29、弦图及推广图在三角形面积最大值中的应用.pdf

1、弦图及推广图在某些三角形面积最大值中的应用弦图由我国三国时期数学家赵爽发现与研究的，由四个全等的直角三角形拼成的内外都为正方形(外正方形的边为直角三角形的斜边)的一个图形，如下图 1、弦(斜边)在外的弦图称为外弦图，如下图 2 中的弦在内的弦图称为内弦图.弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面积最大值问题.例 1.(1)求斜边为 4 的直角三角形面积的最大值；(2)求直角边之和为 4 的直角三角形面积的最大值.解：(1)如图 3，取 4 个这样的全等直角三角形组成外弦图，直角三角形面积等于外正方形的面积减去内正方形面积的差再除以 4 的结果.外正方形的面积为 1

2、6，当这种这种直角三角形的两条直角边相等时，内正方形的面积为 0，直角三角形的面积最大，故斜边为 4 的直角三角形面积最大值为:164=4.(2)如图 4，取 4 个这样的全等直角三角形组成内弦图，同样，直角三角形面积等于外正方形的面积减去内正方形面积的差再除以 4 的结果.外正方形的面积为 16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小值，而内正方形的半径最小值为2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的面积最大值为：1222=2.分析与反思：这 2 道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决这类问

3、题呢？当然这 2 个问题的解决还有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决.拓展：既然这类直角三角形面积最大值问题可以用弦图来解答，那么其他斜三角形的某些面积最大值能否找到类似方法呢？这是肯定的，但是仅限于特殊内角的三角形，大家看看例 2.例 2.(1)一个三角形的一条边为 4，其对角为 120，求该三角形面积的最大值；(2)一个三角形的两边之和为 4，这两边的夹角为 120，求该三角形面积的最大值.解：(1)如图 5，取 3 个这样符合条件的全等三角形

4、拼成正三角形，外正三角形的面积为：124 2 3=4 3.当内正三角形面积为 0，即该三角形为等腰三角形时，三角形面积有最大值，最大值为：4 3 3=433.(2)如图 6，取 6 个这样符合条件的全等三角形拼成正六边形，外正六边形的面积为：124 2 3 6=4 36=24 3.当内正六边形面积最小，即半径最小，即半径垂直外正六边形的边时，内正六边形的边长为 2 3，面积为：12 2 3 36=3 3 6=18 3.故这样的三角形面积最大值为：(24 3 18 3)6=3.质疑：是否所有三角形面积最大值问题都有类似解法呢？我们下面来看看例 3.例 3.(1)一个三角形一个内角是 45，其对边

5、为定值，求证：当该角的两条夹边相等时，该三角形的面积最大.(2)一个三角形一个内角是 45，该角的两条夹边之和为定值，求证：当这 2 条边相等时，该三角形的面积最大.证明：(1)如图 7，取 8 个这样的三角形组成正八边形，45角的对边为该正八边形的边.该三角形 45角所对的边为定值，该图形中的外正八边形的面积为定值.当 45角的两条夹边不等时，该图形会产生一个内正八边形，当 45角的两条夹边相等时，这 8 个三角形 45角的顶点会重合，从而不产生内正八边形.当该角的两条夹边相等时，该三角形的面积最大，恰等于这个正八边形面积的八分之一.(2)如图 8，取 8 个这样的三角形按一定方向组成一个正

6、八边形，45角所对的边为正八边形的边，这样就形成了一个“八角星”，依次连接“八角星”的 8 个顶点，这样又产生了外正八边形.外正八边形和内正八边形之间的环形区域由 8 个两直角边为ab、的直角三角形和 8 个两边为 ab、且夹角为 45的三角形组成.这两类三角形面积比值为：12 ab：1sin 452 ab=2.令环形面积为 S，则这 2 个两类三角形面积之和为 18S.这种三角形面积为：18S12182+1S.那么何种情形下，环形面积最大呢？显然，当 ab时，直角三角形的斜边(外正八边形的边)最大 例 1(2)有详 细严谨的 证明，而 且 45 角的 对边 c 最小(不是很严谨)，外、内正八

7、边形的面积分别最大和最小，环形面积最大！当这 2 条夹边相等时，该三角形面积最大.分析与反思：例 3(1)依然有类似于例 1(1)、例 2(1)的方法解决，但是例 3(2)的解决之法与例 1(2)、例 2(2)的方法相去甚远，而且证明过程中对于内正八边形的最小面积的证明不是很有说服力，若要毫无破绽地证明，那么需要其他方面的知识！这与我们用更简单的方法来证明此类问题的目的背离了！这不如直接利用三角形面积公式1sinA2Sab、余弦定理和基本不等式来证明！原因何在？我们观察例 1(2)与例 2(2)，发现 90和 120都可以成为一个正多边形的内角，而没有任何一个正多边形的内角可以是 45！我们应

8、当放弃这种方法！拓展：这类三角形面积最大值问题可分为两类：第一类为：已知一角的大小及对边的长度，第二类：已知一角的大小及两条夹边的长度之和.例 1(1)、例 2(1)、例 3(1)都属于第一类，例 1(2)、例 2(2)、例 3(2)都属于第二类.第一类对应的图形为图 3、图 5、图 7，第二类对应的图形为图 4、图 6.这 5 个图形除了图 3、图 4 称之为弦图，剩下 3 个图形都与弦图有很大的类似！我们不妨来个定义：对于有一个内角为 的三角形，把若干个这样的三角形拼成一个正多边形，象图 3、图 5、图 7 这样都是由剩下的 2 个内角的和作为正多边形的内角，我们称之为该三角形的“关联正多

9、边形型”，象图 4、图 6 这样直接由该角作为正多边形的内角，我们称之为干三角形的“关联正多边形型”.总结与归纳：此类三角形面积最大值问题能否类似于弦图来解决，关键在于这个三角形的某个内角或某 2 个内角之和能不能成为一个正多边形的内角.1.当有一个内角为 的三角形的对边已知，能成为一个正多边形的外角(即剩下 2 个角的和可成为正多边形的内角)时，我们用“关联正多边形型”来证明或解答其面积最大值；2.当有一个内角为 的三角形，能成为一个正多边形的内角，2 条夹边和为定值时，我们用“关联正多边形型”来证明或解答其面积最大值.练习：求一个内角为 150，且 2 条夹边之和为 8 的三角形的面积最大值.