2020版数学新攻略总复习山东专用练习：第九章 5-第五节　椭圆 WORD版含解析.docx

1、第五节椭圆A组基础题组1.已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是() A.x216+y27=1B.x216+y27=1或x27+y216=1C.x216+y225=1D.x216+y225=1或x225+y216=1答案B因为a=4,e=34,所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是x216+y27=1或x27+y216=1.2.(2018贵州六盘水模拟)已知点F1,F2分别是椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点,若点P在椭圆C上,且F1PF2=60,则|PF1|PF2|=()A.4B.6C.8D.12答案A

2、由|PF1|+|PF2|=4,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|F1F2|2,得3|PF1|PF2|=12,所以|PF1|PF2|=4,故选A.3.如图,椭圆x2a2+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,P点在椭圆上,若|PF1|=4,F1PF2=120,则a的值为()A.2B.3C.4D.5答案B由题意知b2=2,c=a2-2,故|F1F2|=2a2-2,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,由余弦定理得cos 120=42+(2a-4)2-(2a2-2)224(2a-4)=-12,化简得8a=24,即a=3.故选B.4.

3、已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PFx轴.|PF|=14|AF|,则该椭圆的离心率为()A.14B.34C.12D.32答案B由题意可知点P的横坐标是-c,代入椭圆方程,有c2a2+y2b2=1,得y=b2a,又|PF|=14|AF|,即b2a=14(a+c),化简得4c2+ac-3a2=0,即4e2+e-3=0,解得e=34或e=-1(舍去).5.(2019湖北武汉调研)一个椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,P(2,3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为.答案x28+y26=1解析椭圆的中心在

4、原点,焦点F1、F2在x轴上,可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),P(2,3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,4a2+3b2=1,2a=4c,又a2=b2+c2,a=22,b=6,c=2,椭圆方程为x28+y26=1.6.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是.答案0,32解析根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.又d=|30-4b|32+(-

5、4)245,所以1b2.又e=ca=1-b2a2=1-b24,所以0b0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|y

6、E|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE与BDN的面积之比为45.8.(2018陕西西安模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e=32,求椭圆的方程;(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且22e32,求k的取值范围.解析(1)由题意得c=3,ca=32,所以a=23,又因为a2=b2+c2,所以b2=3,所以椭圆的方程为x212+y23=1.(2)由x2a2+y2b2=1,y=kx得(b2+a2k2)x2-a2b2=0.设A(x1,y1),

7、B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2=-a2b2b2+a2k2,依题意易知,OMON,四边形OMF2N为平行四边形,所以AF2BF2,因为F2A=(x1-3,y1),F2B=(x2-3,y2),所以F2AF2B=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即-a2(a2-9)(1+k2)a2k2+(a2-9)+9=0,整理得k2=-a4-18a2+81a4-18a2=-1-81a4-18a2.因为22e32,所以23a32,12a2b0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为b3,则椭圆的离心率为() A.14B.13C.12D.2

8、3答案C由题意得122cb=12(2a+2c)b3,得a=2c,即e=ca=12,故选C.2.已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为x24+y22=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=2.故椭圆C的离心率e=ca=22.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所以OAOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.又x02+2y02=4,所以|AB|2=(x0-t)2+

9、(y0-2)2=x0+2y0x02+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4=x022+8x02+4(0x024).因为x022+8x024(0b0),由题意可得c=2,e=ca=22,a=2.b2=a2-c2=2,椭圆的标准方程为x24+y22=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由AP=2PB,得-x1=2x2,1-y1=2(y2-1).由题意可知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆方程整理,得(2k2+1)x2+4kx-2=0,x1+x2=-4k2k2+1,x1x2=-22k2+1.将-x1=2x2代入上式可得,4k2k2+12=12k2+1,解得k2=114.AOB的面积S=12|OP|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x22=1228k2+22k2+1=3148.