2020学年九年级数学上学期同步讲解 实际问题与二次函数（含解析）（新版）新人教版.docx

1、实际问题与二次函数一、知识点1、实物抛物线一般步骤 据题意，结合函数图象求出函数解析式；确定自变量的取值范围； 据图象，结合所求解析式解决问题.2、实际问题中求最值 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； 研究自变量的取值范围； 确定所得的函数；检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； 解决提出的实际问题.3、结合几何图形 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题二、标准例题：例1：如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水

2、柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y=x2+bx+c表示（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？【答案】（1）y=-x2+x+5；（2）当x=时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为；（3）水柱能越过树，理由见解析【解析】（1）AB=10、OAB=30，OB=AB=5、OA =10=5，则A（5，0）、B（0，5），将A、B坐标代入y=-x2+bx+c，得：，解得：，抛物线解析式为y=-x2+x+5；（2）水柱离坡面的距离d=-x2+x+5-（-x+5）=-x2+x=-（x2-5x

3、）=-（x-）2+，当x=时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为；（3）如图，过点C作CDOA于点D，AC=2、OAB=30，CD=1、AD=，则OD=4，当x=4时，y=-（4）2+4+5=51+3.5，所以水柱能越过树总结：本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题例2：某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20 长的篱笆围成一个矩形（篱笆只围两边），设.（1）若花园的面积为96，求的值；（2）若在处有一棵树与墙的距离分别是11和5，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值.【答案】（1）的值为8或12；（2）当时，的值最大，

4、最大值为99【解析】解：（1），的值为8或12（2）依题意得，得当时，随的增大而增大，所以，当时，的值最大，最大值为99总结：此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行求解.例3：一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？【答案】（1）26；（

5、2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元；（3）当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2326件故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40x）（20+2x）1200整理，得x230x+2000，解得：x110，x220要求每件盈利不少于25元x220应舍去，解得x10答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元（3）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元则：y（40n）（20+2n）y2n2+60n+800n20y有最大值当n1

6、5时，y有最大值1250元，此时每件利润为25元，符合题意即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元总结：本题主要考查一元二次方程的应用问题，特别注意函数的取值范围，再求最大值是要先分析函数的取值范围，在计算函数值的最大值.例4：随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第（为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系.（1）求与之间的关系式；（2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可用来描述。根据以上信息，试问：哪个销售周期

7、的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【答案】（1）与之间的关系式为；（2）第个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是元.【解析】（1）设与之间的关系式为y=kx+b，把（1，7000），（5,5000）代入y=kx+b，得，解得与之间的关系式为；（2）令销售收入W=py=当x=7时，W有最大值为16000，此时y=-5007+7500=4000故第个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是元.总结：此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与二次函数的图像与性质.三、练习1如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方

8、向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h20t5t2下列叙述正确的是（）A小球的飞行高度不能达到15mB小球的飞行高度可以达到25mC小球从飞出到落地要用时4sD小球飞出1s时的飞行高度为10m【答案】C【解析】A、当h15时，1520t5t2，解得：t11，t23，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h20t5t25（t2）2+20，故t2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、h0时，020t5t2，解得：t10，t24，小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t1时，h

9、15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选：C2如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )A25min50min，王阿姨步行的路程为800mB线段CD的函数解析式为C5min20min，王阿姨步行速度由慢到快D曲线段AB的函数解析式为【答案】C【解析】观察图象可知5min20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误；设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)

10、分别代入得，解得：，所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确；由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，解得：a=-3，所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确，故选C.本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的3北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱

11、高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )ABCD【答案】B【解析】拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，-78=452a，解得：a=，此抛物线钢拱的函数表达式为，故选B.4用一根长为20cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为_【答案】yx2+10x【解析

12、】解：由题意知：y=x（）=x（10-x）=-x2+10x故答案为：y=-x2+10x5飞行中的炮弹经秒后的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第_秒。【答案】10【解析】此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，抛物线的对称轴是：x=10，炮弹所在高度最高时：时间是第10秒故答案为106某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10x20且x为整数）出售，可卖出（20x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_元【答案】15【解析】解：设利润为w元，则w（20x）（x10）（x15）2+25，10x20，当x15时，二

13、次函数有最大值25，故答案是：157如图所示，某小区要用篱笆围成一矩形花坛，花坛的一边用足够长的墙，另外三边所用的篱笆之和恰好为米求矩形的面积（用表示，单位：平方米）与边（用表示，单位：米）之间的函数关系式.【答案】S=x(162x)=2x +16x【解析】根据题意可得AB=x，BC=162x，S=x(162x)=2x +16x故答案为：S=x(162x)=2x+16x8商场里某产品每月销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数关系，经调查部分数据如表：（已知每只进价为10元，每只利润=销售单价-进价）销售单价x（元）212325月销售额y（只）292725（1）求出y与x之间的函数表达式；

14、（2）这产品每月的总利润为w元，求w关于x的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？（3）由于该产品市场需求量较大，进价在原有基础上提高了a元（a10），但每月销售量与销售价仍满足上述一次函数关系，此时，随着销售量的增大，所得的最大利润比（2）中的最大利润减少了144元，求a的值【答案】（1）y=-x+50；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润400元；（3）8；【解析】解：（1）设y=kx+b（k0），根据题意代入点（21，29），（25，25），解得，y=-x+50（2）依题意得，w=（x-10）（-x+50）=-x2+60x-500=-（x-30）2+

15、400，a=-10，当x=30时，w有最大值400，即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润400元（3）最新利润可表示为-x2+60x-500-a（-x+50）=-x2+（60+a）x-500-50a，此时最大利润为=400-144，解得a1=8，a2=72，当a=72时，销量为负数舍去a=89金堂三溪镇被中国柑桔研究所誉为“中国脐橙第一乡”，2016年12月某公司到三溪镇以2.5元/千克购得脐橙12000千克，这些脐橙的销售期最多还有60天，60天后库存的脐橙不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.1元/千克，经测算，脐橙的销售价格定为8元/千克时，每天可售出100千克;销售单价每降低

16、0.5元，每天可多售出50千克.(1).如果按8元/千克的价格销售,能否在60天内售完?这些脐橙按此价格销售,获得的利润是多少?(2).如果按6元/千克的价格销售,这些脐橙获得的利润是多少?当这些脐橙销售价格定为x()元/千克时，可以使公司每天获得利润最大，每天的最大利润为多少？【答案】（1）不能在60天内售完.17400元；（2）42000元，这些脐橙销售价格定为5元/千克时，可以使公司每天获得最大利润1000元.【解析】解：（1）不能在60天内售完.（元）（2）（天）4060（元）设这些脐橙销售价格定为x（）元/千克时，可以使公司每天获得最大利润w元.当x5.75时，随x的增大而增大，当x

17、=5时，大=1000（元）答：这些脐橙销售价格定为5元/千克时，可以使公司每天获得最大利润1000元.10某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（万件）的函数关系式为，若在国外销售，平均每件产品的利润为71元（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m（5m1

18、0）元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m的值【答案】（1）w=（2）当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元（3）5.5m6【解析】解：（1）w=y1x+71（6-x）=w=（2）由（1）知，当x=1时，9x+426的最大值为435；当1x6时，-x2+10x+426的最大值为x=5时的值，即451，451435当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为

19、6万件该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0x1则总利润w=（80-2m）x+（71-m）（6-x）=（9-m）x+426-6m显然当10m9时，w的值小于393，当5m9时，9-m0，当x=1时，令w=（9-m）1+426-6m=393解得m=6，当x=0时，令w=426-6m=393，解得m=5.5经验证，发现当5.5m6时符合题意，其他值都不符合11某工厂用天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第天的生产成本（元/件）与（天）之间的关系如图所示，第天该产品的生产量（件）与（天）满足关系式第天，该厂生产该产品的

20、利润是元；设第天该厂生产该产品的利润为元求与之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？在生产该产品的过程中，当天利润不低于元的共有多少天？【答案】（1）1600；（2），第天的利润最大，最大利润为元；当天利润不低于元的共有天【解析】由图象可知，第天时的成本为元，此时的产量为则第天的利润为：故答案为设直线AB的解析式为把代入得，解得直线的解析式为当时当时，当时，随的增大而减小当第天的利润最大，最大利润为元当时，令元解得抛物线开口向下由其图象可知，当时，此时，当天利润不低于元的天数为：天当时，由可知当天利润均低于元综上所述，当天利润不低于元的共有天12如图，排球运动员站在点M处练习

21、发球，将球从M点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足抛物线解析式已知球达到最高2.6m的D点时，与M点的水平距离EM为6m（1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式；（2）球网BC与点M的水平距离为9m，高度为2.43m球场的边界距M点的水平距离为18m该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由【答案】（1）见解析，；（2）该球员的判断不对，球会出界，见解析.【解析】解：（1）如图，以点M为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点A，E，D的坐标分别为（0，2），（6，0），（6，2.6）设球运行的高度y（

22、m）与运行的水平距离x（m）的抛物线解析式为ya（xh）2+k由题意知抛物线的顶点为（6，2.6）故ya（x6）2+2.6将点A（0，2）代入得236a+2.6a，故此时抛物线的解析式为y（x6）2+2.6（2）该球员的判断不对，理由如下：当x9时，y（x6）2+2.62.452.43球能过网；当y0时，（x6）2+2.60解得：x16+18，x26（舍）故球会出界13一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆，下部是一个矩形.（1）当米时，求隧道截面上部半圆的面积.（2）已知矩形相邻两边之和为8米，半圆的半径为米.求隧道截面的面积（米）关于半径（米）的函数关系式（不要求写出的取值范围）；若2米米，利用函数图象求隧道截面的面积的最大值（取3.14，结果精确到0.1米）.【答案】（1）米;（2）S;隧道截面的面积的最大值约为26.1米.【解析】解（1）当米时，（米）.（2），.由知，又2米米，.由知，函数图象为开口向下的一段抛物线.函数对称轴，又.由函数图象知，在对称轴左侧随的增大而增大，故当时，有最大值.（米）.答：隧道截面的面积的最大值约为26.1米.