2020-2021学年高中数学北师大版必修第一册一课一练：2-4-3 函数性质的应用 WORD版含解析.docx

1、第二章 函数4 函数的奇偶性与简单的幂函数课时3 函数性质的应用知识点1函数奇偶性的简单应用1.%￥24*18%(2020陕西西安中学月考)若函数y=(x+2)(x-a)为偶函数,则a=()。A.-2B.-1C.1D.2答案：D解析： y=(x+2)(x-a)=x2+(2-a)x-2a,由函数为偶函数可得2-a=0,解得a=2。故选D。2.%2*6*6￥#0%(2020东北育才学校月考)若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,则a=()。A.12B.23C.34D.1答案：A解析：要使函数式有意义,则x-12,xa,而函数为奇函数,所以其定义域应关于原点对称,由此得a=12。经验证,

2、当a=12时,函数f(x)是奇函数。故选A。3.%2￥2￥77%(2020合肥模拟)设f(x)是奇函数,且在(0,+)上是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)0的解集是()。A.x|-3x3B.x|x-3或0x3C.x|x3D.x|-3x0或0x3答案：D解析：由xf(x)0,得x0,或x0,f(x)0,而f(-3)=0,且f(x)为奇函数,故f(3)=0,即xf(-3)或x0,f(x)f(3)。因为f(x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,所以f(x)在(-,0)上也是增函数,所以原不等式的解集为x|-3x0或0x3。故选D。4.%*21#48*%(2020湖南师大附中月考)已知f(x)

3、是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于()。A.4B.3C.2D.1答案：B解析：由题意知f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4。两式相加,解得g(1)=3。故选B。5.%4#09*8￥%(2020广安一中月考)已知f(x)=x5-ax3+bx+2且f(-5)=17,则f(5)的值为()。A.19B.13C.-19D.-13答案：D解析：令g(x)=x5-ax3+bx,则g(x)为奇函数,f(x)=g(x)+2。 因为f(-5)=17,所以g(-5)+2=17,所以g(-5)=15。

4、所以f(5)=g(5)+2=-g(-5)+2=-15+2=-13。故选D。6.%4￥#621%(2020扬州中学月考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f52的值是()。A.0B.12C.1D.52答案：A解析：令x=-12,则-12f12=12f-12=12f12,得f12=0。由xf(x+1)=(1+x)f(x),得f(x+1)=x+1xf(x)(x0),所以f52=5232f32=53f32=533212f12=0,故f52=0,故选A。7.%60#*￥63%(2020福州模拟)若函数f(x)=x2-|x+a|为

5、偶函数,则实数a=。答案：0解析：显然xR,由已知得f(-x)=(-x)2-|-x+a|=x2-|x-a|,又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),即x2-|x+a|=x2-|x-a|,即|x+a|=|x-a|,又xR,所以a=0。8.%0#476%(2020安庆一中月考)若f(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x)=3x+1,那么当x0时,f(x)的解析式为。答案：f(x)=-3-x+1解析：当x0,f(-x)=3-x+1,又f(x)为奇函数,故f(x)=-f(-x)=-3-x+1。知识点2函数单调性的简单应用9.%45*48#%(2020南昌模拟测试)已知偶函数f(x)在区间-3,-

6、1上是单调减函数,则f(-3),f(1),f(2)的大小关系为。答案：f(1)f(2)f(-3)解析：因为函数f(x)在区间-3,-1上是单调减函数,所以f(-1)f(-2)f(-3)。又函数f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),则f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),所以f(1)f(2)f(-3)。10.%858#*#4*%(2020衡水枣强中学模拟)已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是-3,3,且它们在x0,3上的图像如图2-4-3-1,则不等式f(x)g(x)0的解集是。图2-4-3-1答案：x|-2x-1或0x1或2x3解析： y=f(x)是偶函数

7、,y=g(x)是奇函数。根据函数图像的对称性画出y=f(x),y=g(x)在-3,0上的图像如图所示。f(x)g(x)0,g(x)0,或f(x)0,可求得其解集是x|-2x-1或0x1或2x0时f(x)是单调函数,则满足f(x)=fx+3x+4的所有x之和为。答案：-8解析：因为f(x)是连续的偶函数,且当x0时是单调函数,由偶函数的性质可知,若f(x)=fx+3x+4,则只有两种情况:x=x+3x+4;x+x+3x+4=0。由知x2+3x-3=0,该方程有根,则两根之和x1+x2=-3;由知x2+5x+3=0,该方程有根,则两根之和x3+x4=-5。所以满足条件的所有x之和为-8。13.%5

8、77#*5￥%(2020湖南师大附中高一期中)已知f(x)是R上的奇函数,且当x0时,f(x)=-x2+2x+2。(1)求函数f(x)的解析式;答案：解:设x0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)+2=-x2-2x+2,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+2x-2。又f(x)是R上的奇函数,f(0)=0, 所以f(x)=x2+2x-2,x0。(2)画出函数f(x)的图像,并指出f(x)的单调区间及f(x)在(-,0)上的最小值。答案：先画出y=f(x)(x0)的图像,然后利用奇函数图像的对称性,作出已知函数图像关于原点对称的图像即可得到相应函数的图像,并注意不要漏掉

9、坐标原点,如图所示。由图可知,函数的单调增区间为(-1,0)和(0,1);单调减区间为(-,-1)和(1,+)。f(x)在(-,0)上的最小值为-3。14.%6*94*4#%(2020河北邢台二中高一检测)已知函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数。(1)求实数m的值;答案：解:若函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数,则f(-x)=f(x),即m(-x)+11+(-x)2=mx+11+x2,解得m=0。(2)判断函数f(x)在(-,0上的单调性;答案：由(1)知f(x)=11+x2,设任意的x1,x2(-,0,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=11+x12-11+x22=1+

10、x22-1-x12(1+x12)(1+x22)=(x2+x1)(x2-x1)(1+x12)(1+x22),又因为x1x20,所以x2+x10,(1+x12)(1+x22)0,所以f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(-,0上单调递增。(3)求函数f(x)在-3,2上的最大值与最小值。答案：由(2)知函数f(x)在(-,0上是增函数。又f(x)是偶函数,则y=f(x)在0,+)上是减函数,又f(-3)=110,f(0)=1,f(2)=15,所以f(x)在-3,2上的最大值为1,最小值为110。题型2利用函数性质求参数的取值范围15.%*#2*4*60%(2020九江调考)完成下列题目。(1)

11、已知函数y=f(x)在定义域-1,1上是奇函数,又是减函数,若f(1-a2)+f(1-a)0,求实数a的取值范围。答案：解:由f(1-a2)+f(1-a)0,得f(1-a2)-f(1-a)。因为y=f(x)在-1,1上是奇函数,所以-f(1-a)=f(a-1),所以f(1-a2)a-1,解得0a22,0a2,-2a1。所以0a1。所以a的取值范围是0,1)。(2)定义在-2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)|m|,解得-1m3。(1)求f(-2);答案：解:由题意,得f(-2)=f(2)=2(3-2)=2。(2)当x-3时,求f(x)的解析式;答案：当x3,所以f(-

12、x)=(-x-3)(a+x)=-(x+3)(a+x),又f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=-(x+3)(a+x)。所以当x3。当a3时,易得f(x)在0,32上单调递增,在32,5上单调递减,所以g(a)=f32=94。当3a7时,f(x)在0,32与3,3+a2上单调递增,在32,3与3+a2,5上单调递减,所以此时只需比较f32=94与f3+a2=(a-3)24的大小。()当3a6时,94(a-3)24,所以g(a)=f32=94;()当6a7时,94(a-3)24,所以g(a)=f3+a2=(a-3)24;当a7时,f(x)在0,32与3,5上单调递增,在32,3上单调递减,且

13、f32=94f(5)=2(a-5),所以g(a)=f(5)=2(a-5)。综上所述,g(a)=94,a6,(a-3)24,6a7,2(a-5),a7。18.%#6#724%(2020山西大同一中高一月考)已知函数f(x)=2x+b,g(x)=x2+bx+c(b,cR),h(x)=g(x)f(x)。对任意的xR,恒有f(x)g(x)成立。(1)如果h(x)为奇函数,求b,c满足的条件;答案：解:设h(x)=g(x)f(x)的定义域为D,因为h(x)为奇函数,所以对任意xD,h(-x)=-h(x)成立,易解得b=0。因为对任意的xR,恒有f(x)g(x)成立,所以对任意的xR,恒有2x+bx2+bx+c,即x2+(b-2)x+c-b0对任意的xR恒成立。由(b-2)2-4(c-b)0,得cb24+1,即c1,于是b,c满足的条件为b=0,c1。(2)在(1)中条件下,若h(x)在2,+)上为增函数,求实数c的取值范围。答案：当b=0时,h(x)=g(x)f(x)=x2+c2x=12x+c2x(c1)。因为h(x)在2,+)上为增函数,所以任取x1,x22,+),且x10恒成立,即任取x1,x22,+)且x10恒成立,也就是cx1x2恒成立,所以c4,结合(1),得实数c的取值范围是1,4。