2021-2022学年高中数学 第二章 数列 2.5 第1课时 等比数列的前n项和课后巩固提升（含解析）新人教A版必修5.docx

1、第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和课后篇巩固提升基础巩固1.已知数列an的通项公式是an=2n,Sn是数列an的前n项和,则S10等于()A.10B.210C.a10-2D.211-2解析=2,数列an是公比为2的等比数列,且a1=2.S10=211-2.答案D2.在等比数列an中,a2=9,a5=243,则an的前4项和为()A.81B.120C.168D.192解析因为=27=q3,所以q=3,a1=3,S4=120.答案B3.已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1解析设公比为q,则

2、q=,于是a1+a1=,因此a1=2,于是Sn=4,而an=2,于是=2n-1.答案D4.在14与之间插入n个数组成一个等比数列,若各项总和为,则此数列的项数为()A.4B.5C.6D.7解析设a1=14,an+2=,则Sn+2=,解得q=-.所以an+2=14,解得n=3.故该数列共5项.答案B5.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若S10=20,S30=140,则S40=()A.280B.300C.320D.340解析设等比数列an的公比为q1.S10=10,S30=70,(1-q10)=20,(1-q30)=140,联立解得q10=2,=-20,则S40=(1-q40)=-20

3、(1-24)=300,故选B.答案B6.对于等比数列an,若a1=5,q=2,Sn=35,则an=.解析由Sn=,得an=20.答案207.在等比数列an中,设前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.解析因为a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减,得a4-a3=2a3,即a4=3a3,所以q=3.答案38.在等比数列an中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=.解析依题意,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,a10+a11+a12,a13+a14+a15构成等比数列,且公比q=-2,所以S15=(a1+

4、a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a5+a9)+(a10+a11+a12)+(a13+a14+a15)=11.答案119.已知等比数列an满足a3=12,a8=,记其前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式an;(2)若Sn=93,求n.解(1)设等比数列an的公比为q,则解得所以an=a1qn-1=48.(2)Sn=96.由Sn=93,得96=93,解得n=5.10.已知等差数列an的首项为a,公差为b,方程ax2-3x+2=0的解为1和b(b1).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an满足bn=an2n,求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为方程ax2-3x+2=0的两根

5、为x1=1,x2=b,可得解得所以an=2n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)2n,所以Tn=b1+b2+bn=12+322+(2n-1)2n,2Tn=122+323+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1,由-,得-Tn=12+222+223+22n-(2n-1)2n+1=2(2+22+23+2n)-(2n-1)2n+1-2=2-(2n-1)2n+1-2=(3-2n)2n+1-6.所以Tn=(2n-3)2n+1+6.能力提升1.等比数列an的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+a2n-1),a1a2a3=8,则Sn=()A.2n-1B.2n-1-1C.2n+1-1D.2n+1解析

6、显然q1,由已知,得=3,整理,得q=2.因为a1a2a3=8,所以=8,所以a2=2,从而a1=1.于是Sn=2n-1.答案A2.已知数列an是首项为1的等比数列,Sn是an的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.解析由题意易知公比q1.由9S3=S6,得9,解得q=2.所以是首项为1,公比为的等比数列.所以其前5项和为S5=.答案C3.设各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4=()A.63或120B.256C.120D.63解析由题意得解得又因为1,所以设等比数列an的公比为q,则q2=,因为数列为正项

7、数列,所以q=,从而a1=64,所以S4=120,故选C.答案C4.(2020全国高考,理14)数列an中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.5解析am+n=aman,令m=1,又a1=2,an+1=a1an=2an,=2,an是以2为首项,2为公比的等比数列,an=2n.ak+1+ak+2+ak+10=2k+1+2k+2+2k+10=2k+1=2k+11-2k+1=215-25.解得k=4.答案C5.1+=.解析设Sn=1+,则Sn=+,两式相减,得Sn=1+.所以Sn=3-.答案3-6.若等比数列an的前n项和为S

8、n,且S3+S6=2S9,则公比q等于.解析若q=1,S3+S6=3a1+6a1=9a12S9.q1,即 2q9-q6-q3=0,q3(2q6-q3-1)=0.q0,2q6-q3-1=0,(q3-1)(2q3+1)=0,q3=-或q3=1(舍),q=-.答案-7.(2020全国高考,理17)设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.解(1)设an的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故an的公比为-2.(2)记Sn为nan的前n项和.由

9、(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=-n(-2)n.所以Sn=.8.已知数列an的前n项和Sn=an+n2-1,数列bn满足3nbn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.(1)求an,bn;(2)设Tn为数列bn的前n项和,求Tn.解(1)当n2时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,两式相减,得an=an-an-1+2n-1,an-1=2n-1.an=2n+1.3nbn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3.bn+1=,当n2时,bn=.又b1=3适合上式,bn=.(2)由(1)知bn=,Tn=+,Tn=+,-,得Tn=3+=3+4=5-.Tn=.