2020新课标高考艺考数学复习教师用书：第七章第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 WORD版含解析.docx

1、第8节直线与圆锥曲线的位置关系最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定与应用，达成直观想象和数学运算的素养2.根据直线与圆锥曲线的位置求参数，增强逻辑推理和数学运算的素养3.弦长问题与中点弦问题的研究，提升逻辑推理和数学运算的素养直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的热点，考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称性等问题题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度不小，属中高档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用直线与圆锥曲

2、线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不等的解两个交点0两个相等的解一个切点b0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)(1)斜率：k.(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判别式0.( )(2)经过抛物线上一点有

3、且只有一条直线与抛物线有一个公共点( )(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点( )(4)直线ykx1与椭圆1恒有两个公共点( )(5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判别式0.( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为( )A相交B相切C相离 D不确定解析：A直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交2“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相

4、交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点故选A.3若直线ykx与双曲线1相交，则k的取值范围是()A.B.C.D.解析：C双曲线1的渐近线方程为yx，若直线与双曲线相交，数形结合，得k.4(人教A版教材P80A组T8改编)已知与向量v(1,0)平行的直线l与双曲线y21相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_解析：由题意可设直线l的方程为ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|44，即当m0时，|AB|有最小值4.答案：45椭圆y21的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是_解析：设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x

5、2，y2)，则x1x21，y1y21.A，B在椭圆上，y1，y1.两式相减得(y1y2)(y1y2)0，即，即直线AB的斜率为.直线AB的方程为y，即2x4y30.答案：2x4y30考点一直线与圆锥曲线的位置关系(自主练透)题组集训1若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，则这样的直线有( )A1条B2条C3条D4条解析：C结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)，故选C.2双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的

6、充要条件是()Ak BkCk或k Dk解析：D由双曲线渐近线的几何意义知k.故选D.3若直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为( )A至多一个 B2 C1 D0解析：B直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，2，m2n24.1m21，点(m，n)在椭圆1的内部，过点(m，n)的直线与椭圆1的交点有2个，故选B.判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图

7、象，根据图象判断公共点个数提醒：直线与双曲线相交时要注意交点的位置限制参数的范围考点二根据直线与圆锥曲线的位置求参数(师生共研)典例(1)若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.B.C. D.解析D由得(1k2)x24kx100，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得k1.故选D.(2)(2019沈阳市模拟)已知直线xy0与抛物线y24x交于A，B两点(A在x轴上方)，与x轴交于F点，则()A.BC.D解析B直线xy0过抛物线的焦点F(1,0)，把直线方程代入抛物线的方程y24x，解得，或，不妨设A(3,2)、B.，(1,0)(3，2).31,20，则.故选

8、B.由位置关系求字母参数时，用代数法转化为方程的根或不等式解集，也可以数形结合，求出边界位置，再考虑其它情况跟踪训练1(2018永州市三模)已知F为椭圆1的左焦点，A是椭圆的短轴的上顶点，点B在x轴上，且AFAB，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线xmy30相切，则m的值为()A3B.CD3解析：C由题意可知：椭圆1的左焦点(1,0)，设B(x,0)，由AFAB，且A，B，F三点确定的圆C，圆心C，半径为r.在AOC中，由|AO|2|OC|2|AC|2r2，即()222，解得x3，则C(1,0)，半径为2，由题意可知：圆心到直线xmy30距离d2，解得m.故选C.2已知直线yxm被椭圆4x2y

9、21截得的弦长为，则m的值为_解析：把直线yxm代入椭圆方程得4x2(xm)21，即5x22mxm210，设该直线与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程5x22mxm210的两根，4m220(m21)16m2200，即m2b0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|，求直线AB的方程直观想象、逻辑推理、数学运算直线与椭圆位置关系综合问题中的核心素养以学习过的直线与椭圆位置关系的相关知识为基础，借助直线、椭圆等平面图形的几何性质，通过逻辑推理将已知条件代数化，并通过消元等进行

10、一系列的数学运算，从而使问题得以解决信息提取信息解读直观想象、逻辑推理、数学运算椭圆1(ab0)的离心率为着眼点1：求椭圆的方程：待定系数法，通过解方程求出a和b过椭圆右焦点F的弦AB斜率为0时，AB42a4过椭圆右焦点F的弦AB与CD互相垂直，当直线AB斜率为0时，|AB|4，|AB|CD|分两种情况讨论：当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在；当两弦所在直线的斜率均存在且不为0着眼点2：求直线AB的方程：待定系数法求出直线AB的斜率k，也就是利用弦长公式将|AB|CD|转化为关于k的方程 解析(1)由题意知e，2a4.又a2b2c2，解得所以椭圆方程为1.(2)

11、当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y(x1)将直线AB方程代入椭圆方程中并整理，得(34k2)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.同理，|CD|.所以|AB|CD|，解得k1，所以直线AB的方程为xy10或xy10.1利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；2涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用跟踪训练已知圆C：x2(y1

12、)25，直线l：mxy2m0.(1)求证：mR，l与圆C总有两个不同的交点A，B；(2)当|AB|取最小值时，求l的方程与|AB|的最小值解：(1)由消去y并整理得，(1m2)x22m(1m)xm22m40，所以2m(1m)24(1m2)(m22m4)160，所以mR，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B.(2)由(1)可得kCD1，当|AB|取最小值时，直线l的斜率k1，即m1，故此时直线l的方程为xy30，即xy30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x1x2，由消去y并整理得2x24x10.解得x11，x21，所以|AB|x1x2|2.考点四中点弦问题(多维探究)命题角度1由中

13、点弦确定直线方程1已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.答案：x2y80由中点弦确定直线方程常用点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率；也可以利用根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解提醒中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的

14、关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足命题角度2由中点弦确定曲线方程2已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式作差并化简变形得，而，x1x22，y1y22，所以a22b2，又因为a2b2c29，于是a218，b29.故选D.由中点弦确定曲线方程，一般常用点差法，用中点坐标和斜率找到曲线方程有关参数的关系式，求解即可命题角度3由中点弦解决对称问题3已知双曲线1(a0，b0)上的一点到双曲线的

15、左、右焦点的距离之差为4，若抛物线yax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，则m的值为()A.B.C2D3解析：A由双曲线的定义知2a4，得a2，所以抛物线的方程为y2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2x2上，所以y12x，y22x，两式相减得y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨设x1x2，又A，B关于直线yxm对称，所以1，故x1x2，而x1x2，解得x11，x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0，y0，因为中点M在直线yxm上，所以m，解得m.故选A.由中点弦解决对称问题，首先根据斜率之

16、积等于1，用点差法表示出有关式子再利用中点在已知直线上，代入解的命题角度4由中点弦解决离心率问题4(2019郑州市一模)已知椭圆r：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，且离心率为，ABC的三个顶点都在椭圆r上，设ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且k1、k2、k3均不为0.O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1.则_.解析：由c1，e，则a2，b2a2c23，椭圆的标准方程为1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(s1，t1)，E(s2，t2)，M(s3，t3)由A，B在椭圆上，则3x4y12,

17、3x4y12，两式相减得到：，所以k1，即，同理，所以，直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则.答案：由中点弦解决离心率问题，指导思想是整体代换，设而不求，设出两个相关点的坐标，利用点差法，把相关的关系式是表示出来，再根据具体题目的条件求解1已知抛物线y22x，过点(1,2)作直线l，使l与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A0条B1条C2条D3条解析：D因为点(1,2)在抛物线y22x的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(1,2)的切线，过点(1,2)与x轴平行的直线也与抛物线只有一个交点，所以过点(1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点，故选D.2直线yx1截抛物线

18、y22px所得弦长为2，此抛物线方程为()Ay22x By26xCy22x或y26x D以上都不对解析：C由得x2(22p)x10.x1x22p2，x1x21.24.解得p1或p3，抛物线方程为y22x或y26x.故选C.3过点P(1,1)作直线与双曲线x21交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线()A存在一条，且方程为2xy10B存在无数条C存在两条，方程为2x(y1)0D不存在解析：D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，则xy1，xy1，两式相减得(x1x2)(x1x2) (y1y2)(y1y2)0，所以x1x2(y1y2)，即kAB2，故所求直线方程为

19、y12(x1)，即2xy10.联立可得2x24x30，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在故选D.4(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6C7D8解析：D如图焦点F(1,0)，直线的方程为y(x2)，将其代入y24x得：x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x25，x1x24，(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1(x12)(x22)x1x2(x1x2)458.5(2019浙江百校联盟联考)已知椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原

20、点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.解析：A因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即|OC|，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得1，所以5e22e30，又0eb0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线x21的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解：(1)由题意知e，所以e2，所以a2b2.因为双曲线x21的焦点坐标为(0，)，所以b，所以a24，所以椭圆C的方

21、程为1.(2)当直线l的倾斜角为0时，不妨令A(2,0)，B(2,0)，则4，当直线l的倾斜角不为0时，设其方程为xmy4，由(3m24)y224my360，由0(24m)24(3m24)360m24，设A(my14，y1)，B(my24，y2)因为y1y2，y1y2，所以(my14)(my24)y1y2m2y1y24m(y1y2)16y1y24，因为m24，所以.综上所述，的取值范围为.10(2019贵阳市一模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线y21渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线AB：ykxm(k0)与椭圆C交

22、于不同的A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线AB的距离为，求直线AB的方程解：(1)椭圆C：1(ab0)的离心率为，双曲线y21的一条渐近线方程为xy0，椭圆C的左焦点F1(c,0)，椭圆C的焦点F1到双曲线y21渐近线的距离为.d得c1，则a，b1，则椭圆C的方程为y21；(2)设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线AB的距离为，得，即m2(1k2)，将ykxm(k0)代入y21；得(12k2)x24kmx2m220，则判别式16k2m24(12k2)(2m22)8(2k2m21)0，x1x2，x1x2，以线段AB为直径的圆经过点F2，0，即(x11)(x21)y1y20.即(x11)(x21)(kx1m)(kx2m)0，即(1k2)x1x2(km1)(x1x2)m210，(1k2)(km1)m210，化简得3m24km10由得11m410m210，得m21，k0，满足判别式8(2k2m21)0，AB的方程为yx1.