2021-2022学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入测评（含解析）新人教A版选修1-2.docx

1、第三章测评(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.计算:i(1+i)2=() A.-2B.2C.2iD.-2i解析i(1+i)2=i2i=-2.答案A2.在复平面内,复数(i是虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析,其共轭复数为,对应的点位于第一象限,故选D.答案D3.已知复数z满足z=1+2 019(其中i为虚数单位),则=()A.iB.iC.iD.i解析=i,则z=1+2 019=1+i2 019,即z=1-i,所以|z|=1+i,所以i.故选B.答案B4.已知复数z满足z(2-i)=|3+4

2、i|(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,-2)D.(-2,-1)解析由题意,z(2-i)=5,故z=2+i,其在复平面内对应的点的坐标为(2,1).故选B.答案B5.复数z=+(a2+2a-3)i(aR)为纯虚数,则a的值为()A.a=0B.a=0且a-1C.a=0或a=-2D.a1或a-3解析依题意得解得a=0或a=-2.答案C6.设复数z=,其中a为实数,若z的实部为2,则z的虚部为()A.-B.-iC.-D.-i解析z=a-i,因为z的实部为2,所以a=2,所以z的虚部为-=-.答案C7.“m=1”是“复数z=(1+mi)(1+

3、i)(mR,i为虚数单位)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析z=(1+mi)(1+i)=1+i+mi-m=(1-m)+(1+m)i,若m=1,则z=2i为纯虚数;若z为纯虚数,则m=1.答案C8.已知z1=1+i(其中i为虚数单位),设为复数z1的共轭复数,则复数z2在复平面所对应点的坐标为()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析因为z1=1+i,所以=1-i,由得,=1,得z2=1,z2在复平面内对应的点为(1,0),故选B.答案B9.若z=cos +isin (i为虚数单位),则使z2=-1的值可能是()A.

4、B.C.D.解析z2=(cos +isin )2=(cos2-sin2)+2isin cos =cos 2+isin 2=-1,所以所以2=2k+(kZ),故=k+(kZ),令k=0知选D.答案D10.复数z在复平面内对应的点为A,将点A绕坐标原点,按逆时针方向旋转,再向左平移一个单位,向下平移一个单位,得到B点,此时点B与点A恰好关于坐标原点对称,则复数z为()A.-1B.1C.iD.-i解析设z=a+bi,B点对应的复数为z1,则z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点B与点A恰好关于坐标原点对称,所以于是z=1.答案B11.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题

5、是()A.若|z1-z2|=0,则B.若z1=,则=z2C.若|z1|=|z2|,则z1=z2D.若|z1|=|z2|,则解析对于A,若|z1-z2|=0,则z1-z2=0,z1=z2,所以为真命题;对于B,若z1=,则z1和z2互为共轭复数,所以=z2为真命题;对于C,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,b1,a2,b2R,若|z1|=|z2|,则,即,所以z1=z2,所以z1=z2为真命题;对于D,若z1=1,z2=i,则|z1|=|z2|,而=1,=-1,所以为假命题.故选D.答案D12.复数z=(x-2)+yi(x,yR)在复平面内对应向量的模为2,则|z+2|的最大值为(

6、)A.2B.4C.6D.8解析因为|z|=2,所以=2,即(x-2)2+y2=4,故点(x,y)在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上,而|z+2|=|x+yi|=,它表示点(x,y)到原点的距离,结合图形易知|z+2|的最大值为4,故选B.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若复数z满足2z+=3+2i,其中i为虚数单位,则z=.解析设z=a+bi,则=a-bi,所以2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3+2i,所以3a=3,b=2,故a=1,b=2.答案1+2i14.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,bR,i是虚数单位,则|a+bi|=.解析由题意得-

7、2a+i=1-bi,所以解得a=-,b=-1,所以|a+bi|=.答案15.已知复数z=(i是虚数单位),则复数z在复平面内对应的点的坐标为.解析因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0(nN),而2 022=4505+2,所以z=i,故在复平面内对应的点为(0,1).答案(0,1)16.若复数z满足z+z+=3,则复数z在复平面内对应点的轨迹所围成图形的面积等于.解析设z=x+yi(x,yR),则有(x+yi)(x-yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y2=4,故复数z在复平面内对应点的轨迹是一个圆,其面积等于22=4.答案4三

8、、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知复数z=(2+i)m2-2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是:(1)虚数;(2)纯虚数.解z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,(1)当m2-3m+20,即m2且m1时,z为虚数.(2)当即m=-时,z为纯虚数.18.(本小题满分12分)若z满足z-1=(1+z)i,求z+z2的值.解因为z-1=(1+z)i,所以z=-i,因此z+z2=-i+=-i+=-1.19.(本小题满分12分)已知复数z使得z+2iR,R,其中i是虚数单位.(1)求复数z的共轭复数;(2)若复

9、数(z+mi)2在复平面上对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.解(1)设z=x+yi(x,yR),则z+2i=x+(y+2)i.z+2iR,y=-2.又iR,x=4.综上,有z=4-2i,=4+2i.(2)m为实数,且(z+mi)2=4+(m-2)i2=(12+4m-m2)+8(m-2)i,由题意得解得-2m2,故实数m的取值范围是(-2,2).20.(本小题满分12分)复数z=,若z2+0,求纯虚数a.解由z2+0可知z2+是实数且为负数.z=1-i.因为a为纯虚数,所以设a=mi(mR,且m0),则z2+=(1-i)2+=-2i+=-i0,故所以m=4,即a=4i.21.(本小题满分1

10、2分)已知复数z1=i(1+i)2(i为虚数单位).(1)求及|z1|;(2)当复数z满足|z+3-4i|=1时,求|z-z1|的最大值与最小值.解复数z1=i(1+i)2=i(1+2i-1)=2i2=-2.(1)=-2,|z1|=2.(2)设复数z=x+yi(x,yR),|z+3-4i|=1,|(x+3)+(y-4)i|=1,(x+3)2+(y-4)2=1,它表示圆心为P(-3,4),半径为1的圆,画出图形,如图所示.z1所对应的点为A(-2,0),则圆心P到点A的距离为|PA|=.因为|z-z1|表示圆P上的点到点A的距离,所以|z-z1|的最大值为|PA|+1=+1,最小值为|PA|-1=-1.22.(本小题满分12分)已知虚数z满足|2z+5|=|z+10|.(1)求|z|.(2)是否存在实数m,使为实数,若存在,求出m值;若不存在,说明理由.(3)若(1-2i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,求复数z.解(1)设z=x+yi(x,yR,且y0),则(2x+5)2+(2y)2=(x+10)2+y2,化简得x2+y2=25,|z|=5.(2)i为实数,=0.又y0,x2+y2=25,=0,解得m=5.(3)(1-2i)z=(1-2i)(x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i,依题意得x+2y=y-2x,y=-3x.又x2+y2=25,由得z=i或z=-i.