2021届高中数学统考第二轮专题复习 第17讲 排列、组合与二项式定理限时集训（理含解析）.docx

1、第17讲 排列、组合与二项式定理基础过关1.金庸先生的武侠小说射雕英雄传第12回中有这样一段情节,“洪七公道:肉只五种,但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有几般变化,我可算不出了.”现有五种不同的肉,任何两种(含两种)以上的肉混合后的滋味都不一样,则混合后可以得到的所有不同的滋味种数为()A.20B.24C.25D.262.甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖,要求甲排在乙前面,丙与丁不相邻且均不排在最后,则抽奖的顺序有()A.72种B.144种C.360种D.720种3.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同1级台阶上的人不区分站的位置,则不同的

2、站法总数是()A.90B.120C.210D.2164.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图X17-1,是利用算筹表示数19的一种方法.例如,3可表示为“”,26可表示为“”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用19这9个数字表示两位数的个数为()图X17-1A.13B.14C.15D.165.某校周五的课程表设计中,要求安排8节课(上午4节、下午4节),分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各1节,其中生物只能安排在第1节或最后1节,数学和英语在安排时必须相邻(注:上午的最后1节与下午的第1节不记作相邻

3、),则周五的课程顺序的安排方法共有()A.4800种B.2400种C.1200种D.240种6.(x2+2x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.30B.40C.60D.1207.安排4名男生和4名女生参与完成3项工作,每人参与1项,每项工作至少由1名男生和1名女生完成,则不同的安排方式共有种(用数字作答).8.将6个不同的球全部放到编号分别为1,2,3的盒子中,每个盒子中的球数和编号一致,共有种不同的放法.9.在x+1xn的展开式中,各项系数之和为64,则展开式中的常数项为.10.(x+2)(x+1)4的展开式中x3的系数为.11.若a55,则x2y2-ayx6的展开式中的常数项的最小

4、值为.12.设(x+1)n=an(x-1)n+an-1(x-1)n-1+a1(x-1)+a0,若an+an-1+a1+a0=729,则a3=.能力提升13.对n个不同的实数a1,a2,an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3+(-1)nnain,i=1,2,3,n!.例如,用1,2,3可得数阵如图X17-2所示,对于此数阵中每一列各数之和都是12,所以b1+b2+b6=-12+212-312=-24.则在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b1+b2+b120等于()图X17-2A.-3600B.-1800

5、C.-1080D.-72014.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现,欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图X17-3,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为.图X17-315.为了积极开展疫情期间的复学工作,市教育局抽调5名机关工作人员去某街道三所不同的学校开展驻点服务,每个学校至少去1人,若甲、乙2人不能去同一所学校,则不同的分配方法种数为.16.“学习强国”

6、学习平台是由中宣部主管,以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块,某人在学习过程中,将六大板块各完成一次,则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有种.17.设集合A=(m1,m2,m3)|mi-2,0,2,i1,2,3,则集合A中满足条件:“2|m1|+|m2|+|m3|5”的元素个数为.18.设函数f(x)=4x-2x+1+32x(

7、x0)的最小值为m,且(x+1)m+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a10(x+2)10+a11(x+2)11,则m=,a1=.限时集训(十七)1.D解析混合后可以得到的所有不同的滋味种数为C52+C53+C54+C55=20+5+1=26(种),故选D.2.B解析第一步,先排甲、乙、戊、己,甲排在乙前面,则有A442种排法.第二步,再将丙与丁插空到第一步排好的序列中,但注意到丙与丁均不排在最后,故有4个空可选,所以有A42种插空方法.根据分步乘法计数原理,知抽奖的顺序有A442A42=144(种).故选B.3.C解析因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,且每级台阶最

8、多站2人,所以分为两类:第一类,甲、乙、丙各自站在1级台阶上,共有C63A33=120(种)站法;第二类,有2人站在同1级台阶上,剩余1人独自站在另1级台阶上,共有C32C62A22=90(种)站法.所以每级台阶最多站2人,同1级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是120+90=210.故选C.4.D解析根据题意,现有6根算筹,可以表示的数字组合为(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,3),(3,7),(7,7).数字组合(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,7)中,每组可以表示2个两位数,则共可以表示27=

9、14(个)两位数;数字组合(3,3),(7,7)中,每组可以表示1个两位数,则共可以表示21=2(个)两位数.则一共可以表示14+2=16(个)两位数.故选D.5.B解析分步排列,第一步:因为生物只能安排在第1节或最后1节,所以生物有A21=2(种)安排方法;第二步:因为数学和英语在安排时必须相邻,注意数学和英语之间还有一个排列,所以有5A22=10(种)安排方法;第三步:剩下的5节课安排5科课程,有A55=120(种)安排方法.根据分步乘法计数原理知共有210120=2400(种)安排方法.故选B.6.C解析(x2+2x+y)5=(x2+2x)+y5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x2+2

10、x)5-ryr.由题意可知r=2,此时(x2+2x)3=x3(x+2)3,其展开式中x5的系数为C3221=6,x5y2的系数为C526=60.故选C.7.1296解析由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成,则先从4名男生选2名为一组,将4人分成三组,所以男生的排法共有C42A33=36(种),同理,女生的排法共有C42A33=36(种),故不同的安排方法共有C42A33C42A33=1296(种).故答案为1296.8.60解析由题意知共有C61C52=60(种)不同的放法.9.15解析x+1xn的展开式中各项系数之和为2n=64,所以n=6,所以x+1x6的展开式的通项为Tr+1=C6r

11、(x)6-r1xr=C6rx6-3r2.令6-3r2=0,得r=2,故展开式中的常数项为C62=15.10.14解析(x+1)4的展开式中的第k+1项为Tk+1=C4kx4-k,当k=2时,x3的系数为C42=6;当k=1时,x3的系数为2C41=8.故x3的系数为8+6=14.11.35解析x2y2-ayx6的展开式的通项为C6rx2y26-r-ayxr=C6r(-a)rx12-3ry3r-12,令12-3r=0,得r=4,则常数项为C64a4=15a415554=35.12.160解析原式=2+(x-1)n,令x-1=1,则x=2,所以3n=an+an-1+a1+a0=729=36,所以n

12、=6.展开式中含(x-1)3的项为C6323(x-1)3=160(x-1)3,故a3=160.13.C解析由题意可知,数阵中行数为5!=120,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,每一列各数字之和都是5!5(1+2+3+4+5)=360,所以b1+b2+b120=360(-1+2-3+4-5)=360(-3)=-1080.故选C.14.56解析由题意知第10行的数就是二项式(a+b)10的展开式中各项的二项式系数,因此从左至右第5与第6个数的比值为C104C105=56.15.114解析分四种情况:安排甲去一所学校有C31种方法,安排乙去第二所学校有C21种方法,余下3人去第三所学校有1种方法

13、,此时共有C31C211=6(种)分配方法.安排甲去一所学校有C31种方法,安排乙去第二所学校有C21种方法,余下的3人中2人一起去第三所学校有C32种方法,另1个人去前两所学校中任意一所有C21种方法,此时共有C31C21C32C21=36(种)分配方法.安排甲去一所学校有C31种方法,安排乙去第二所学校有C21种方法,余下的3人中1人去第三所学校有C31种方法,另外2人一起去前两所学校中任意一所有C21种方法,此时共有C31C21C31C21=36(种)分配方法.安排甲去一所学校有C31种方法,安排乙去第二所学校有C21种方法,余下的3人中1人去第三所学校有C31种方法,另外2人分别去前两

14、所学校中任意一所有A22种方法,此时共有C31C21C31A22=36(种)分配方法.综上,共有6+36+36+36=114(种)分配方法.16.432解析根据题意,学习方法分为两类:第一类,在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块,这样的学习方法数为A22C41A44=2144321=192;第二类,在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间不间隔答题板块,这样的学习方法数为A22A55=2154321=240.因此“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法数为192+240=432.17.18解析对于2|m1|+|m2|+|m3|5分以下

15、几种情况:|m1|+|m2|+|m3|=2,此时集合A的元素含有一个2或-2,两个0,2或-2从三个位置选一个有3种选法,剩下的位置都填0,此时集合A中有32=6(个)元素满足条件.|m1|+|m2|+|m3|=4,此时集合A中的元素含有两个2,一个0,或两个-2,一个0,或一个2,一个-2,一个0.若是两个2,一个0,或两个-2,一个0,从三个位置任选一个填0,剩下的两个位置都填2或-2,此时集合A中有32=6(个)元素满足条件;若是一个2,一个-2,一个0,对这三个数全排列即得集合A中有321=6(个)元素满足条件.集合A中满足条件“2|m1|+|m2|+|m3|5”的元素个数为6+6+6=18.18.29解析f(x)=4x-2x+1+32x=2x+32x-2,令t=2x(0,1,因为函数y=t+3t-2,t(0,1为减函数,所以当t=1时,ymin=2,即m=2,所以(x+1)m+(x+1)11=(x+2-1)2+(x+2-1)11.因为(x+2-1)11的展开式的通项为C11r(x+2)11-r(-1)r,所以当11-r=1,即r=10时,x+2的系数为11.又(x+2-1)2=(x+2)2-2(x+2)+1,所以a1=11-2=9.