2020-2021学年高中数学 第五章 数列 习题课—等比数列习题课课后习题（含解析）新人教B版选择性必修第三册.docx

1、第五章数列习题课等比数列习题课课后篇巩固提升基础达标练1.(2020济南高二月考)等比数列an中,a1+a3=10,a4+a6=54,则数列an的通项公式为()A.an=24-nB.an=2n-4C.an=2n-3D.an=23-n解析等比数列an中,a1+a3=10,a4+a6=54,由等比数列通项公式可得a1+a1q2=10,a1q3+a1q5=54,两式相除可得q3=18,即q=12,代入可求得a1=8=23,所以an=2312n-1=24-n.答案A2.等比数列an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4等于()A.7B.8C.15D.16解析设等比数列的

2、公比为q,则由4a1,2a2,a3成等差数列,得4a2=4a1+a3,4a1q=4a1+a1q2.q2-4q+4=0.q=2.S4=15.答案C3.已知在等比数列an中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是()A.(-,-1B.(-,0)(1,+)C.3,+)D.(-,-13,+)答案D4.已知等比数列an的前n项和为Sn,且S1,S2+a2,S3成等差数列,则数列an的公比为()A.1B.2C.12D.3解析因为S1,S2+a2,S3成等差数列,所以2(S2+a2)=S1+S3,2(a1+a2+a2)=a1+a1+a2+a3,a3=3a2,q=3.选D.答案D5.等差数列an的前n项和为

3、Sn,S5=15,S9=18,在等比数列bn中,b3=a3,b5=a5,则b7的值为()A.23B.43C.2D.3解析在等差数列an中,由5a1+10d=15,9a1+36d=18,得a3=3,a5=2.于是b3=3,b5=2,所以b7=b52b3=43.答案B6.(多选)(2020江苏苏州实验中学高二月考)已知等差数列an的首项为1,公差d=4,前n项和为Sn,则下列结论成立的有()A.数列Snn的前10项和为100B.若a1,a3,am成等比数列,则m=21C.若i=1n1aiai+1625,则n的最小值为6D.若am+an=a2+a10,则1m+16n的最小值为2512解析由已知,可得

4、an=4n-3,Sn=2n2-n,Snn=2n-1,则数列Snn为等差数列,则前10项和为10(1+19)2=100.所以A正确;a1,a3,am成等比数列,则a32=a1am,am=81,即am=4m-3=81,解得m=21,故B正确;因为1aiai+1=1414i-3-14i+1,所以i=1n1aiai+1=141-15+15-19+14n-3-14n+1=n4n+1625,解得n6,故n的最小值为7,故选项C错误;由等差数列的性质可知m+n=12,所以1m+16n=1121m+16n(m+n)=1121+nm+16mn+16112(17+24)=2512,当且仅当nm=16mn时,即n=

5、4m=485时取等号,因为m,nN+,所以等号不成立,故选项D错误.故选AB.答案AB7.已知an是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=.解析设an的公比为q,则a4=a2q2,a3=a2q.所以a4-a3=a2q2-a2q=4,又a2=2,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.又an为递增数列,所以q=2.答案28.已知各项不为0的等差数列an满足2a2-a62+2a10=0,首项为18的等比数列bn的前n项和为Sn,若b6=a6,则S6=.解析2a2-a62+2a10=0,4a6=a62.a60,a6=4.b6=4.又bn的首项b1=18,q5=b6b1=32.

6、q=2.S6=18-421-2=638.答案6389.等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求an的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.解(1)由题意得a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),a10,2q2+q=0.又q0,q=-12.(2)由已知可得a1-a1-122=3,故a1=4,Sn=41-12n1-12=831-12n.10.已知数列an,用a1,a2,a3,an,构造一个新数列a1,(a2-a1),(a3-a2),(an-an-1),此数列是首项为1,公比为13的等比数列.求:(1)数列an的通项;(2)数列an的前n项和Sn.解(1

7、)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+13+132+13n-1=1-13n1-13=321-13n.(2)Sn=a1+a2+a3+an=321-13+321-132+321-133+321-13n=32n-131+13+132+13n-1=32n-121-13n1-13=32n-341-13n=34(2n-1)+1413n-1.能力提升练1.已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,则Snan=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1解析a1+a3=52,a2+a4=54,a1+a1q2=52,a1q+a1q3=54,得

8、1+q2q+q3=2,解得q=12.代入得a1=2,an=212n-1=42n,Sn=21-12n1-12=41-12n,Snan=41-12n42n=2n-1,故选D.答案D2.数列an满足a1=1,对任意的nN+都有an+1=a1+an+n,则1a1+1a2+1a2020=()A.40382021B.20192020C.40382019D.40402021解析由an+1=a1+an+n,得an+1-an=n+1,所以a2-a1=2,a3-a2=3,an-an-1=n(n2),上述(n-1)个式子相加得an-a1=2+3+n,所以an=1+2+3+n=n(n+1)2,当n=1时,a1=1满足

9、上式,所以an=n(n+1)2(nN+),所以1an=2n(n+1)=21n-1n+1,所以1a1+1a2+1a3+1a2020=21-12+12-13+12020-12021=21-12021=40402021.故选D.答案D3.如图,已知点D为ABC的边BC上一点,BD=3DC,En(nN+)为边AC上的动点,满足EnA=14an+1EnB-(3an+2)EnD.实数列an中,an0,a1=1,则an的通项公式为()A.32n-1-2B.2n-1C.3n-2D.23n-1-1解析因为BD=3DC,EnC=EnB+4DC,又DC=DEn+EnC,所以EnC=-13EnB+43EnD.设mEn

10、C=EnA,则由EnA=14an+1EnB-(3an+2)EnD,得-13m=14an+1,43m=-(3an+2),所以14an+1=14(3an+2),所以an+1+1=3(an+1).因为a1+1=2,所以数列an+1是以2为首项,3为公比的等比数列,所以an+1=23n-1,所以an=23n-1-1.故选D.答案D4.数列an的前n项和为Sn,已知a1=15,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Snt恒成立,则实数t的最小值为.解析令m=1,则an+1an=a1,由a1=15,知an+1=15an,an是以a1为首项,15为公比的等比数列.an=15n,Sn=15-15n+

11、11-15=141-15n=14-145n14.由SnSn的最大值,可知t的最小值为14.答案145.设an是公比为q的等比数列,|q|1,令bn=an+1(n=1,2,),若数列bn有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中,则6q=.解析由题意知,数列bn有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中,说明an有连续四项在集合-54,-24,18,36,81中,由于an中连续四项至少有一项为负,q1,an的连续四项为-24,36,-54,81,q=36-24=-32,6q=-9.答案-96.(2020南昌高三月考)已知等比数列an的前n项和为Sn,且Tn=a1a2a3a4an,

12、若a7=2,a10=16,则满足SnTn的最大正整数n的值为.解析根据题意,a7=2,a10=16,q=2,所以an=2n-6.记Sn=a1+a2+an=132(1-2n)1-2=2n-132,Tn=a1a2an=2-52-42n-6=2n(n-11)2,由题意SnTn,即2n-1252n(n-11)2,2n-12n(n-11)2+5=2n2-11n+102,2n-2n2-11n+1021,因此只需nn2-11n+102,n2-13n+100,13-1292nan,a1a10=160,a3+a8=37.(1)求数列an的通项公式;(2)若从数列an中依次取出第2项,第4项,第8项,第2n项,按

13、原来的顺序组成一个新数列bn,求Sn=b1+b2+bn.解(1)等差数列an中,an+1an,a1+a10=a3+a8=37,则a1a10=160,a1+a10=37,解得a1=5,a10=32.d=32-510-1=3.an=5+(n-1)3=3n+2.(2)由(1)知,b1=a2=32+2,b2=a4=34+2,bn=a2n=32n+2,Sn=b1+b2+bn=(32+2)+(34+2)+(32n+2)=3(2+4+2n)+2n=32-2n+11-2+2n=32n+1-6+2n=62n+2n-6.8.设数列an满足:a1=1,an+1=3an,nN+.设Sn为数列bn的前n项和,已知b10

14、,2bn-b1=S1Sn,nN+.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=bnlog3an,求数列cn的前n项和Tn;(3)证明对任意nN+,且n2,有1a2-b2+1a3-b3+1an-bn32.(1)解an+1=3an,an是公比为3,首项为a1=1的等比数列,通项公式为an=3n-1.2bn-b1=S1Sn,当n=1时,2b1-b1=S1S1,S1=b1,b10,b1=1.当n2时,bn=Sn-Sn-1=2bn-2bn-1,bn=2bn-1,bn是公比为2,首项为b1=1的等比数列,通项公式为bn=2n-1.(2)解cn=bnlog3an=2n-1log33n-1=(n-1)2n

15、-1,Tn=020+121+222+(n-2)2n-2+(n-1)2n-1,2Tn=021+122+223+(n-2)2n-1+(n-1)2n,-得-Tn=020+21+22+23+2n-1-(n-1)2n=2n-2-(n-1)2n=-2-(n-2)2n,Tn=(n-2)2n+2.(3)证明当n2时,1an-bn=13n-1-2n-1=133n-2-2n-1=13n-2+2(3n-2-2n-2)13n-2,1a2-b2+1a3-b3+1an-bn130+131+13n-2=1-13n-11-13=321-13n-132.素养培优练设数列an的前n项和为Sn,nN+.已知a1=1,a2=32,a

16、3=54,且当n2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值;(2)证明an+1-12an为等比数列;(3)求数列an的通项公式.分析(1)令n=2可得a4的值;(2)先将4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n2)转化为4an+2+an=4an+1,再利用等比数列的定义可证an+1-12an是等比数列;(3)先由(2)得数列an+1-12an的通项公式,再将数列an+1-12an的通项公式转化为数列an12n是等差数列,进而可得数列an的通项公式.(1)解当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即41+32+54+a4+51+32=81+32+54+1,解得a4=7

17、8.(2)证明4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n2),4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n2),即4an+2+an=4an+1(n2).当n=1时,4a3+a1=454+1=6=4a2,当n=1时,4an+2+an=4an+1成立.an+2-12an+1an+1-12an=4an+2-2an+14an+1-2an=4an+1-an-2an+14an+1-2an=2an+1-an2(2an+1-an)=12,数列an+1-12an是以a2-12a1=1为首项,以12为公比的等比数列.(3)解由(2),知数列an+1-12an是以a2-12a1=1为首项,以12为公比的等比数列,an+1-12an=12n-1,即an+112n+1-an12n=4,数列an12n是以a112=2为首项,以4为公差的等差数列,an12n=2+(n-1)4=4n-2,即an=(4n-2)12n=(2n-1)12n-1,数列an的通项公式是an=(2n-1)12n-1.