2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：8-3　基本不等式及其应用 WORD版含解析.docx

1、8.3基本不等式及其应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点基本不等式及其应用1.利用基本不等式求最值2.基本不等式的实际应用3.基本不等式的变形应用2018江苏,13基本不等式解三角形2017江苏,10基本不等式实际应用分析解读基本不等式是求函数最值、范围的重要工具,是江苏高考的重点内容之一.考查时常与其他知识相结合进行综合考查,另外在实际应用题中也常常用到基本不等式.破考点【考点集训】考点一基本不等式1.设x0,则y=3-3x-1x的最大值是.答案3-232.(2019届江苏前黄高级中学检测)若正数x,y满足3x+y=5xy,则4x+3y的最小值是.答案53.

2、(2018江苏苏州第一学期期末高三调研,12)已知正实数a,b,c满足1a+1b=1,1a+b+1c=1,则c的取值范围是.答案1,43考点二基本不等式的应用1.(2019届江苏启东中学检测)对一切实数x,不等式x2+a|x|+10恒成立,则实数a的取值范围是.答案-2,+)2.(2018江苏淮安高三期中)在锐角三角形ABC中,9tan Atan B+tan Btan C+tan Ctan A的最小值为.答案253.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每

3、批应生产产品件.答案80炼技法【方法集训】方法一利用基本不等式求最值的方法1.(2018江苏盐城中学高三期末,8)若log4(a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是.答案92.(2019届江苏苏州中学检测)已知函数f(x)=x2+ax+11x+1(aR),若对于任意的xN*, f(x)3恒成立,则a的取值范围是.答案-83,+方法二利用基本不等式求解实际应用题的方法某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域.现计划在正方形MNPO上建一个花坛,造价为4 200元/

4、m2,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210元/m2,再在四个空角上铺草坪,造价为80元/m2.(1)设总造价为S元,AD边的长为x m,试建立S关于x的函数关系式;(2)至少要投入多少元,才能建造完成这个休闲小区?解析(1)设DO=y,则x2+4xy=200,y=200-x24x.S=4 200x2+2104xy+80412y2=38 000+4 000x2+400 000x2(0x0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案83.(2017天津,12,5分)若a,bR,ab0,则a4+4b4+1ab的最小值为.答案44.(2014福建,13,4分)要制作一个容

5、积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).答案1605.(2014上海,5,4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.答案226.(2015重庆,14,5分)设a,b0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为.答案327.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=76 000vv2+18v+20l.

6、(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/时.答案(1)1 900(2)1008.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案639.(2016山东理,16,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=tanAcosB+tanBcosA.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)由题意知2sinAcosA+sinBcosB=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,化

7、简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+b2,所以cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=38ab+ba-1412,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为12.疑难突破利用切化弦将已知等式等价转化,最终转化为三角形三角正弦之间的关系,从而结合正弦定理得出三角形三边之间的关系.评析 本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余

8、弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查了化归与转化的思想方法,属中档题.【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2019届江苏江安中学检测)设ba0,且a+b=1,则四个数12,2ab,a2+b2,b中最大的是.答案b2.(2019届江苏汇龙中学检测)已知x,y为正实数,且x+4y=1,则xy的最大值为.答案1163.(2019届江苏吕四中学检测)(3-a)(a+6)(-6a3)的最大值为.答案924.(2019届江苏曲塘中学检测)已知函数f(x)=4x+ax(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.答案365.(2019届江苏海门实验中学检测)设非零实数a,b,则“a2+b2

9、2ab”是“ab+ba2”成立的条件.答案必要不充分6.(2019届江苏教育学院附属中学检测)已知正实数a,b满足a+b=4,则1a+1+1b+3的最小值为.答案127.(2018江苏镇江高三上学期期末)已知函数f(x)=x2-kx+4,对任意的x1,3,不等式f(x)0恒成立,则实数k的最大值为.答案48.(2019届江苏镇江第一中学检测)已知x,y(0,+),2x-3=12y,则1x+4y的最小值为.答案39.(2019届江苏如东中学检测)不等式x2+2xab+16ba对任意a,b(0,+)恒成立,则实数x的取值范围是.答案(-4,2)10.(2018江苏南通中学高三数学练习)已知三次函数

10、f(x)=a3x3+b2x2+cx+d(ab)在R上单调递增,则a+b+cb-a的最小值为.答案3二、解答题(共30分)11.(2018江苏启东一中检测)(1)当点(x,y)在直线x+3y-4=0上移动时,求表达式3x+27y+2的最小值;(2)已知x,y都是正实数,且x+y-3xy+5=0,求xy的最小值.解析(1)由x+3y-4=0,得x+3y=4,所以3x+27y+2=3x+33y+223x33y+2=23x+3y+2=234+2=20,当且仅当3x=33y且x+3y-4=0,即x=2,y=23时取“=”,此时所求的最小值为20.(2)由x+y-3xy+5=0,得x+y+5=3xy.所以

11、2xy+5x+y+5=3xy(当且仅当x=y时取“=”).所以3xy-2xy-50,所以(xy+1)(3xy-5)0,所以xy53,即xy259.又等号成立的条件是x=y,所以x=y=53,故xy的最小值是259.12.(2019届江苏宜兴高级中学检测)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x.当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)

12、当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解析(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.051 000x万元,依题意得:当0x80时,L(x)=(0.051 000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250.当x80时,L(x)=(0.051 000x)-51x-10 000x+1 450-250=1 200-x+10 000x.所以L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1 200-x+10 000x,x80.(2)当0x80时,L(x)=-13(x-60)2+950.此时,当x=60时,L(x)取得最大值950万元.当x80时,L(x)=1 200-x+10 000x1 200-2x10 000x=1 200-200=1 000.当且仅当x=10 000x,即x=100时,L(x)取得最大值1 000万元.由于9501 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.