2020-2021学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.docx

1、柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B.C.2D.4解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)(a+b)2,即(a+b)24,所以-2a+b2(当且仅当a=1,b=1或a=-1,b=-1时,等号成立),即a+b的最大值为2.答案C2.已知=2,x,y0,则x+y的最小值是()A.B.C.D.5解析由=2,可得x+y=(2+3)2=.当且仅当,即x=5,y=时等号成立.答案A3.已知3x+2y=1,则当x2+y2取最小值时,实数x,y的值为()A.B.C.D.解析因为x2+y2=(x2+y2)(32+22)(3x+2y

2、)2=,所以当x2+y2有最小值,当且仅当时,等号成立,得答案A4.函数y=+2的最大值是()A.B.C.3D.5解析根据柯西不等式,知y=1+2,当且仅当=2,即x=时,等号成立.答案B5.已知m2+n2=,则m+2n的最大值为()A.B.C.D.6解析由柯西不等式可得(m2+n2)()2+22(m+2n)2,即6(m+2n)2,则m+2n,故m+2n的最大值为.答案B6.导学号26394051若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为()A.2RB.2RC.4RD.4R解析如图,设圆内接长方形ABCD的长为x,则宽为,于是ABCD的周长l=2(x+)=2(1

3、x+1).由柯西不等式得l2x2+()2(12+12=22R=4R,当且仅当x1=1,即x=R时,等号成立.此时R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为4R.答案D7.若3x+4y=2,则x2+y2的最小值为.解析由柯西不等式(x2+y2)(32+42)(3x+4y)2,得25(x2+y2)4,所以x2+y2.解方程组因此,当x=,y=时,x2+y2取得最小值,最小值为.答案8.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,则P与Q的大小关系是.解析P=Q当且仅当时,等号成立.答案PQ9.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(b

4、m+an)的最小值为.解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,可得(am+bn)(bm+an)()2=mn(a+b)2=2,即(am+bn)(bm+an)的最小值为2.答案210.函数y=的最大值为.解析y=,y=1当且仅当,即x=时等号成立.答案11.已知a,bR+,且a+b=1,则的最小值是.解析因为a,bR+,且a+b=1,所以=(a+b),由柯西不等式得(a+b),当且仅当,且a+b=1,即a=-1,b=2-时,取最小值.答案12.已知a,b,c为正数,且满足acos2+bsin2c,求证cos2+sin2.证明由柯西不等式得cos2+sin2=,故不等式成立.1

5、3.设a,bR+,且a+b=2.求证2.证明由柯西不等式,有(2-a)+(2-b)=()2+()2=(a+b)2=4.则=2.故原不等式成立.14.导学号26394052已知x2+y2=2,且|x|y|,求的最小值.解令u=x+y,v=x-y,则x=,y=.x2+y2=2,(u+v)2+(u-v)2=8,u2+v2=4.由柯西不等式,得(u2+v2)4,当且仅当u2=v2=2,即x=,y=0,或x=0,y=时,的最小值是1.15.导学号26394053求函数y=的最小值.解y=,根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2(x-1)2+2+(3-x)2+5+2(x-1)(3-x)+=(x-1)+(3-x)2+()2=11+2.当且仅当(x-1)=(3-x),即x=时,等号成立.此时ymin=+1.