2020-2021学年高中数学 第六章 计数原理 习题课—排列与组合的综合应用课后习题（含解析）新人教A版选择性必修第三册.docx

1、第六章计数原理习题课排列与组合的综合应用课后篇巩固提升基础达标练1.C30+C41+C52+C63+C2017的值为()A.C213B.C203C.C204D.C214解析C30+C41+C52+C63+C2017=C40+C41+C52+C63+C2017=C51+C52+C63+C2017=C62+C63+C2017=C2016+C2017=C2117=C214.答案D2.(2020天津一中高二期末)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第四位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A.12种B.18种C.36种D.54

2、种解析由于节目甲必须排在第四位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,则节目乙可放在第二、三、五个位置中的任何一个位置,其他节目任意排列.由分步乘法计数原理可知,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有C31A33=18(种).故选B.答案B3.(2020辽宁庄河高中高二月考)安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去1个社区,要求每个社区至少有1名学生进行志愿服务,则不同的安排方式共有()A.360种B.300种C.150种D.125种解析5名学生分成3组,每组至少1人,有3,1,1和2,2,1两种情况.3,1,1:分组共有C53C21A22=10(种)分法,再分配到3个社区,共有10

3、A33=60(种)不同的安排方式;2,2,1:分组共有C52C32A22=15(种)分法,再分配到3个社区,共有15A33=90(种)不同的安排方式.综上所述,共有60+90=150(种)不同的安排方式.故选C.答案C4.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车,但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是()A.152B.126C.90D.54解析按从事司机工作的人数进行分类.有1人从事司机工作,不同的安排方案有C31C42A33(或C31C31C42A22)=108(种)

4、;有2人从事司机工作,不同的安排方案有C32A33=18(种).所以不同安排方案的种数是108+18=126.答案B5.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学选修4门,共有种不同的选修方案.解析分两类:第1类,从A,B,C中选1门,从另6门中选3门,共有C31C63种选法;第2类,从6门中选4门有C64种选法.故共有C31C63+C64=75(种)不同的选修方案.答案756.绍兴臭豆腐闻名全国,一外地游客来绍兴旅游,买了两串臭豆腐,每串3颗(如图).规定:每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃,且两串可以自由交替吃.请问:该游客将这两串臭豆腐吃

5、完,有种不同的吃法.解析总共要吃6口,选3口给第一串的3颗臭豆腐,顺序不变,剩下的3口给第二串,顺序不变,因此不同吃法共有C63C33=20(种).答案207.把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为.解析先将票分为符合条件的4份,由题意,4人分5张票,且每人至少一张,至多两张,则三人每人一张,一人2张,且分得的票必须是连号,相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开,分为四部分且不存在三连号.在4个空位插3个板子,共有C43=4(种)情况,再对应到4个人,有A44=24(种)情况,则共

6、有424=96(种)不同的分法.答案968.某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种.(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种?(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种?(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种? 解(1)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件,有C201C152=2100(种)不同的取法.所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种.(2)选取2件假货有C201C152种,选取3件假货有C153种,共有C201C152+C153=2555(种)不同的取法.(3)任意选取3件的种数为C353,因此符合题意的选取方式有C353-

7、C153=6090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.9.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定担任语文科代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表;(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.解(1)先选后排,可以是2女3男,也可以是1女4男,先选有(C53C32+C54C31)种情况,后排有A55种情况,则符合条件的选法数为(C53C32+C54C31)A55=5400.(2)除去该女生后,先选后排,则符合条件的选法数为C74A44=

8、840.(3)先选后排,但先安排该男生,则符合条件的选法数为C74C41A44=3360.(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C63种情况,再安排该男生有C31种情况,选出的3人全排有A33种情况,则符合条件的选法数为C63C31A33=360.能力提升练1.将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中将标号为1,2的卡片放入同一信封中,则不同的放法共有()A.12种B.18种C.36种D.54种解析先将1,2捆绑后放入信封中,有C31种方法,再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中,有C42C22种方法,所以共有C31C42C22=18(种)方法

9、.答案B2.如果把个位数是1,且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有()A.9个B.3个C.12个D.6个解析当重复数字是1时,有C31C31个“好数”;当重复数字不是1时,有C31个“好数”.由分类加法计数原理,得“好数”有C31C31+C31=12(个).答案C3.(多选)(2020江苏扬州中学高二月考)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车,将它们全部派往3个工地进行作业,每个工地至少派一辆工程车,共有多少种方式?下列结论正确的有()A.18B.C31C21C11C31C.C31C42A22D.C42

10、A33解析根据捆绑法得到共有C42A33=36(种)方式.先选择一个工地派两辆工程车,再将剩余的两辆车派给两个工地,共有C31C42A22=36(种)方式.C31C21C11C31=1836.故选CD.答案CD4.“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点.小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度.若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点,则“住房”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的不同调查顺序的种数为()A.13B.24C.18D.72解析可分三步:第1步,先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个,有C43种不同的选法;第2步,

11、在调查时,“住房”安排的顺序有A31种可能情况;第3步,其余3个热点调查的顺序有A33种排法.根据分步乘法计数原理可得,不同调查顺序的种数为C43A31A33=72.答案D5.已知Cn4,Cn5,Cn6(n7)成等差数列,则Cn12=.解析由题意可知2Cn5=Cn4+Cn6,2n!(n-5)!5!=n!(n-4)!4!+n!(n-6)!6!,25(n-5)=1(n-4)(n-5)+165,得n2-21n+98=0,解得n=14或n=7(舍去),Cn12=C1412=C142=14132=713=91.答案916.(2020山东济南高三模拟)CES是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费

12、技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上,我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作),再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能,若其中甲和乙至多有1人负责接待工作,则不同的安排方案共有种.解析先安排接待工作,分两类,一类是没安排甲、乙,有C53种,一类是甲、乙安排1人,有C21C52种;再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能,共A42种.故不同的安排方案共有(C21C52+C53)A42=360(种).答案360

13、7.从6名短跑运动员中选4人参加4100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种不同的参赛方法?解把所选取的运动员的情况分为三类:第1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有A44=24(种);第2类,甲、乙两人有且只有1人参赛,不同的参赛方法有C21C43(A44-A33)=144(种);第3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有C42(A44-2A33+A22)=84(种).由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有24+144+84=252(种).8.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.(1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?(2)选出2名男教师或2名

14、女教师去外地学习的选法有多少种?(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C102=45(种).即共有45种不同的选法.(2)可把问题分两类情况:第1类,选出的2名是男教师,有C62种方法;第2类,选出的2名是女教师,有C42种方法.根据分类加法计数原理,共有C62+C42=15+6=21(种)不同选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C62种,从4名女教师中选2名的选法有C42种,根据分步乘法计数原理,共有选法C62C42=90(种).素养培优练1.(2020广东高二月考

15、)我省某校要进行一次月考,一般考生必须考5门学科,其中语文、数学、英语、综合这四科是必考科目,另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语2中选择.为节省时间,决定每天上午考两门,下午考一门,三天半考完.(1)若语文、数学、英语、综合四门学科安排在上午第一场考试,则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法?(2)若各科考试顺序不受限制,求数学、化学在同一天考的概率是多少?解(1)语文、数学、英语、综合四门学科安排在上午第一场,共有A44=24(种)不同的安排方法,其余7门学科共有A77=5040(种)不同的安排方法,故“考试日程安排表”共有504024=120960(种)不同的安排方法.

16、(2)各科考试顺序不受限制时,共有A1111种不同的安排方法;数学和化学在同一天考共有(A22A99+C31A32A99)种不同的安排方法.故数学、化学在同一天考的概率P=A22A99+C31A32A99A1111=2+361110=211.2.(2020江苏高二期中)某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目,求在下列情况下各有多少种不同的报名方法.(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加.解(1)每人都可以从这四个项目中选报一项,各有4种不同的选法,由分步乘法计数原理知,共有46=4096(种)不同的报名方法.(2)每项限报一人,且每人至多报一项,因此可由项目选人.第一个项目有6种不同的选法,第二个项目有5种不同的选法,第三个项目有4种不同的选法,第四个项目有3种不同的选法.由分步乘法计数原理得,共有A64=6543=360(种)不同的报名方法.(3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加,因此需将6人分成4组,有C63+C62C42A22=20+1562=65(种)情况.每组参加一个项目,由分步乘法计数原理得共有C63+C62C42A22A44=6524=1560(种)不同的报名方法.