22、单线段最值问题整合.pdf

1、GyEADBFOC单线段最值问题（一）基本分类邓晋荣一、单动点若要求最值的线段一端为定点，另一端为动点，则需要研究动点所在轨迹，一般为圆或直线1.点在直线上运动点P是直线l上一动点，A是直线外一点，求 AP的最小值 过点 A 作 AP l，垂足为 P，则 AP AP AlPP2.点在圆上运动点 P 为 O 上一动点，A 是圆外一点，求 AP 的最值连接 AO 并延长，交O 于 P1、P2 两点，则 AP1 AP AP2 A2例1.如图，已知正方形 ABCD，AB 2，E、F 分别在 BC、CD 上运动，且 BE CF，AE、BF 交于点G，则CG 的最小值为例2.如图，在平面直角坐标系中，已知

2、点 A2,4，点 P 1,0 ，B 是轴 y 上一动点，过点 A作 AB AC 交 x 轴于点 C，M 是 BC 中点，则 PM 的最小值为例3.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点 A 在 y 轴上，OA 3，OC 4，D是线段 AB 上一动点，以 CD 为边在与点 B 同侧作正方形 CDEF，则 OE 的最小值为ADyFBEC例 1xx例 2例 3例4.如图，在边长为 a 的等边ABC中，AD BC，点 E 是直线 AD 上的一个动点，连接 CE，把线段CE 绕点 C 逆时针旋转60得到 CF，连接DF，则DF 的最小值为例5.如图，在 RtABC中，ACB 90，AC BC

3、 4，D 是 BC 边上一动点，连接 AD 交以 CD为直径的圆于点E，则BE的最小值为例6.如图，在ABC中，ACB 90，BAC 30，BC 2，D 是 AB 边上一点，以 AD为边在ABC外侧作等边ADE，过点D 作 DE 的垂线，F 是垂线上一点，G是EF 中点，则 CG 的最小值为POP1PBAMOPCEDEDDAOBCDPBCOAAABFGEDBCCACB例 6F例 4例 53.多动点转化为单动点（1）双动点转单动点例7.如图，在RtABC 中，C 90，AC 4，BC 3，D 是 AC 上一动点，DE AC，DF BC，则 EF 的最小值为例8.如图，A与 x 轴交于 B2,0、

4、C4,0 两点，点 P 是 y 轴上一动点，DP切A 于点 D，则 DP的最小值为AyExCFB例 8例 7（2）相对运动转化例9.如图，在坐标系中，点 A、B 分别在 x、y 轴上运动，且 AB 2，在第一象限作等边ABC，则 OC 的最大值为例10.如图，在坐标系中，点 A、B 分别在 x 轴、直线 y x 上运动，且 AB 2，以 AB 为边在点O 异侧作等边ABC，则OC 的最大值为yyxx例 10例 9二、圆中的弦圆中的弦，由半径与圆心角（圆周角）决定，若圆心角固定，则弦的最值转化为半径的最值 半径的最值问题可以转化为单动点问题，也可以由半径与弦的关系求得（0 l 2r）例11.如图

5、，在ABC中，AB AC 8，BAC 120，D 在线段 BC 上且 CD 3BD，点 E、F 分别在射线 BA、CA 上，若EDF 60，则EF 的最小值为CBOAQCCED例12.如图，已知 y 3 x2 9 x 6 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，D 是线段84BC 上一动点，P 是 AD 中点过点 D 分别作 AB、AC 的垂线，垂足为 E、F 两点，则 EF的最小值为例13.如图，在 RtABC中，AC 6，BC 8，P、Q 是 AC、BC 上的动点，CPQ的外接圆，恰好与直线AB相切，则PQ的最小值为CyADFBEA例 11xPCB例 13三、动态折叠例 12动态

6、折叠的情况更加复杂，可以转化为单动点问题，也可能无法转化例14.如图，在 RtABC中，ACB 90，AC 6，BC 4，D 是 AC 中点，E 在 BC上运动，沿 DE 折叠，使点C 落在C 处，则 BC 的最小值为例15.如图，在 RtABC中，ACB 90，AC 6，BC 8，D、E 分别是 AC、BC上的动点，沿 DE 折叠，使点C 落在C 处，则 AC 的最小值为例16.如图，已知等边ABC，边长为 4，D、E 是 AC、AB 上两动点，沿 DE 折叠，使点 A 恰好落到 BC 上，则CD 的最大值为AAADDCEBCEBBA例 14例 15例 16O EAPBDFCCyEADBFO

7、CEDBCM（从动点）单线段最值问题（二）连锁轨迹邓晋荣例1.如图，在ABC 中，AB 2，AC 3，以 BC 作等边BCD，B、D、C 三点为逆时针顺序，则 AD 的最大值为例2.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点 A 在 y 轴上，OA 3，OC 4，D 是线段 AB 上一动点，以 CD 为边在与点 B 同侧作正方形 CDEF，则 OE 的最小值为例3.如图，在边长为 a 的等边ABC中，AD BC，点 E 是直线 AD 上的一个动点，连接 CE，把线段CE 绕点 C 逆时针旋转60得到 CF，连接DF，则DF 的最小值为AABCBCxD例 1例 2例 3实际上，例 1 可

8、以修改如下：例4.如图，AC 3，点 B 在以 A 为圆心，半径为2 的圆上运动，以 BC 为边作等边BCD，B、C、D 三点为逆时针顺序，则 AD 的最大值为思考，我们能否证明点 D 也在某个圆上运动？如果把例 4 中的等边三角形改为等腰直角三角形呢？例5.如图，AC 3，点 B 在以 A 为圆心，半径为 2 的圆上运动，以 BC 为斜边作等腰直角BCD，B、C、D 三点为逆时针顺序，则 AD 的最大值为DDBACC例 4例 5如何准确确定动点所在的轨迹？直线轨迹的位置或者解析式，圆轨迹的圆心和半径。1.位似变换如图，A 是定点，点 P 在直线 BC（或 O）上运动，M 是 AP 中点A（定

9、点）M（从动点）A（定点）（主动点）P（从动点）MOA（定点）P（主动点）OBCP（主动点）BAF2P（主动点）CQ（从动点）2.旋转变换（旋转型全等）如图，A 是定点，点 P 在直线 BC（或 O）上运动，作等腰直角APQ，PAQ 90（此处可以看作点 P 绕点 A 逆时针旋转90）A（定点/旋转中心）（从动点）PQ（主动点）B（从动点）PA（定点/旋转中心）CQ（主动点）PA（定点）OCB（主动点）OQ（从动点）3.旋转位似变换（旋转型相似）如图，A 是定点，点 P 在直线 BC（或 O）上运动，作等腰直角APQ，APQ 90（此处可以看作点 P 绕点 A 逆时针旋转 45后，再以点 A

10、为位似中心扩大倍）A（定点）（主动点）PQ（从动点）A（定点）A（定点）BC（主动点）PB结论 1：若某动点（称为主动点）在某轨迹上运动，则与其连锁运动的点（称为从动点）也在同样的轨迹上运动。主动点在某直线上运动，从动点也在另一直线上运动；主动点在某圆上运动，从动点也在另一圆上运动。（此处的“连锁运动”即指主动点经过固定几何变换得到从动点）结论 2：若主动点圆上运动，则应该把圆心进行同样的几何变换，得到从动点的圆心；若主动点在直线上运动，则选择该直线上任意一点，进行同样的几何变换，变换后的点与从动点OO（从动点）QAECBOADOCPOB构成从动点所在直线。之后，再通过“手拉手”模型进行推导证

11、明。结论 3：主动点所在轨迹与从动点所在轨迹的长度之比等于位似比。例6.如图，在四边形 ABCD 中，ABC ADC 90，AD CD 2 2，E 是 BD 中点，则CE 的最小值为例7.如图，在坐标系中，点 A3,0，点 B 在直线 y 3x 3 上运动，以 AB 为边作等边ABC，B、A、C 三点为逆时针顺序，则OC 的最小值为例8.如图，AB 是O 的直径，C 是OB 上一点，P 是O 上一动点，以CP 为底边作等腰直角CPD，P、C、D 三点为逆时针顺序，若 AB 6，OC 2，则 AD 的最小值为DyPABBC例 6x例 8例 7例9.如图，点 O在线段 AB上，OA1，OB 2，以

12、点 O为圆心，OA长为半径作 O，点P 在O 上运动，以 BP 为边作BCP，使 PBC 90，tanBPC 2，P、B、C 三点为逆时针顺序，则AC的取值范围是例10.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A2,4，点 P1,0，B 是轴 y 上一动点，过点 A 作 AB AC 交 x 轴于点C，M 是 BC 中点，则 PM 的最小值为CyAx例 10例 9BAMOPC3OBDCAOBEFAOMCP单线段最值问题练习练1.如图，在 O 中，半径为6，C 是 O 上一动点，且 ACB30，延长 CB 交过点 A 的切线于点D，则BD的最小值为练2.如图，点 A 是直线 y x 上的动点，点 B 在

13、 x 轴上运动，作矩形 ABCD，AB 2，AD 1，A、B、C、D 四点为逆时针顺序，则OD 的最大值为练3.如图，在等边ABC 中，AB 3，点 D、E 分别在 BC、AC 上运动，且 BD CE，AD交 BE 于点 F，则 CF 的最小值为CyAADx练 1练 2BDC练 3练4.如图，在菱形 ABCD 中，AC 2，BD 4，P 是CD 上一动点，分别作点 P 关于 AC、AD 的对称点 P1、P2，则 P1P2 的最小值为练5.如图，已点 A3,0，C 0,4，C 的半径为2，点 P 是C 上一动点，M 是 AP 中点，则OM 的最小值为练6.如图，已知O 半径为3，A、B 是O 上

14、两点，将点 B 绕点 A 逆时针旋转90 得到点C，则 OC 的最小值为AyBDxBPC练 4练 6练 5练7.如图，AB 是O 的直径，C 是 AB 中点，D 是 BC 上一动点，过点C 作CE CD 交 AD于点 E，则 BE 的最小值为练8.如图，在等边ABC 中，D 是 BC 上一动点，M 是 AD 中点，将线段 DM 绕点 D 顺时针旋转60得到 DN 当点 D 从点 B 运动到点C 时，点 N 运动的轨迹长为练9.如图，已知定点 A 横坐标为 2，过点 A 且垂直于 x 轴的直线交 x 轴于点 M，交直线y x 于点 N P 是线段ON 上一动点，作APB，BAP 90，APB 3

15、0，A、P、B 三点为逆时针顺序当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的轨迹长为ACOADEDEOMNABOMPNPFDECAyABxBDC练 7练 8练 9练10.如图，AP 3，BP 4，作正方形 ABCD，A、B、C、D 四点为逆时针顺序，CP的最大值为练11.如图等边ABC中，P 是 AC 边上一动点，作BDP，PBD 30，PB PD，P、B、D 三点为逆时针顺序，则CD 的最小值为练12.如图，ABC，BAC DAE 90，AB 6，AC 8，F 是 DE 中点，若点 D 在直线 BC 上运动，连接CF，则线段CF 的最小值为ADAAPEDBCBCBCD练 10练 11练 12练13.如图，已知菱形 ABCD，AB 8，BAD 60，P 在线段 BC 上，CP 3，Q 是 AD上一动点，沿 PQ 折叠四边形 ABPQ，得到四边形 ABPQ，当 DB 最小时，DQ 的值为练14.如图，在ABC中，C 30，AC 3，3 BC 6，点 D、E 分别在 AB、AC上，将ADE 沿 DE 折叠，使点 A 恰好落在 BC 上，则CE 的最大值为AQDABPC练 13BAC练 14