2020版高考数学培优考前练文科通用版练习：5-2　异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断 WORD版含解析.docx

1、5.2异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断高考命题规律1.高考常考考题,属于立体几何“两小”常见的一个考点.2.选择题或填空题,5分,中高档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1两条异面直线所成的角119命题角度2空间位置关系的综合判断146108命题角度1两条异面直线所成的角高考真题体验对方向1.(2019浙江8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B的

2、平面角为,则() A.,B.,C.,D.,答案B解析如图G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PEVG,过点P作PFAC交VG于点F,过点D作DHAC,交BG于点H,则=BPF,=PBD,=PED,所以cos =PFPB=EGPB=DHPB,因为tan =PDEDPDBD=tan ,所以.故选B.2.(2018全国9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72答案C解析取DD1的中点F,连接AC,EF,AF,则EFCD,故AEF为

3、异面直线AE与CD所成的角.设正方体边长为2a,则易知AE=AC2+CE2=3a,AF=AD2+DF2=5a,EF=2a.cosAEF=(3a)2+(2a)2-(5a)223a2a=23.sinAEF=53.tanAEF=52.典题演练提能刷高分1.(2019四川成都一模)在各棱长均相等的四面体A-BCD中,已知M是棱AD的中点,则异面直线BM与AC所成角的余弦值为()A.23B.25C.36D.26答案C解析设各棱长均相等的四面体A-BCD的棱长为2,取CD的中点N,连接MN,BN,M是棱AD的中点,MNAC,BMN是异面直线BM与AC所成角(或所成角的补角).又BM=BN=4-1=3,MN

4、=1,cosBMN=BM2+MN2-BN22BMMN=3+1-3231=36,异面直线BM与AC所成角的余弦值为36,故选C.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,若其外接球的表面积为16,则异面直线BD1与CC1所成的角的余弦值为.答案144解析设外接球的半径为R,则4R2=16,解得R=2,设长方体的高为x,则x2+12+12=(2R)2=16,故x=14,在RtBDD1中,DD1B即为异面直线所成的角,其余弦值为144.3.(2019山东淄博一模)如图所示,平面BCC1B1平面ABC,ABC=120,四边形BCC1B1为正方形,且AB=BC=2,则异面

5、直线BC1与AC所成角的余弦值为.答案64解析由题意知,可将原图补为如图所示的直四棱柱.BC1AD,异面直线BC1与AC所成角即为直线AD与AC所成角DAC,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+4-8cos 120=12,AC=23.又AD=CD=4+4=22,cosDAC=AD2+AC2-CD22ADAC=8+12-822223=64.4.如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是DC的中点;如图2,将DAE沿AE折起,使折后平面DAE平面ABCE,则异面直线AE和DB所成角的余弦值为.答案66解析取AE的中点为O,连接DO,BO,延长EC到F使EC=C

6、F,连接BF,DF,OF,则BFAE,所以DBF或它的补角为异面直线AE和DB所成角.DA=DE=1,DOAE,且|AO|=|DO|=22,在ABO中,根据余弦定理得cosOAB=cos 45=|AO|2+|AB|2-|BO|22|AO|AB|=22.|BO|=102.同理可得|OF|=262.又平面DAE平面ABCE,平面DAE平面ABCE=AE,DO平面DAE,DO平面ABCE.BO平面ABCE,DOBO,|BD|2=|BO|2+|DO|2=12+52=3,即|BD|=3,同理可得|DF|=7.又BF=AE=2,在DBF中,cosDBF=|DB|2+|BF|2-|DF|22|DB|BF|=

7、3+2-7232=-66,两直线的夹角的取值范围为0,2,异面直线AE和DB所成角的余弦值为66.命题角度2空间位置关系的综合判断高考真题体验对方向(2019全国8)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线答案B解析如图,连接BD,BE.在BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,BM,EN是相交直线,排除选项C、D.作EOCD于点O,连接ON.作MFOD于点F,连接BF

8、.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理,MF平面ABCD.MFB与EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,则EN=3+1=2,BM=34+254=7,BMEN.故选B.典题演练提能刷高分1.(2019北京顺义统考二)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则()A.若m,则mB.若m,n,则mnC.若m,n,m,n,则D.若m,n,则mn答案B解析选项A中,m或m,故A错;易知选项B正确;选项C中,没有m,n相交的条件,故C错;选项D中,m,n的关系也可以相

9、交或异面,故D错.故选B.2.已知直线l,m,平面,且l,m,下列命题:lm;lm;lm;lm,其中正确的序号是()A.B.C.D.答案B解析l,l,而m,所以lm,对;l,m,时,l,m位置关系不定;l,lmm,而m,所以,对;l,m,lm时,位置关系不定.故选B.3.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;如果mn,m,n,则.则错误的命题个数为()A.4B.3C.2D.1答案B解析若ml,且m,则l是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行时,也可能满足前边的条件;若,则,不对,

10、垂直于同一个平面的两个平面可以是交叉的;如果mn,m,n,则是错误的,平面和能相交.故答案为B.4.如图,在三棱锥A-BCD中,ACAB,BCBD,平面ABC平面BCD.ACBD;ADBC;平面ABC平面ABD;平面ACD平面ABD.以上结论中正确的个数有()A.1B.2C.3D.4答案C解析平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,BCBD,BD平面ABC,又AC平面ABC,BDAC,故正确.BD平面ABD,平面ABD平面ABC,故正确.ACAB,BDAC,ABBD=B,AC平面ABD,又AC平面ACD,平面ACD平面ABD,故正确.综上正确,故选C.5.(2019四川成都二模)已知

11、a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是()A.若c平面,则aB.若c平面,则a,bC.存在平面,使得c,a,bD.存在平面,使得c,a,b答案C解析由a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直可知,在A中,若c平面,则a与相交、平行或a,故A错误;在B中,若c平面,则a,b与平面平行或a,b中有一条在平面内,故B错误;在C中,由线面垂直的性质得,存在平面,使得c,a,b,故C正确;在D中,若存在平面,使得c,a,b,则ab,与已知a,b是两条异面直线矛盾,故D错误.6.给出下列四个命题:如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行,那么a;过空间一定点有且只有一条直线与已

12、知平面垂直;如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直;若两个相交平面都垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析对于,根据线面平行的判定定理,如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行,那么a,故正确;对于,因为垂直同一平面的两直线平行,所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直,故正确;对于,平面内无数条直线均为平行线时,不能得出直线与这个平面垂直,故不正确;对于,因为两个相交平面都垂直于第三个平面,所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面,可得这两条直线平行,则其中一条直线平行于另一

13、条直线所在的面,可得这条直线平行这两个相交平面的交线,从而交线垂直于第三个平面,故正确.故选C.7.如图所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:AFGC;BD与GC成异面直线且夹角为60;BDMN;BG与平面ABCD所成的角为45.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析将平面展开图还原成正方体(如图所示).对于,由图形知AF与GC异面垂直,故正确;对于,BD与GC显然成异面直线.连接EB,ED,则BMGC,所以MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边BDM中,MBD=60,所以异面直线BD与GC所成的角为60,故正确;对于,BD与MN为异面垂直,故错误;对于,由题意得GD平面ABCD,所以GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在RtBDG中,GBD不等于45,故错误.综上可得正确.故选B.