2021-2022学年高中数学人教B版选择性必修第三册课后巩固提升：6-3　利用导数解决实际问题 WORD版含解析.docx

1、6.3利用导数解决实际问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)()A.32,16B.30,15C.40,20D.36,18答案A解析要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L=2x+(x0),则L=2-.令L=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为=32(米),可使L最短.2.(2021山西太原高二期末)现有橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡

2、皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为()A.20B.24C.28D.32答案B解析由题意可得圆柱和圆锥的体积相等,底面半径为4,高为3的圆锥的体积为423=16,底面半径为r,高为h的圆柱的体积为r2h,所以r2h=16,可得r2h=16,即h=,圆柱的表面积为S=2r2+2rh=2r2+2r=2r2+,S=4r-,令S=0可得r2,令S=0可得0r2,所以当r=2时,该圆柱表面积最小为S=222+=24,故选B.3.(2020江苏东海第二中学高二月考)如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的容积最大时,底

3、面边长为()A.B.C.D.答案B解析设正六棱柱容器的底面边长为x,0x0;在,1上,V(x)0,所以V(x)在0,上单调递增,在,1上单调递减,所以当x=时,V(x)取得最大值.4.根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+2(x-50)2,其中20x50.已知该商品的成本为20元/件,则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为()A.8 600元B.8 060元C.6 870元D.4 060元答案B解析设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-20)+2(x-50)2=60+2(x-20)(x-50)2,20

4、x0,得20x30,则f(x)在(20,30)上单调递增;令f(x)0,得30x50,则f(x)在(30,50)上单调递减,所以f(x)的最大值为f(30)=8 060.故选B.5.(2020四川树德中学高二期中)已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是()A.1B.C.D.2答案A解析如图,PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,则AC=a,OA=OP=3,设OE=x(0x3),则由AO2=OE2+AE2,得x2+a2=9,a2=18-2x2,PE=3+x,S四边形ABCD=18-2

5、x2,V=S四边形ABCDPE=(18-2x2)(3+x)=(-x3-3x2+9x+27),V=(-3x2-6x+9)=-2(x-1)(x+3),当0x0,V单调递增,当1x3时,V0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以千米/时的速度运行时,成本最省.答案解析由已知机车以速度v匀速运行,设甲、乙两站相距s千米,总成本为y元,则机车匀速从甲站到乙站所需时间t=,y=(m+kv2)=skv+,求导,得y=sk-,令y=0,得v=,函数在0,上单调递减,在,+上单调递增,则v=为极小值点,当v=时,y有最小值.7.(2020山东省实验中学高二期中)某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,

6、每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+5(x-6)2,其中3x6,当销售价格为元时,商场每日销售该商品所获得的最大利润为元.答案421解析设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,则L=y(x-3)=+5(x-6)2(x-3)=5x3-75x2+360x-539(3x0,得3x4;令L0,得4x0),OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当OB=40时,BB1=-403+640=160,则AA1=160.由OA2=160,得OA=80.所以AB=OA+OB=

7、80+40=120(米).(2)以O为原点,MN,OO所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x,y2),x(0,40),则y2=-x3+6x,EF=160-y2=160+x3-6x.因为CE=80,所以OC=80-x.设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2,所以CD=160-y1=160-(80-x)2=-x2+4x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k=k(0x40).f(x)=kx(x-20),令f(x)=0,得x=20.所以当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表,x(0,20)20(20,40)f(x)-0+f(x)极小值所以当

8、x=20时,f(x)取得最小值.所以当OE为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.9.某商店经销一种商品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数,2a5)的税收.设每件产品的日售价为x元(35x41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.解(1)设日销售量为,则=10,k=10e40,则日售量为件.则日利润L(x)=(x-30-a)=

9、10e40.答:该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)=10e40.(2)L(x)=10e40.当2a4时,33a+3135,当35x41时,L(x)0.当x=35时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;当4a5时,35a+3136,令L(x)=0,得x=a+31,易知当x=a+31时,L(x)取最大值为10e9-a.综上,得L(x)max=答:当2a4时,若每件产品的日售价35元,L(x)取最大值为10(5-a)e5;当40;当x(6,8)时,g(x)0),生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且函数解析式为y2=2x3-x2(x0),要使利

10、润最大,则该产品应生产()A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台答案A解析设利润为y万元,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x0),y=-6x2+36x=-6x(x-6),令y=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点,应生产6千台该产品.故选A.12.如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-ABCD.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k0),下部主体造价与高度成

11、正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10 m,AB=8 m的仓库,则当总造价最低时,PO=()A. mB. mC.4 mD.4 m答案B解析如图,设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.由于PO平面ABCD,则有POOE.在RtPOE中,设PEO=,则有PO=4tan ,PE=,所以上部屋顶面积为S=4SPBC=,下部主体的高度为h=10-4tan ,所以仓库的总造价为y=Sk+h8k=32k+80k.设f()=0,所以f()=.令f()=0,得sin =,所以=.则当0时,f()0,f()在0,上单调递减;当0,f()在上单调递增;所以当=时,f()有最小值,此时总造价最低,

12、PO= m.13.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为元时利润最大,利润的最大值为元.答案3023 000解析设该商品的利润为y元,由题意知,y=Q(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,则y=-3p2-300p+11 700,令y=0得p=30或p=-130(舍),当p(0,30)时,y0,当p(30,+)时,y0,f(x)单调递增,x时,f(x)0,f(x)单调递减,故当x=时,f(x)取最大值.15.已知某公司生产一种零件的年固定成本

13、为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)=为使公司获得最大利润,则应将年产量定为千件.(注:年利润=年销售收入-年总成本)答案25解析设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)=当010时,W(x)=190-3x=190-+3x190-2=190-275=40,当且仅当=3x,即x=25时,等号成立.综上所述,当x=25千件时,年利润最大.16.已知正三棱锥的体积为,则其表面积的最小值为.答案6解析设正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂

14、直AB于D,连接SD,AB=a,SO=h.SO底面ABC,AB底面ABC,ABSO,SOOD.又ABOD,SOOD=O,AB平面SOD.又SD平面SOD,ABSD,即SD为SAB的高,三棱锥体积a2h,得a2h=12,又O为底面中心,OD=ABsin 60=a,SD=,三棱锥的表面积S=a2+3aa2+,将a2=代入得S=3.S=3,令S=0,得h3-2-2=0,令=t(t0),上式可化为t2-2t-3=0,解得t=3,或t=-1(舍),=3,得h=2.当0h2时,S2时,S0,故S在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时S=3=6.17.如图所示,有甲、

15、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边A处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂位于离海岸40 km的B处,乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,则供水站C建在何处才能使水管费用最省?解设C点距D点x km,则AC=50-x(km),所以BC=(km).又设总的水管费用为y元,依题意,得y=3a(50-x)+5a(0x50).y=-3a+.令y=0,解得x=30.在(0,50)上,y只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在x=30 km处取得最小值,此时AC=50-x=20(km).故供水站建在A,D之

16、间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.18.(2020江西新余一中高二月考)某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+-17(万元).已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润p(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是

17、多少?(取e320)解(1)已知每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.依题意,得当0x7时,p(x)=6x-x2-2x-2=-x2+4x-2;当x7时,p(x)=6x-6x+ln x+-17-2=15-ln x-.p(x)=(2)当0x7时,p(x)=-(x-6)2+10,当x=6时,p(x)的最大值为p(6)=10(万元).当x7时,p(x)=15-ln x-,p(x)=-,当7x10,当x=e320时,p(x)取得最大值11万元,即当年产量约为20万件,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元.学科素养拔高练19.(2020江苏高三模拟)为了提升学生“数学建模”的核

18、心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27 cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大?解设三棱柱的底面边长为x cm,即A1C=x,则A1A=27-x.因为ABC为等边三角形,所以三棱柱的高为(27-x)=(27-x).(1)因为三棱柱的底面积为xxx2,侧面积为3x(27-x)=(27x-x2),所以x2=(27x-x2),解得x=18或x=0(舍去).即三棱柱的底面边长为18 cm.(2)三棱柱的体积V=x2(27-x)=(27x2-x3).因为x0,(27-x)0,所以0x27.因为V=(54x-3x2)=x(18-x),所以当0x0,V单调递增;当18x27时,V0,V单调递减.所以当x=18时,V取到极大值,也是最大值,Vmax=(27182-183)=.即当底面边长为18 cm时,三棱柱的体积最大,最大值为 cm3.