2021届统考数学（理科）第二轮专题复习学案：第13讲　直线与圆 WORD版含解析.docx

1、第13讲直线与圆高考年份全国卷全国卷全国卷2020直线与圆的位置关系,圆的几何性质T11圆心到直线距离的计算T5导数的几何意义、直线与圆相切T102019圆与圆的位置关系,圆与双曲线的综合T112018直线的方程、圆的方程、点到直线的距离T61.2020全国卷若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()A.55B.255C.355D.4552.2020北京卷已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.73.2020全国卷若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+1

2、2C.y=12x+1D.y=12x+124.2018全国卷直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,325.2020浙江卷已知直线y=kx+b(k0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=,b=.6.2020江苏卷在平面直角坐标系xOy中,已知P32,0,A,B是圆C:x2+y-122=36上的两个动点,满足PA=PB,则PAB面积的最大值是.直线的方程及应用1(1)直线l:2x-y+e=0的倾斜角为,则sin(-)sin2+的值为()A.-25B.-15C.15

3、D.25(2)若O为坐标原点,P是直线x-y+2=0上的动点,则|OP|的最小值为()A.22B.2C.3D.2(3)正方形ABCD的两个顶点A,B在直线x+y-4=0上,另两个顶点C,D分别在直线2x-y-1=0,4x+y-23=0上,那么正方形ABCD的边长为.【规律提炼】直线的方程及其应用主要考查直线的倾斜角、直线与直线的位置关系、点到直线的距离等问题,一般比较简单,属容易题.测题1.已知0x22,0y22,且M=(2-x)2+y2+x2+(2-y)2+(2-x)2+(22-y)2+(22-x)2+(2-y)2,则M的最小值为()A.22B.23C.2D.422.将直线l:y=2x+1绕

4、点A(1,3)按逆时针方向旋转45得到直线l,则直线l的方程为()A.2x-y+1=0B.x-y+2=0C.3x-2y+3=0D.3x+y-6=0圆的方程及应用2(1)若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.(-,0C.0,+)D.5,+)(2)如图M5-13-1,现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个,在水平桌面上无滑动滚动一周,它们的中心的运动轨迹长度分别为l1,l2,l3,l4,则()图M5-13-1A.l1l2l3l4B.l1l2l3=l4C.l1=l2=l3=l4D.l1=l2=l30且1时,点P的轨迹

5、是个圆,我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.(3)已知两定点A,B,动点P满足PAPB=,确定隐形圆.(4)已知两定点A,B,动点P满足|PA|2+|PB|2是定值,确定隐形圆.测题1.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为()A.x2+y2-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0D.x2+y2-2x+2y-56=02.已知圆C与直线l:x+y+2=0和圆M:x2+y2+12x+12y+54=0都相切,则半径最小的圆C的标准方程为()A.(x+2)2+(y+2)2=2B.(x-2)2+(y-2)2=2

6、C.(x-4)2+(y-4)2=4D.(x+4)2+(y+4)2=43.已知圆O:x2+y2=1和A-12,0,若定点B(b,0)b-12和常数满足对圆O上任意一点M,都有|MB|=|MA|(0且1),则=,MAB面积的最大值为.直线与圆、圆与圆的位置关系3(1)若过点P(3,1)的直线l是圆C:(x-23)2+y2=4的一条对称轴,将直线l绕点P逆时针旋转30得到直线l,则直线l被圆C截得的弦长为()A.4B.23C.2D.1(2)过直线x+y+2=0上一点P作圆C:(x-3)2+(y+1)2=16的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),若y22-y12=(x1-x2)(x

7、1+x2-2),则|PA|=()A.8B.45C.413D.10(3)2020全国卷已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|AB|最小时,直线AB的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0【规律提炼】直线与圆的位置关系既可以从几何的角度来探索,又可以从方程的角度来解决一些度量问题,体现数形结合的思想.对这类问题的考查,一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线、圆与圆的位置关系、圆的几何性质等,解答此类问题,“圆的特征直角三角形”“垂径定理”“切线三角形”等

8、是关键.测题1.如图M5-13-2,已知A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧,CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧,BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧,三段弧构成曲线W.下列关于曲线W的说法中,正确的个数为()曲线W与x轴围成的封闭图形的面积为2;曲线W上共有5个整点(横、纵坐标均为整数的点);CB所在圆与BA所在圆的公共弦所在直线的方程为x-y=0.图M5-13-2A.0B.1C.2D.32.已知直线y=-x被圆M:x2+y2+Ey=0(E0),则圆的半径为a.由(a-2)2+(a-1)2=a2,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1

9、,1)或(5,5).因为点(1,1)到直线2x-y-3=0的距离为|-2|5=255,点(5,5)到直线2x-y-3=0的距离为|2|5=255,所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为255.2.A解析设圆心为C(a,b),则C:(x-a)2+(y-b)2=1.因为圆C过点(3,4),所以(3-a)2+(4-b)2=1,所以圆心C的轨迹是以A(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以圆心C到原点O的距离的最小值为|AO|-1=5-1=4.故选A.3.D解析设直线l与曲线y=x相切于点(x0,x0)(x00),因为y=12x,所以直线l的方程是y-x0=12x0(x-x0),即x-2x0y+x0=0,

10、又直线l与圆x2+y2=15相切,所以|x0|1+(2x0)2=|x0|1+4x0=15,得x0=1,所以l的方程为x-2y+1=0,故选D.4.A解析由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为|2+0+2|2=22.设点P到直线AB的距离为d,圆(x-2)2+y2=2的半径为r,则d22-r,22+r,即d2,32,又ABP的面积SABP=12|AB|d=2d,所以ABP面积的取值范围是2,6.5.33-233解析方法一:由题意可得,圆心(0,0)和(4,0)到直线kx-y+b=0的距离都是1,则|b|k2+1=1,|4k+b|k2+1

11、=1,得|b|=|4k+b|.若b=4k+b,则k=0,舍去;若-b=4k+b,则b=-2k,则|-2k|k2+1=1,解得k=33(负值舍去),所以b=-233.方法二:如图所示,两圆都与直线相切,则RtODBRtACB,则B(2,0),AB=2,又AC=1,所以ABC=30,k=tan30=33.所以直线方程为y=33(x-2),所以b=-233.6.105解析因为PA=PB,CA=CB,所以PCAB.设C到AB的距离为d,则0d6,易知当P,C在AB同侧,且P到AB的距离大于d时,PAB的面积S能取到最大值,所以S=12236-d2(d+1)=(36-d2)(d+1)2.令f(d)=(d

12、+1)2(36-d2),0d0,得0d4,由f(d)0,得4d0,5-a2,5-a1,解得a1,因此实数a的取值范围是(-,1.故选A.(2)由题意可知,它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆,设圆的半径分别为r1,r2,r3,r4,则由题意可知,r1=22,r2=12sin3622,1,r3=1,r4=1,得r1r2r3=r4.因为l1=2r1,l2=2r2,l3=2r3,l4=2r4,所以l1l2l3=l4,故选B.【自测题】1.C解析因为线段AB的中点坐标为(2,4),直线AB的斜率为6-24-0=1,所以线段AB的垂直平分线方程为y-4=-(x-2),即y=6-x,与直线l的方程联立,得圆

13、心坐标为(3,3).因为圆C的半径r=(3-0)2+(3-2)2=10,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10,即x2+y2-6x-6y+8=0.故选C.2.A解析由题得圆M的标准方程为(x+6)2+(y+6)2=18,则圆心为M(-6,-6),半径r=32,点M到直线l:x+y+2=0的距离d=|-6-6+2|2=52.设四个选项中圆的圆心分别为点A,B,C,D,显然以B和C为圆心的圆不可能既与圆M相切又与直线l相切,而圆D与圆M和直线l都不相切,只有圆A与圆M和直线l都相切.故选A.3.234解析设M(x,y),由|MB|=|MA|,得(x-b)2+y2=2x+122+y2,整理

14、得x2+y2-2b+21-2x+b2-1421-2=0,所以2b+21-2=0,b2-1421-2=-1,解得=2,b=-2.易知当M的坐标为(0,1)或(0,-1)时,SMAB取得最大值,最大值为12132=34.小题3例3(1)B(2)A(3)D解析(1)由题意知,点P在圆C上,且圆心C在直线l上,所以|PC|=2.如图,设l与圆C交于P,Q两点,线段PQ的中点为H,连接HC,则在RtPHC中,|PH|=|PC|cos30=3,故直线l被圆C截得的弦长为2|PH|=23.故选B.(2)连接AB,PC,AC,取AB的中点Q,易知C(3,-1),设E(1,0),由y22-y12=(x1-x2)

15、(x1+x2-2),得y2-y1x2-x1y1+y22x1+x22-1=-1,即kABkEQ=-1,ABEQ,P,C,E三点共线.设P(a,-a-2),则-a-2+1a-3=-1-03-1,解得a=-5,则P(-5,3),|PA|=|PC|2-16=80-16=8,故选A.(3)连接AM,BM,由题知M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.设|PM|=t,则|PA|=t2-4.四边形APBM的面积S=|PA|AM|=12|AB|PM|,|AB|=2|PA|AM|PM|=2t2-42t,|PM|AB|=4t2-4.要使|PM|AB|最小,只需t最小,当且仅当PMl时,|PM|取得最小值,A

16、Bl,排除A,C,此时t=5,|AB|=45,检验B,D选项可知D正确.故选D.【自测题】1.C解析曲线W与x轴围成的封闭图形的面积S=1212+1412+1412+12=+2,故错误;曲线W上有点(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,1),(2,0),共5个整点,故正确;BA所在圆的方程为(x-1)2+y2=1,CB所在圆的方程为x2+(y-1)2=1,两圆的方程相减得x-y=0,故正确.故选C.2.A解析x2+y2+Ey=0可化为x2+y+E22=E24,可知圆心为M0,-E2,半径rM=-E2,圆心M0,-E2到直线x+y=0的距离d=|-E2|2,由d=r2-(222)2=E2

17、4-2=|-E2|2,解得E=-4或E=4(舍去),M(0,2),rM=2.圆N的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心为N(1,1),半径rN=1,(0-1)2+(2-1)2=2,rM+rN=3,rM-rN=1,rM-rN2rM+rN,则圆M与圆N相交,故选A.3.955解析圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),半径为3,直线l:y=kx+2过定点G(0,2),连接BC,AC,则|PC|=|BC|cosPCB=3cosPCB,要使|PC|最小,则cosPCB最大,即PCB最小,也就是|AB|最小,此时ABCG,由|CG|=5,得cosPCB=53,线段PC长度的最小值是353=955.