2021新高考数学二轮总复习学案：第2讲　函数与方程思想、数形结合思想 WORD版含解析.docx

1、第2讲函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想,渗透到中学数学的各个领域,是历年高考考查的重点和热点.一般通过函数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识运用的交汇处,思想方法和相关能力的结合处进行考查.思想方法诠释1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等

2、量关系.3.函数思想与方程思想的联系:函数思想与方程思想密切相关,对于函数y=f(x),当y=0时,转化为方程f(x)=0,也可以把函数y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数与方程的问题可相互转化.求方程f(x)=0的解就是求函数y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化为求函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题.思想分类应用应用一函数思想与方程思想的转换【例1】设函数f(x)=1x,g(x)=ax2+bx(a,bR,a0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是()A.当a0时,

3、x1+x20B.当a0,y1+y20时,x1+x20,y1+y20时,x1+x20,y1+y20思维升华求两个函数f(x),g(x)图象的交点问题通常转化为求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题.而函数F(x)的零点问题也可以转化为两个函数图象的交点问题.【对点训练1】已知函数f(x)的定义域为R,且有2f(x)+f(x2-1)=1,则f(-2)=.应用二函数与方程思想在解三角形中的应用【例2】为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB=60,BC的长度大于1 m,且AC比AB长12 m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为()A.1+32mB.2 mC.(1+3)m

4、D.(2+3)m思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现.方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.【对点训练2】已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,S为ABC的面积,sin(B+C)=2Sa2-c2.(1)证明:A=2C;(2)若b=2,且ABC为锐角三角形,求S的取值范围.应用三函数与方程思想在比较大小或不等式中的应用【例3】(1)(2020全国,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a2bB.ab2D.a0或f(x)0或f(x)max0.已知恒成立求参数取值范围可

5、先分离参数,再利用函数最值求解.【对点训练3】(1)(2020全国,文10)设a=log32,b=log53,c=23,则()A.acbB.abcC.bcaD.cab(2)若x(0,+),ex-1xx-ln x+a恒成立,则a的最大值为()A.1B.1eC.0D.-e应用四函数与方程思想在数列中的应用【例4】(2020湖南长郡中学四模,文4)设等差数列an的前n项和为Sn,若S13=134,则cos2a5+cos2a7+cos2a9=()A.1B.32C.52D.2思维升华在解决数列问题时,应充分利用函数的有关知识,解题往往以函数的概念、图象、性质为纽带,建立起函数与数列间的桥梁,揭示它们内在

6、的联系,从而有效快速解决数列问题.【对点训练4】已知在数列an中,前n项和为Sn,且Sn=n+23an,则anan-1的最大值为()A.-3B.-1C.3D.1应用五函数与方程思想在概率中的应用【例5】(2020河北沧州一模,理12)2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID-19)疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密

7、切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0p1)且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p),当p=p0时,f(p)最大,则p0=()A.1-63B.63C.12D.1-33思维升华关于概率的应用题,首先应用概率的相关知识得到两个量的等量关系,然后利用函数模型研究函数的最值、极值问题,重在考查考生的“数学建模”的核心素养和知识的迁移能力等.【对点

8、训练5】(2018全国1,理20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作

9、检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?应用方法归纳函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.二、数形结合思想数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手

10、段,最终要用“数”写出完整的解答过程.思想方法诠释以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质思想分类应用应用一利用数形结合求函数的零点【例1】(2020天津,9)已知函数f(x)=x3,x0,-x,x0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(kR)恰有4个零点,则k的取值范围是()A.-,-12(22,+)B.-,-12(

11、0,22)C.(-,0)(0,22)D.(-,0)(22,+)思维升华讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可构造两个函数,转化为讨论两曲线(或曲线与直线等)的交点个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.【对点训练1】(2020安徽安庆二模,理12)函数f(x)=|ln x|-ax恰有两个零点x1,x2,且x1x2,则x1所在区间为()A.0,1e3B.1e3,1e2C.1e2,1eD.1e,1应用二利用数形结合思想求参数的范围或解

12、不等式【例2】(2020湖南永州二模,理9)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当xf(x)成立,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,2)(-,-6)C.(-2,0)D.(-2,0)(6,+)思维升华在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.【对点训练2】(2020北京,6)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)0的解集是()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(0,1)D.(-,0)(1,+)应用三数形结合思想在解析几何中的应用【例3】(2020山东枣庄

13、二模,8)已知点P(m,n)是函数y=-x2-2x图象上的动点,则|4m+3n-21|的最小值是()A.25B.21C.20D.4思维升华1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即用几何法求解,比较常见的有:(1)b-na-m表示两点(a,b),(m,n)连线的斜率;(2)(a-m)2+(b-n)2表示两点(a,b),(m,n)或(b,a),(n,m)之间的距离.2.解析几何中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质,使问题得到简便快捷地解决.【对点训练3】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若在

14、以线段AB为直径的圆上存在两点M,N,在直线l:x+y+a=0上存在一点Q,使得MQN=90,则实数a的取值范围为()A.-13,3B.-3,1C.-3,13D.-13,13应用方法归纳方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面:(1)解方程或解不等式;(2)含参数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用;(3)需要转化为方程的讨论,如曲线的位置关系等;(4)构造方程或不等式求解问题.第2讲函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想思想分类应用【例1】B解析在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当a0时,要想满足条件,如图,作出点A关

15、于原点的对称点C,则C点坐标为(-x1,-y1).由图象知-x1y2,即x1+x20,y1+y20时,则有x1+x20,故选B.对点训练113解析取x=-2,则有2f(-2)+f(1)=1,取x=1,则有2f(1)+f(0)=1,取x=0,则有2f(0)+f(-1)=1,取x=-1,则有2f(-1)+f(0)=1,解由组成的方程组,得f(0)=13,代入得f(1)=13,再将f(1)=13代入,得f(-2)=13.【例2】D解析设BC的长度为xm,AC的长度为ym,则AB的长度为y-12m.在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即y-122=y2+x2-2y

16、x12,化简得y(x-1)=x2-14.x1,x-10,y=x2-14x-1,即y=(x-1)+34(x-1)+23+2,当且仅当x-1=34(x-1)时取等号,因此当x=1+32时,y有最小值2+3.对点训练2(1)证明由sin(B+C)=2Sa2-c2,即sinA=2Sa2-c2,得sinA=bcsinAa2-c2.又sinA0,bc=a2-c2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,则bc=b2-2bccosA.又b0,c=b-2ccosA,由正弦定理得sinC=sinB-2sinCcosA,即sinC=sin(A+C)-2sinCcosA=sin(A-C).又0A,0C,A=2

17、C.(2)解A=2C,B=-3C,sinB=sin3C.asinA=bsinB且b=2,a=2sin2Csin3C,S=12absinC=2sin2CsinCsin(2C+C)=2sin2CsinCsin2CcosC+cos2CsinC=2tan2CtanCtan2C+tanC=4tanC3-tan2C=43tanC-tanC.ABC为锐角三角形,0A2,0B2,0C2,02C2,0-3C2,0C2,即0C4,6C3,0C2,6C4,tanC33,1,S=43tanC-tanC为增函数,S32,2.【例3】(1)B(2)C解析(1)由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=2

18、2b+log2b.因为22b+log2b22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+)上单调递增.由f(a)f(2b)可得a0),当a0时,令g(x)=lnx+1x,则g(x)=1x-1x2=x-1x2,所以g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增,且g(1)=1,所以lnx+1x1,显然有axe1-xlnx+1x;当a0时,令f(x)=axe1-x-lnx-1x,则f(x)=1-xex-1a+ex-1x2,所以f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)

19、内单调递减,所以f(x)max=f(1)0即可,因为f(1)=a-1,所以0a1.综上,a1.故选C.对点训练3(1)A(2)C解析(1)32a=32log32=log3223=log981,a1,b23.又c=23,ac0,则g(x)=(1-x)(1+x)x4=(1-x2)x4,g(x)=(1-x2)x4=12(2-2x2)x2x212(2-2x2)+x2+x233=427,当且仅当2-2x2=x2,即x=63时取等号,即p=p0=1-63.故选A.对点训练5解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18,则f(p)=C2022p(1-p)18-18p2(1

20、-p)17=2C202p(1-p)17(1-10p).令f(p)=0,得p=0.1.当p(0,0.1)时,f(p)0;当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.二、数形结合思想思想分类应用【例1】D解析f(x)=x3,x0,-x,x0,则如图.1k1k3,k3k,k21,k1,左侧无交点.x3=kx2-2x要有三个根,即x2-kx+2=0有两根,=k2-80,k22.综上,k22.(2)若k0,如图.点1k,-1k恰在y=-x上,且过二次函数图象的顶点,k0时,考查函数g(x)=|lnx|与h(x)=ax的图象的交点.易知,g(x)与h(x)图象在区间(0,1)内必有一个

21、交点,则在区间(1,+)内有且仅有一个公共点,当x(1,+)时,f(x)=lnx-ax,f(x)=1-axx,则f(x)在0,1a内单调递增,在1a,+内单调递减,所以f(x)max=f1a=ln1a-1,则只需ln1a-1=0,故a=1e.当x(0,1)时,f(x)=-lnx-1ex,易知f1e=1-1e20,f(1)=-1e0,可知x11e,1.故选D.【例2】D解析f(x)是定义在R上的奇函数,当x0)或向右(a0时,y=f(x)的图象至少向左平移6个单位长度(不含6个单位长度)才能满足对任意的x-1,2,f(x+a)f(x)成立,当af(x)成立,故a(-2,0)(6,+).故选D.对

22、点训练2D解析因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)0等价于2xx+1,在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图.两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),由图象可知,不等式2xx+1的解集为(-,0)(1,+).所以不等式f(x)0的解集为(-,0)(1,+).故选D.【例3】C解析函数y=-x2-2x图象是半圆,圆心为C(-1,0),半径为r=1,如图,作直线4x+3y-21=0,C到直线4x+3y-21=0的距离为d=|-4+0-21|42+32=5,P(m,n)到直线4x+3y-21=0的距离为d=|4m+3n-21|5,其最小值为5-1=4,|4m+3n-21|的最

23、小值为54=20.故选C.对点训练3A解析过点F(1,0)且斜率为1的直线方程为y=x-1.联立y=x-1,y2=4x,整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4.AB的中点坐标为(3,2),|AB|=x1+x2+p=8,所以以线段AB为直径的圆D:(x-3)2+(y-2)2=16,圆心D为(3,2),半径r=4,因为在圆C上存在两点M,N,在直线l上存在一点Q,使得MQN=90,所以在直线l上存在一点Q,使得Q到D(3,2)的距离等于2r=42,只需D(3,2)到直线l的距离小于或等于42,|3+2+a|242,解得-13a3,故选A.