2021-2022学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.docx

1、3.2.1单调性与最大(小)值课后训练巩固提升A组1.下列函数中,在区间(0,+)内不是单调递增的是()A.y=2x+1B.y=3x2+1C.y=2xD.y=2x2+x+1解析:由反比例函数的性质可得,y=2x在区间(0,+)内单调递减,故满足条件.答案:C2.函数y=1x-1的单调递减区间是()A.(-,1),(1,+)B.(-,1)(1,+)C.xR|x1D.R答案:A3.如图是定义在区间-5,5上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间-5,-3上单调递增B.函数在区间1,4上单调递增C.函数在区间-3,14,5上单调递减D.函数在区间-5,5上没有单调

2、性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,一般不能用“”连接.答案:C4.如果函数f(x)在区间a,b上单调递增,那么对于任意的x1,x2a,b(x1x2),下列结论中不正确的是()A.f(x1)-f(x2)x1-x20B.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0C.若x1x2,则f(a)f(x1)f(x2)0解析:因为f(x)在区间a,b上单调递增,所以对于任意的x1,x2a,b(x1x2),x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同,故A,B,D都正确,而C中应为若x1x2,则f(a)f(x1)f(-m+9),则实数m的取值范围是()A.(-,3)B.(0,3)C.(3,+)D.(

3、3,9)解析:因为函数y=f(x)在区间(0,+)内为减函数,且f(2m)f(-m+9),所以2m0,-m+90,2m-m+9,解得0m0,-kk+10,解得-1k0.答案:(-1,0)8.函数f(x)=|2x-1|的单调递减区间是.解析:函数f(x)=|2x-1|的图象如图所示,故单调递减区间为-,12.答案:-,129.求证:函数f(x)=x+1x在区间1,+)内单调递增.证明:设x1,x21,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)+1x1-1x2=(x1-x2)+x2-x1x1x2=(x1-x2)1-1x1x2=(x1-x2)x1x2-1x

4、1x2.因为1x1x2,所以x1-x20,10,故(x1-x2)x1x2-1x1x20,即f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2).故f(x)=x+1x在区间1,+)内单调递增.10.讨论函数f(x)=ax+1x+2a12在区间(-2,+)内的单调性.解:f(x)=ax+1x+2=a+1-2ax+2,设任意x1,x2(-2,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-2ax1+2-1-2ax2+2=(1-2a)(x2-x1)(x2+2)(x1+2).由-2x10,(x2+2)(x1+2)0.若a0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在区间(-2,+)内单调递

5、减.若a12,则1-2a0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在区间(-2,+)内单调递增.综上,当a12时,f(x)在区间(-2,+)内单调递增.B组1.下列函数中,满足对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2)的是()A.f(x)=x2B.f(x)=1xC.f(x)=|x|D.f(x)=2x+1解析:满足条件的函数即在区间(0,+)内是单调递减的,只有B项符合.答案:B2.已知函数f(x)在区间-4,7上单调递增,则函数y=f(x-3)的一个单调递增区间为()A.-2,3B.-1,11C.-1,10D.-10,-4解析:因为函数y=f(x)的图象向右平移3个单位

6、长度后得到函数y=f(x-3)的图象,所以y=f(x-3)的一个单调递增区间为-1,10.答案:C3.已知函数f(x)=x2+4x,x0,4x-x2,xf(a),则实数a的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,-2)D.(-2,+)解析:画出f(x)的图象(图略),可判断f(x)在R上为增函数,故f(4-a)f(a)4-aa,解得a2.答案:A4.函数f(x)=x+2x-1的最小值为.解析:因为f(x)=x+2x-1在定义域12,+内是增函数,所以f(x)f12=12,即函数的最小值为12.答案:125.已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上为单调函数,则实数a的取值范

7、围为.解析:因为二次函数f(x)的图象开口向上,故其单调递增区间为a,+),单调递减区间为(-,a,而f(x)在区间1,2上单调,所以1,2a,+)或1,2(-,a,即a1或a2.答案:(-,12,+)6.求函数f(x)=x-1-1x的最小值.解:因为x-10,且x0,所以x1,所以函数f(x)的定义域为1,+).又函数y=x-1在区间1,+)内单调递增,函数y=-1x在区间1,+)内单调递增,所以函数f(x)=x-1-1x在区间1,+)内单调递增.所以当x=1时,f(x)min=1-1-11=-1.7.已知y=f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,且f(1-a)f(2a-1),求a的取值范围.解:依题意,f(1-a)f(2a-1)等价于-11-a1,-12a-12a-1,解得0a0,且f(x)在区间(1,+)内单调递减,求实数a的取值范围.(1)证明:任设x1x20,x1-x20,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在区间(-,-2)内单调递增.(2)任设1x30,x4-x30,所以要使f(x3)-f(x4)0,只需(x3-a)(x4-a)0恒成立.又x3,x4(1,+),所以a1,所以0a1,即实数a的取值范围为(0,1.