2023年5月福州市普通高中毕业班质量检测 数学含答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司（在此卷上答题无效）2023 年 5 月福州市普通高中毕业班质量检测数学试题（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！第卷一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=2,3,5,7,8 =1,5,8,9,=3,5,8,则 a=A.2B.3C.6D.72.在复平面内,复数1 对应的点位于第二象限,则复数 z 对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量 在单位向量 上的投影向量为-4a,则 +=A.-

2、3B.-1C.3D.54.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国,扎实推动乡村振兴”的目标,银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据,建立了实际还款比例 P 关于贷款人的年收人 x(单位:万元)的 Logistic 模型:0.96800.96801kxkxeP xe 已知当贷款人的年收人为 8 万元时,其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为 40%,则贷款人的年收人为(精确到 0.01 万元,参考数据:ln 3 1.0986,ln 2 0.6931)A.4,65 万元B.5.63 万元C.6.40 万元D.10.00 万元5.已知ABC 的外接圆半径为 1,=3,则 cos +

3、cos =A.12B.1C.32D.36.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一,登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有 6 名划手,其中有 2 名只会划左桨,2 名只会划右桨,2 名既会划左桨又会划右桨.现从这 6 名划手中选派 4 名参加比赛,其中 2 名划左桨,2 名划右桨,则不同的选派方法共有A.15 种B.18 种C.19 种D.36 种7.已知 m,n 为异面直线,平面,n平面.若直线 ,则A./,/B.,C.与相交,且交线垂直于 lD.与相交,且交线平行于 l8.已知 0,函数 =1,=2+2 +2.若 ,则 的取值范围是,学科网（北京）股份有限公司.,2B.(-,-1)C

4、.(-,-12)D.2,0二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.已知互不相同的 9 个样本数据,若去掉其中最大和最小的数据,则剩下的 7 个数据与原 9 个数据相比,下列数字特征中不变的是A.中位数B.平均数C.方差D.第 40 百分位数10.已知椭圆 C:2+2=,其中 p,q,r 成公比为 2 的等比数列,则A.C 的长轴长为 2B.C 的焦距为 2 2C.C 的离心率为22D.C 与圆 3 2+2=1 有 2 个公共点11.如图,一个半径为 3m 的筒车

5、,按逆时针方向匀速旋转 1 周.已知盛水筒 P 离水面的最大距离为 5.2m,旋转一周需要 60s.以 P 刚浮出水面时开始计算时间,P 到水面的距离 d(单位:m)(在水面下则 d 为负数)与时间 t(单位:s)之间的关系为=sin +0,0,2 2,0,60,下列说法正确的是A.=2.2B.=30C.sin =2.23D.P 离水面的距离不小于 3.7m 的时长为 20s12.已知函数 定义域为 R,满足 +2=12 ,当 1 1 时,=.若函数 的图象与函数 =12+122023 2023的图象的交点为(1,1),(2,2),.,(,),(其中 表示不超过 x 的最大整数),则A.g(x

6、)是偶函数B.2024C.=1=0D.=1=21012 21011第 II 卷注意事项:用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知变量 x 和 y 的统计数据如下表:x678910y3.54566.5若由表中数据得到经验回归直线方程为y=0.8+,则 =10 时的残差为_.(注:观测值减去预测值称为残差).学科网（北京）股份有限公司14.写出经过抛物线2=8的焦点且和圆2+1 2=4 相切的一条直线的方程_.15.已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上,其上、下底面半径分别为

7、4 和5,则该圆台的侧面积为_.16.不等式 sin4 +16的解集为_.四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)如图,直线1/2,线段 DE 与 1,2 均垂直,垂足分别是 E,D,点 A 在 DE 上,且=1,=2.,B 分别是 1,2上的动点,且满足=3,设 =,ABC 面积为 S(x),(1)写出函数解析式 S(x);(2)求 S(x)的最小值.18.(12 分)学校有 A,B 两家餐厅,周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐.第 1 天午餐选择 A餐厅的概率是13,如果第 1 天去 A 餐厅,那么第 2 天去 A 餐厅的概率

8、为35;如果第 1 天去 B 餐厅,那么第 2 天去 A 餐厅的概率为34.(1)记周同学前两天去 A 餐厅的总天数为 X,求 X 的数学期望;(2)如果周同学第 2 天去 B 餐厅,那么第 1 天去哪个餐厅的可能性更大?请说明理由.19.(12 分)如图,四边形 11是圆柱的轴截面,1是母线,点 D 在线段 BC 上,直线1/平面 1.(1)记三棱锥 1 的体积为 1,三棱锥 1 的体积为 2,证明:2=21;(2)若 =2,=4,直线 1到平面1的距离为43,求直线 1与平面 1所成角的正弦值.学科网（北京）股份有限公司20.(12 分)已知数列 满足1=2=1,+2+10=2+1+2.(

9、1)若=+1 ,求数列 的通项公式;(2)求使 取得最小值时 n 的值.21.(12 分)已知双曲线 C:2222 1(0)0)xyabab的右顶点为 A,O 为原点,点 P(1,1)在 C 的渐近线上,PAO 的面积为12.(1)求 C 的方程;(2)过点 P 作直线 l 交 C 于 M,N 两点,过点 N 作 x 轴的垂线交直线 AM 于点 G,H 为 NG 的中点，证明：直线 AH 的斜率为定值.22.(12 分)已知 ,函数 =1 1.(1)讨论()在(-,b)上的单调性;(2)已知点(,).(i)若过点 P 可以作两条直线与曲线=1+1 1 3 相切,求的取值范围;(ii)设函数12

10、21,11()ln(1)1,11xexh xxexe 若曲线=上恰有三个点 =1,2,3 使得直线 与该曲线相切于点,写出 m 的取值范围(无需证明).高二数学参考答案（第 1页 共 9页）质量抽测数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应

11、得的累加分数。4只给整数分数。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分1B2C3A4A5D6C7D8C二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分9AD10BC11ABD12BC三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 0.1142x，3460 xy（写其中一条直线方程即可）15 9 10162,3四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17【命题意图】本小题主要考查三角恒等变换、三角函数及其性质等基础知识；考查运算求解能力、数学建模能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养的

12、关注；体现基础性和应用性，满分 10分【解答】（1）由ABDx，则0,3x，1 分因为6CAEx，2 分所以1cos6ACx，3 分2sinABx，4 分高二数学参考答案（第 2页 共 9页）所以13()sin232cossin6S xAC ABxx，0,3x.5 分（2）由（1），3312sincossin22S xxxx6 分331cos2sin 222xx 7 分2 32sin 216x8 分因为0,3x，52666x，所以2sin 216x的取值范围是0,1，9 分所以 S x 的最小值为 2 3，此时6x 10 分18【命题意图】本小题主要考查随机变量的分布列与期望、条件概率与全概率

13、公式等知识；考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑思维能力；考查统计与概率思想、分类与整合思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象、数据分析等核心素养的关注；体现综合性和应用性，满分 12 分【解答】设 Ai=“第 i 天去 A 餐厅用餐”（i=1,2），Bj=“第 j 天去 B 餐厅用餐”（j=1,2），1 分则 A1 与 B1 对立，A2 与 B2 对立（1）依题意得，X=0,1,2 2 分 121211310|1(1)346P XP B BP BP BB，3 分 121212121211211)(|P XP A BB AP A BP B AP A P BAP BP AB，所以

14、1313191(1)1353430P X，4 分 121211312|355P XP A AP A P AA，5 分则 X 的分布列为：X012P16193015所以119131012630530E X 6 分（2）由全概率公式，得 2121121|P BP A P BAP BP BB13233(1)(1)353410，8 分高二数学参考答案（第 3页 共 9页）所以 121211222131|435|3910P A BP A P BAP A BP BP B，9 分所以121245|1|199P B BP A B ，10 分所以1212|P A BP B B，11 分所以如果周同学第 2 天去

15、 B 餐厅，那么第 1 天去 B 餐厅的可能性更大12 分解法二：（1）同解法一.6 分（2）12121212()()(|)5315P A BP A P BA，8 分12211121()(|)()436P B BP BB P B，9 分所以1212()()P A BP B B，10 分因为12122()(|)()P A BP ABP B，12122()(|)()P B BP BBP B，所以1212(|)(|)P ABP BB，11 分所以如果周同学第 2 天去 B 餐厅，那么第 1 天去 B 餐厅的可能性更大12 分19【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等

16、基础知识；考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；涉及的核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性满分 12 分【解答】（1）设圆柱的高 BB1=h，连接 A1B 交 AB1 于点 E，连接 DE，1 分因为 A1C/平面 AB1D，平面 A1CB平面 AB1D=DE，A1C平面 A1CB，所以 A1C/DE，3 分又因为 E 是 A1B 的中点，所以 D 是 BC 中点 4 分所以12ABDABCSS，所以21112233ABCABDVShShV 5 分（2）如图，分别以 CB，CA，1CC为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐

17、标系 Cxyz，则(0,2,0)A，(4,0,0)B，(2,0,0)D，1(4,0,)Bh，高二数学参考答案（第 4页 共 9页）所以1(4,2,)ABh，(2,2,0)AD，(2,0,0)CD 6 分设平面 AB1D 的一个法向量为111(,)x y zm，则11111420,220,xyhzxy取12z ，得(,2)h hm，8 分因为 A1C 到平面 AB1D 的距离即点 C 到平面 AB1D 的距离，所以|4|3CD mm，即222434hhh，解得4h，9 分所以(4,4,2)m，因为1(0,0,2)CC，所以111|2 21|cos,|3|62CCCCCC mmm，11 分所以直线

18、 CC1 与平面 AB1D 所成角的正弦值为 13 12 分解法二：（1）同解法一；5 分（2）如图，分别以 CB，CA，1CC为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Cxyz，则(0,2,0)A，(4,0,0)B，(2,0,0)D，1(4,0,)Bh，所以1(4,2,)ABh，(2,2,0)AD，(2,0,0)CD 6 分设平面 AB1D 的一个法向量为111(,)x y zm，则11111420,220,xyhzxy取12z ，得(,2)h hm，8 分因为 A1C 到平面 AB1D 的距离即点 C 到平面 AB1D 的距离，高二数学参考答案（第 5页 共 9页）所以|1|CD m

19、m，即222434hhh，解得4h，9 分因为 CC1/BB1，所以直线 CC1 与平面 AB1D 所成角与直线 BB1 与平面所成角相等，设为10 分因为 D 是 BC 的中点，所以点 B 到平面 AB1D 的距离 d 与 C 到平面 AB1D 的距离相等，即43d 所以1413sin43dBB，所以直线 CC1 与平面 AB1D 所成角的正弦值为 13 12 分20【命题意图】本小题主要考查数列的通项、数列的单调性和最值、数列求和等基础知识；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性、综合性和创新

20、性，满分 12 分【解答】（1）依题意，10b，1 分1210nnbbn，2 分于是当2n时，111111210nniiinibbbbi2422101nn21110nn5 分即21110nbnn，又10b 也符合上式，所以21110nbnn 6 分（2）由（1）可知1110nnnbaann，7 分当 29n时，0nb，即1nnaa，当11n时，0nb，即1nnaa，10 分当1n 或10 时，0nb，即1nnaa，11 分所以na 取得最小值时10n 或11 12 分21【命题意图】本小题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑思维能力，

21、空间想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想；导向对发展直观想象，逻辑推理，高二数学参考答案（第 6页 共 9页）数学运算等核心素养的关注；体现综合性与创新性，满分 12 分【解答】（1）因为(1,1)P在 C 的渐近线byxa上，所以 ab，1 分因为(,0)A a，所以PAO的面积为122a，2 分解得1a ，所以1b ，3 分所以 C 的方程为221xy.4 分（2）当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)yk x，11(,)M x y，22(,)N xy，由221(1),1,yk xxy 得222(1)

22、2(1)220kxkk xkk，5 分22224(1)4(1)(22)88kkkkkk，由210,0,k 得1k 且1k ，则1221kxxk，2122221kkx xk6 分直线 AM 的方程为11(1)1yyxx，令2xx，得1221(1)(,)1y xG xx，7 分因为 H 为 NG 的中点，所以12212(1)1(,)2y xyxH x，所以122112212(1)1121211AHy xyxyykxxx，8 分因为1212121212(1)1(1)1112111111yyk xk xkxxxxxx，9 分又1212121221111()1xxxxx xxx10 分222212221

23、11kkkkkkk22k，11 分所以1AHk，所以直线 AH 的斜率为定值 12 分22.【命题意图】本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、零点等基础知识；考查运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和创新能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想；导向对发展数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现综合性与创新性，满分 12 分高二数学参考答案（第 7页 共 9页）【解答】解法一：（1）由1()()e,xfxxaxb，1 分当 ab 时，()0fx，故()f x 在(,)b上单调递减；2 分当 ab时，令()0fx，得 xa=，故当(,)

24、xa-时，()0fx，则()f x 在(,)a-上单调递减；当(,)xa b时，()0fx，则()f x 在(,)a b 上单调递增4 分综上所述，当 ab时，()f x 在(,)a-上单调递减，在(,)a b 上单调递增；当 ab 时，()f x在(,)b上单调递减（2）设切点为()11,Q x y，因为1exy，所以切线的斜率为1 1ex-；则切线方程为()1 111exyyxx-=-，5 分因为切线经过(,)P m m，所以()11111(e1)exxmmx-+=-，即()1 111(1)e10 13xxmmx-+-=-，若过点 P 可以作两条直线与曲线()1e113xyx-=+-相切，

25、则上述关于1x 的方程至少有两个不等的实根令()1(1)e1xG xxmm-=-+-，13x，6 分由（1）取3b 可得，当3m 时，()G x 在(1,3)-上单调递减，故()G x 在(1,3)-至多 1 个零点，不合题意，舍去；7 分当13m-+-解得2222e22e1e1e1m+-，此时过点 P 可以作两条直线与曲线()1e113xyx-=+-相切；9 分当1m-时，()G x 在(1,3)-上单调递增，故()G x 在(1,3)-至多 1 个零点，不合题意，舍去高二数学参考答案（第 8页 共 9页）综上所述，m 的取值范围是2222e2 2e1,e1e1+-10 分（ii）m 的取值

26、范围是2222e2 2e1,e1e1+-12 分解法二：（1）同解法一；4 分（2）设切点为()11,Q x y，因为1exy，所以切线的斜率为1 1ex-；则切线方程为()1 111exyyxx-=-，5 分因为切线经过(,)P m m，所以()11111(e1)e xxmmx-+=-，即()1 111(1)e10 13xxmmx-+-=-，若过点 P 可以作两条直线与曲线()1e113xyx-=+-=，所以当(1,1)(1,3)x -U时，()0G x，所以()G x 在(1,1)-单调递增，在(1,3)单调递增，8 分()G x 图象如下图所示：因为e1(0)e1G，222e1(3)e1G，(0)(3)GG，高二数学参考答案（第 9页 共 9页）22e2(1)e1G，(2)1G，(1)(2)GG，所以当2222e22e1e1e1m+-时，关于 x 的方程()11e111exxxm-+=-在(1,1)(1,3)-U上有两个不等的实数根，此时过点 P 可以作两条直线与曲线()1e113xyx-=+-相切，所以 m 的取值范围是2222e2 2e1,e1e1+-10 分（ii）m 的取值范围是2222e2 2e1,e1e1+-12 分