(x)60000-100400=20000,当x=300时,f(x)有最大值.故选D.14.C设OO1为xm,则1x4,设底面正六边形的面积为Sm2,帐篷的体积为Vm3.则由题设可得,正六棱锥底面边长为32-(x-1)2=8+2x-x2(m),于是S=634(8+2x-x2)2=332(8+2x-x2),所以V=13332(8+2x-x2)(x-1)+332(8+2x-x2)=32(8+2x-x2)(x-1)+3=32(16+12x-x3)(1x4),则V=32(12-3x2).令V=0,解得x=2或x=-2(舍去).当1x0,V单调递增;当2x4时,V0.设总利润为y万元,则y=500xx-1200-275x3=500x-275x3-1200,则y=250x-225x2.令y=0,得x=25.故当0x0;当x25时,y0,f()单调递增;当0,3时,f()0,f()单调递减,当=0时,f()取得最大值,即cos=1+338时,可使活动场地与停车场占地总面积最大.